「自然数」について
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（34ページ目：全1172問中331問～340問を表示）
公立 会津大学 2015年 第1問次の空欄をうめよ．
(1)次の積分を求めよ．
(i) $\displaystyle \int_0^1 \log (2x+1) \, dx=[イ]$
(ii) $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^3 x \, dx=[ロ]$
(iii) $\displaystyle \int_0^\pi |\sin 2x| \, dx=[ハ]$
(2)次の極限を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{1 \cdot 3}+\frac{1}{2 \cdot 4}+\frac{1}{3 \cdot 5}+\cdots +\frac{1}{n(n+2)} \right)=[ニ] \]
(3)方程式$\displaystyle \log_2 (x-10)=3+\log_2 \frac{3}{x}$の解は$x=[ホ]$である．
(4)$0 \leqq x<2\pi$において，$-\sin x+\sqrt{3} \cos x$は$x=[ヘ]$のとき，最大値$[ト]$をとる．
(5)以下の文章に「必要条件である」，「十分条件である」，「必要十分条件である」，「必要条件でも十分条件でもない」のうち最も適するものを入れよ．ただし，$n$は自然数とする．
(i) $n$が$6$の倍数であることは，$n$が$3$の倍数であるための$[チ]$．
(ii) $n$が奇数であることは，$n^2$が奇数であるための$[リ]$．
(1)次の積分を求めよ．
(i) $\displaystyle \int_0^1 \log (2x+1) \, dx=[イ]$
(ii) $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^3 x \, dx=[ロ]$
(iii) $\displaystyle \int_0^\pi |\sin 2x| \, dx=[ハ]$
(2)次の極限を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{1 \cdot 3}+\frac{1}{2 \cdot 4}+\frac{1}{3 \cdot 5}+\cdots +\frac{1}{n(n+2)} \right)=[ニ] \]
(3)方程式$\displaystyle \log_2 (x-10)=3+\log_2 \frac{3}{x}$の解は$x=[ホ]$である．
(4)$0 \leqq x<2\pi$において，$-\sin x+\sqrt{3} \cos x$は$x=[ヘ]$のとき，最大値$[ト]$をとる．
(5)以下の文章に「必要条件である」，「十分条件である」，「必要十分条件である」，「必要条件でも十分条件でもない」のうち最も適するものを入れよ．ただし，$n$は自然数とする．
(i) $n$が$6$の倍数であることは，$n$が$3$の倍数であるための$[チ]$．
(ii) $n$が奇数であることは，$n^2$が奇数であるための$[リ]$．
公立 和歌山県立医科大学 2015年 第4問あるバクテリアをある条件の下で培養した場合，生存している$1$個が，$1$時間後には$1$回分裂して$2$個ともに生存しているか，あるいは死滅しているかであり，$2$個とも生存している確率が$p$，死滅している確率が$1-p$であるという．このバクテリアがこの条件の下で最初$1$個生存していたとき，$n$時間後に$1$個以上生存している確率を$P_n$とおく．ただし，$n$は自然数とする．
(1)$P_2,\ P_3$をそれぞれ$p$の式で表せ．
(2)$P_{n+1}$を$p$と$P_n$の式で表せ．
(3)$\displaystyle p=\frac{1}{3}$のときの$\displaystyle \lim_{n \to \infty}P_n$を求めよ．
(4)$a$を$2$より大きな実数とする．$\displaystyle p=\frac{a-1}{a}$，$\displaystyle Q_n=P_n-\frac{a-2}{a-1}$としたとき，$0<Q_{n+1}<Q_n$であることを示せ．
(5)$p$が$(4)$と同じときの$\displaystyle \lim_{n \to \infty}P_n$を求めよ．
(1)$P_2,\ P_3$をそれぞれ$p$の式で表せ．
(2)$P_{n+1}$を$p$と$P_n$の式で表せ．
(3)$\displaystyle p=\frac{1}{3}$のときの$\displaystyle \lim_{n \to \infty}P_n$を求めよ．
(4)$a$を$2$より大きな実数とする．$\displaystyle p=\frac{a-1}{a}$，$\displaystyle Q_n=P_n-\frac{a-2}{a-1}$としたとき，$0<Q_{n+1}<Q_n$であることを示せ．
(5)$p$が$(4)$と同じときの$\displaystyle \lim_{n \to \infty}P_n$を求めよ．
公立 大阪府立大学 2015年 第1問$n$を自然数とする．数字$1$が書かれたカードが$n$枚，数字$4$が書かれたカードが$1$枚，$\triangle$が書かれたカードが$1$枚，合計$n+2$枚のカードがある．これら$n+2$枚のカードから$2$枚のカードを同時に引き，カードに書かれた数字の合計を得点とするが，引いたカードの中に$\triangle$が書かれたカードが含まれる場合には，得点は$0$点とする．
(1)得点が$0$点となる確率，得点が$2$点となる確率，得点が$5$点となる確率をそれぞれ求めよ．
(2)得点の期待値を求めよ．
(3)$(2)$で求めた期待値を$a_n$とおくとき，$a_{n+1}-a_n$の符号を調べることにより，$a_n$が最大になる$n$をすべて求めよ．
(1)得点が$0$点となる確率，得点が$2$点となる確率，得点が$5$点となる確率をそれぞれ求めよ．
(2)得点の期待値を求めよ．
(3)$(2)$で求めた期待値を$a_n$とおくとき，$a_{n+1}-a_n$の符号を調べることにより，$a_n$が最大になる$n$をすべて求めよ．
公立 大阪府立大学 2015年 第2問異なる$n$個のものから異なる$r$個を取り出して並べる順列の総数
\[ \perm{n}{r}=n(n-1)(n-2) \cdots (n-r+1) \qquad \text{（ただし$n \geqq r \geqq 1$）} \]
に関して以下の問いに答えよ．
(1)$k>r$ならば$\displaystyle \perm{k}{r}=\frac{1}{r+1}(\perm{k+1}{r+1}-\perm{k}{r+1})$が成り立つことを示せ．
(2)$\displaystyle \perm{r}{r}+\perm{r+1}{r}+\perm{r+2}{r}+\cdots +\perm{n+r-1}{r}=\frac{\perm{n+r}{r+1}}{r+1}$が成り立つことを示せ．
(3)次の等式がすべての自然数$k$に対して成り立つような定数$A,\ B,\ C$を求めよ．
\[ k^4=\perm{k+3}{4}+A \times \perm{k+2}{3}+B \times \perm{k+1}{2}+C \times \perm{k}{1} \]
(4)$\displaystyle \frac{1^4+2^4+3^4+\cdots +n^4}{1+2+3+\cdots +n}$を$n$の$3$次式で表せ．
\[ \perm{n}{r}=n(n-1)(n-2) \cdots (n-r+1) \qquad \text{（ただし$n \geqq r \geqq 1$）} \]
に関して以下の問いに答えよ．
(1)$k>r$ならば$\displaystyle \perm{k}{r}=\frac{1}{r+1}(\perm{k+1}{r+1}-\perm{k}{r+1})$が成り立つことを示せ．
(2)$\displaystyle \perm{r}{r}+\perm{r+1}{r}+\perm{r+2}{r}+\cdots +\perm{n+r-1}{r}=\frac{\perm{n+r}{r+1}}{r+1}$が成り立つことを示せ．
(3)次の等式がすべての自然数$k$に対して成り立つような定数$A,\ B,\ C$を求めよ．
\[ k^4=\perm{k+3}{4}+A \times \perm{k+2}{3}+B \times \perm{k+1}{2}+C \times \perm{k}{1} \]
(4)$\displaystyle \frac{1^4+2^4+3^4+\cdots +n^4}{1+2+3+\cdots +n}$を$n$の$3$次式で表せ．
公立 大阪府立大学 2015年 第1問$n$を自然数とする．数字$1$が書かれたカードが$n$枚，数字$4$が書かれたカードが$1$枚，$\triangle$が書かれたカードが$1$枚，合計$n+2$枚のカードがある．これら$n+2$枚のカードから$2$枚のカードを同時に引き，カードに書かれた数字の合計を得点とするが，引いたカードの中に$\triangle$が書かれたカードが含まれる場合には，得点は$0$点とする．
(1)得点が$0$点となる確率，得点が$2$点となる確率，得点が$5$点となる確率をそれぞれ求めよ．
(2)得点の期待値を求めよ．
(3)$(2)$で求めた期待値を$a_n$とおくとき，$a_{n+1}-a_n$の符号を調べることにより，$a_n$が最大になる$n$をすべて求めよ．
(1)得点が$0$点となる確率，得点が$2$点となる確率，得点が$5$点となる確率をそれぞれ求めよ．
(2)得点の期待値を求めよ．
(3)$(2)$で求めた期待値を$a_n$とおくとき，$a_{n+1}-a_n$の符号を調べることにより，$a_n$が最大になる$n$をすべて求めよ．
公立 大阪府立大学 2015年 第2問異なる$n$個のものから異なる$r$個を取り出して並べる順列の総数
\[ \perm{n}{r}=n(n-1)(n-2) \cdots (n-r+1) \qquad \text{（ただし$n \geqq r \geqq 1$）} \]
に関して以下の問いに答えよ．
(1)$k>r$ならば$\displaystyle \perm{k}{r}=\frac{1}{r+1}(\perm{k+1}{r+1}-\perm{k}{r+1})$が成り立つことを示せ．
(2)$\displaystyle \perm{r}{r}+\perm{r+1}{r}+\perm{r+2}{r}+\cdots +\perm{n+r-1}{r}=\frac{\perm{n+r}{r+1}}{r+1}$が成り立つことを示せ．
(3)次の等式がすべての自然数$k$に対して成り立つような定数$A,\ B,\ C$を求めよ．
\[ k^4=\perm{k+3}{4}+A \times \perm{k+2}{3}+B \times \perm{k+1}{2}+C \times \perm{k}{1} \]
(4)$\displaystyle \frac{1^4+2^4+3^4+\cdots +n^4}{1+2+3+\cdots +n}$を$n$の$3$次式で表せ．
\[ \perm{n}{r}=n(n-1)(n-2) \cdots (n-r+1) \qquad \text{（ただし$n \geqq r \geqq 1$）} \]
に関して以下の問いに答えよ．
(1)$k>r$ならば$\displaystyle \perm{k}{r}=\frac{1}{r+1}(\perm{k+1}{r+1}-\perm{k}{r+1})$が成り立つことを示せ．
(2)$\displaystyle \perm{r}{r}+\perm{r+1}{r}+\perm{r+2}{r}+\cdots +\perm{n+r-1}{r}=\frac{\perm{n+r}{r+1}}{r+1}$が成り立つことを示せ．
(3)次の等式がすべての自然数$k$に対して成り立つような定数$A,\ B,\ C$を求めよ．
\[ k^4=\perm{k+3}{4}+A \times \perm{k+2}{3}+B \times \perm{k+1}{2}+C \times \perm{k}{1} \]
(4)$\displaystyle \frac{1^4+2^4+3^4+\cdots +n^4}{1+2+3+\cdots +n}$を$n$の$3$次式で表せ．
公立 北九州市立大学 2015年 第1問自然数の列を区切って，次のように群に分ける．第$1$群に入る項の個数は$1$個である．また，第$n+1$群に入る項の個数は第$n$群の最後の項と同じ数とする．ただし，$n$は自然数である．また，群に入る項が$1$個の場合は，その数が最初の項でありかつ最後の項であるとする．
\[ |\ 1 \ |\ 2 \ |\ 3,\ 4 \ |\ 5,\ 6,\ 7,\ 8 \ |\ 9,\cdots \]
第$n$群の最後の項を$b_n$とおき，第$n$群に入る項の個数を$c_n$とおく．以下の問題に答えよ．
(1)項$b_3,\ b_4,\ b_5$を求めよ．また，項$b_n$を$n$を用いて表せ．
(2)項数$c_n$を$n$を用いて表せ．
(3)$1000$は第何群の第何項目であるかを求めよ．
(4)$n$が$3$以上の奇数のとき，第$n$群の最初の項は$3$の倍数であることを示せ．
(5)$n$が$3$以上の奇数のとき，第$n$群または第$n+1$群に含まれる項のうち$3$の倍数である項の個数を$n$を用いて表せ．
\[ |\ 1 \ |\ 2 \ |\ 3,\ 4 \ |\ 5,\ 6,\ 7,\ 8 \ |\ 9,\cdots \]
第$n$群の最後の項を$b_n$とおき，第$n$群に入る項の個数を$c_n$とおく．以下の問題に答えよ．
(1)項$b_3,\ b_4,\ b_5$を求めよ．また，項$b_n$を$n$を用いて表せ．
(2)項数$c_n$を$n$を用いて表せ．
(3)$1000$は第何群の第何項目であるかを求めよ．
(4)$n$が$3$以上の奇数のとき，第$n$群の最初の項は$3$の倍数であることを示せ．
(5)$n$が$3$以上の奇数のとき，第$n$群または第$n+1$群に含まれる項のうち$3$の倍数である項の個数を$n$を用いて表せ．
公立 福岡女子大学 2015年 第2問$\mathrm{AC}=1$，$\angle \mathrm{B}={30}^\circ$，$\angle \mathrm{C}={90}^\circ$の$\triangle \mathrm{ABC}$がある．辺$\mathrm{AB}$上の点列$\mathrm{P}_1,\ \mathrm{P}_2,\ \cdots$，辺$\mathrm{AC}$上の点列$\mathrm{Q}_1,\ \mathrm{Q}_2,\ \cdots$，辺$\mathrm{BC}$上の点列$\mathrm{R}_1,\ \mathrm{R}_2,\ \cdots$を$\mathrm{R}_1 \to \mathrm{P}_1 \to \mathrm{Q}_1 \to \mathrm{R}_2 \to \mathrm{P}_2 \to \mathrm{Q}_2 \to \cdots$の順で以下を満たすように定める．
$(\mathrm{a})$ $\mathrm{R}_1=\mathrm{C}$
$(\mathrm{b})$ $\mathrm{R}_n \mathrm{P}_n \perp \mathrm{AB}$
$(\mathrm{c})$ $\mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n \para\, \mathrm{BC}$
$(\mathrm{d})$ $\mathrm{Q}_n \mathrm{R}_{n+1} \para\, \mathrm{AB}$
ただし，$n$は自然数である．下図は点$\mathrm{R}_1 \to \mathrm{P}_1 \to \cdots \to \mathrm{Q}_3$を示している．$x_n=\mathrm{AQ}_n$とおくとき，以下の問に答えなさい．
(1)$\mathrm{BR}_{n+1}$と$\mathrm{BP}_{n+1}$をそれぞれ$x_n$の式で表しなさい．
(2)$x_{n+1}$を$x_n$の式で表しなさい．
(3)$x_n$を$n$の式で表しなさい．
（図は省略）
$(\mathrm{a})$ $\mathrm{R}_1=\mathrm{C}$
$(\mathrm{b})$ $\mathrm{R}_n \mathrm{P}_n \perp \mathrm{AB}$
$(\mathrm{c})$ $\mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n \para\, \mathrm{BC}$
$(\mathrm{d})$ $\mathrm{Q}_n \mathrm{R}_{n+1} \para\, \mathrm{AB}$
ただし，$n$は自然数である．下図は点$\mathrm{R}_1 \to \mathrm{P}_1 \to \cdots \to \mathrm{Q}_3$を示している．$x_n=\mathrm{AQ}_n$とおくとき，以下の問に答えなさい．
(1)$\mathrm{BR}_{n+1}$と$\mathrm{BP}_{n+1}$をそれぞれ$x_n$の式で表しなさい．
(2)$x_{n+1}$を$x_n$の式で表しなさい．
(3)$x_n$を$n$の式で表しなさい．
（図は省略）
公立 福岡女子大学 2015年 第2問$\mathrm{AC}=1$，$\angle \mathrm{B}={30}^\circ$，$\angle \mathrm{C}={90}^\circ$の$\triangle \mathrm{ABC}$がある．辺$\mathrm{AB}$上の点列$\mathrm{P}_1,\ \mathrm{P}_2,\ \cdots$，辺$\mathrm{AC}$上の点列$\mathrm{Q}_1,\ \mathrm{Q}_2,\ \cdots$，辺$\mathrm{BC}$上の点列$\mathrm{R}_1,\ \mathrm{R}_2,\ \cdots$を$\mathrm{R}_1 \to \mathrm{P}_1 \to \mathrm{Q}_1 \to \mathrm{R}_2 \to \mathrm{P}_2 \to \mathrm{Q}_2 \to \cdots$の順で以下を満たすように定める．
$(\mathrm{a})$ $\mathrm{R}_1=\mathrm{C}$
$(\mathrm{b})$ $\mathrm{R}_n \mathrm{P}_n \perp \mathrm{AB}$
$(\mathrm{c})$ $\mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n \para\, \mathrm{BC}$
$(\mathrm{d})$ $\mathrm{Q}_n \mathrm{R}_{n+1} \para\, \mathrm{AB}$
ただし，$n$は自然数である．下図は点$\mathrm{R}_1 \to \mathrm{P}_1 \to \cdots \to \mathrm{Q}_3$を示している．$x_n=\mathrm{AQ}_n$とおくとき，以下の問に答えなさい．
(1)$\mathrm{BR}_{n+1}$と$\mathrm{BP}_{n+1}$をそれぞれ$x_n$の式で表しなさい．
(2)$x_{n+1}$を$x_n$の式で表しなさい．
(3)$x_n$を$n$の式で表しなさい．
（図は省略）
$(\mathrm{a})$ $\mathrm{R}_1=\mathrm{C}$
$(\mathrm{b})$ $\mathrm{R}_n \mathrm{P}_n \perp \mathrm{AB}$
$(\mathrm{c})$ $\mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n \para\, \mathrm{BC}$
$(\mathrm{d})$ $\mathrm{Q}_n \mathrm{R}_{n+1} \para\, \mathrm{AB}$
ただし，$n$は自然数である．下図は点$\mathrm{R}_1 \to \mathrm{P}_1 \to \cdots \to \mathrm{Q}_3$を示している．$x_n=\mathrm{AQ}_n$とおくとき，以下の問に答えなさい．
(1)$\mathrm{BR}_{n+1}$と$\mathrm{BP}_{n+1}$をそれぞれ$x_n$の式で表しなさい．
(2)$x_{n+1}$を$x_n$の式で表しなさい．
(3)$x_n$を$n$の式で表しなさい．
（図は省略）
公立 島根県立大学 2015年 第1問次の$(1)$～$(6)$の中から$4$つを選択し解答しなさい．
(1)$403a^4-2015a^2+1612$を因数分解しなさい．
(2)$\displaystyle \frac{1}{2}x-y=-4$，$ax-y=14$，$3x+y=46$が点$\mathrm{P}$で交わるとき，点$\mathrm{P}$の座標と定数$a$の値を求めなさい．
(3)$\sqrt{n^2+35}$が自然数となるような自然数$n$をすべて求めなさい．
(4)$3$点$\mathrm{A}(-2,\ -2)$，$\mathrm{B}(1,\ 5)$，$\mathrm{C}(3,\ 1)$を頂点とする三角形の面積を求めなさい．
(5)$12$人の学生を$4$人ずつ$3$グループに分ける分け方は何通りあるか答えなさい．
(6)$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{AC}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．直線$\mathrm{PQ}$と辺$\mathrm{BC}$の延長が交わる点を$\mathrm{R}$とするとき，$\mathrm{PR}:\mathrm{RQ}$を求めなさい．
(1)$403a^4-2015a^2+1612$を因数分解しなさい．
(2)$\displaystyle \frac{1}{2}x-y=-4$，$ax-y=14$，$3x+y=46$が点$\mathrm{P}$で交わるとき，点$\mathrm{P}$の座標と定数$a$の値を求めなさい．
(3)$\sqrt{n^2+35}$が自然数となるような自然数$n$をすべて求めなさい．
(4)$3$点$\mathrm{A}(-2,\ -2)$，$\mathrm{B}(1,\ 5)$，$\mathrm{C}(3,\ 1)$を頂点とする三角形の面積を求めなさい．
(5)$12$人の学生を$4$人ずつ$3$グループに分ける分け方は何通りあるか答えなさい．
(6)$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{AC}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．直線$\mathrm{PQ}$と辺$\mathrm{BC}$の延長が交わる点を$\mathrm{R}$とするとき，$\mathrm{PR}:\mathrm{RQ}$を求めなさい．