$a,\ b,\ c$を実数とする．行列$A=\left( \begin{array}{rr}
2 & 1 \\
a & -3
\end{array} \right)$，$P=\left( \begin{array}{rr}
2 & 1 \\
2 & -6
\end{array} \right)$は$P^{-1}AP=\left( \begin{array}{rr}
3 & b \\
0 & c
\end{array} \right)$を満たすとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(2)$A$は逆行列をもつことを示し，$A$の逆行列$A^{-1}$を求めよ．
(3)自然数$n$に対して，$A^n$を求めよ．
(4)自然数$n$に対して，$(A+6A^{-1})^n$を求めよ．

自然数$n$に対して，$\displaystyle a_n=\int_0^1 \frac{x^2+(-x^2)^{n+1}}{1+x^2} \, dx$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)自然数$n$に対して，不等式
\[ |\int_0^1 \displaystyle\frac{x^2|{1+x^2} \, dx-a_n} \leqq \frac{1}{2n+3} \]
が成り立つことを示せ．

(2)定積分$\displaystyle \int_0^1 \frac{x^2}{1+x^2} \, dx$を求めよ．

(3)自然数$n$に対して，$\displaystyle a_n=\sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k+1}}{2k+1}$となることを示せ．

(4)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k+1}}{2k+1}$を求めよ．

自然数が$1$つずつ書かれている玉が，
\[ ① ① ② ① ② ③ ① ② ③ ④ ① ② ③ ④ ⑤ ① ② \cdots\cdots \]
のように$1$列に並べられている．次の問いに答えよ．

(1)数$100$が書かれた玉が最初に現れるのは何番目か．
(2)自然数$n$に対し，$2n^2$番目の玉に書かれている数は何か．
(3)$1$番目から$2n^2$番目までの玉をすべて袋に入れた．この袋から$2$つの玉を取り出すとき，同じ数が書かれた玉を取り出す確率を求めよ．

実数$a,\ b,\ c,\ d$について
\[ (a-d)^2+4bc=0 \]
が成立している．このとき行列
\[ E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right),\quad A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right),\quad B=A-\frac{a+d}{2}E \]
について，以下の問いに答えよ．ただし$\displaystyle A \neq \frac{a+d}{2}E$とする．

(1)行列$B^2$を求めよ．
(2)自然数$n$に対して
\[ A^n=pA+qE \]
となる実数$p,\ q$を$n$と$a,\ b,\ c,\ d$で表せ．
(3)行列$A$が次をみたすとき，$A$を求めよ．
\[ A^5=\left( \begin{array}{cc}
11 & -20 \\
5 & -9
\end{array} \right) \]

次の問いに答えよ．

(1)$xy+y^2+xz+yz$を因数分解せよ．
(2)$a,\ b,\ c (a<b<c)$は連続した自然数とする．このとき
\[ ab+b^2+ac+bc \]
を$4$で割った余りが$3$であることを示せ．
(3)$a,\ b,\ c (a<b<c)$は連続した自然数とする．このとき
\[ a^2b+a^2c+ab^2+b^2c+bc^2+ac^2+2abc \]
は$6$の倍数であることを示せ．

次の各問いに答えよ．

(1)$3$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(2,\ 1,\ 1)$，$\overrightarrow{b}=(2,\ s,\ t)$，$\overrightarrow{c}=(p,\ q,\ 2)$が次の条件をみたすような，$s,\ t,\ p,\ q$の値を求めよ．

(i) $|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|$
(ii) $\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角は$60^\circ$
(iii) $\overrightarrow{c}$は$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の両方に直交する．

(2)$n$を$0$以上の整数とする．$n+1$個の自然数$2^0,\ 2^1,\ \cdots,\ 2^n$の中に，最上位の桁の数字が$1$であるものはいくつあるか．ただし，$x$を超えない最大の整数を表す記号$[x]$を用いて解答してよい．

注：例えば$2014$の最上位の桁の数字は$2$であり，$14225$の最上位の桁の数字は$1$である．

$n$を自然数とし，次の漸化式で$2$つの数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$を定める．

$a_1=1,\ a_2=1,\ a_{n+2}=2a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
$b_1=1,\ b_2=1,\ b_3=1,\ b_{n+3}=3b_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$

以下の問いに答えよ．ただし，必要ならば，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$を用いよ．

(1)$\{a_n\}$と$\{b_n\}$の最初の$6$項をそれぞれ求めよ．
(2)$a_{n+6}=8a_n$となることを示せ．
(3)$m$を$0$以上の整数とするとき，$a_{6m+1}$と$b_{6m+1}$を$m$を用いて表せ．
(4)$6$で割った余りが$1$となるような$n$で，$a_n \geqq b_n$となるものをすべて求めよ．
(5)$6$で割った余りが$3$となるような$n$で，$a_n \geqq b_n$となるものをすべて求めよ．

下の問いに答えなさい．

(1)$n$を自然数とする．それぞれに$1,\ 10,\ 100,\ \cdots,\ 10^{n-1}$が書かれた$n$枚のカードが袋の中に入っている．この袋から$1$枚のカードを取り出し，書かれた数を$X$とするとき，$X$の期待値を求めなさい．
(2)$n$を$2$以上の自然数とする．それぞれに$1,\ 10,\ 100,\ \cdots,\ 10^{n-1}$が書かれた$n$枚のカードが袋の中に入っている．この袋から同時に$2$枚のカードを取り出し，書かれた数の和を$Y$とするとき，$Y$の期待値を求めなさい．

$A$を$2$次の正方行列とし，$O$を$2$次の零行列，$E$を$2$次の単位行列とする．$P=A-E$とおいたとき，$P^2=O$が成り立っているとする．下の問いに答えなさい．

(1)等式$A^2=2P+E$と$A^3=3P+E$を示しなさい．
(2)自然数$n$に対して$A^n$を$P$と$E$で表しなさい．
(3)$A=\left( \begin{array}{cc}
2 & 1 \\
-1 & 0
\end{array} \right)$のとき，自然数$n$に対して$A^n$を求めなさい．

$a$を正の実数，$k$を自然数とし，$x>0$で定義される関数
\[ f(x)=\int_a^{ax} \frac{k+\sqrt[k]{u}}{ku} \, du \]
を考える．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)$f(x)$の増減および凹凸を調べ，$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(2)$y=f(x)$の$x=1$における接線の方程式を求めよ．
(3)$S$を正の実数とするとき，$f(p)=S$を満たす実数$p$がただ$1$つ存在することを示せ．
(4)$\displaystyle b=\frac{k}{k+\sqrt[k]{a}}$とおくとき，$(2)$の$S,\ p$について，次の不等式が成立することを示せ．
\[ 1+bS<p<e^{bS} \]