「自然数」について
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（31ページ目：全1172問中301問～310問を表示）
私立 広島経済大学 2015年 第1問次の各問の空欄に当てはまる最も適切な数値を記入せよ．
(1)$18(2n-4) \leqq 48n-400$を満たす最小の自然数$n$は$n=[$1$]$である．
(2)$\sqrt{10}$の整数部分を$a$，小数部分を$b$とする．このとき，
$a=[$2$]$，$b=\sqrt{[$3$]}-[$4$]$であり
$\displaystyle \frac{a}{b}=[$5$] \sqrt{[$6$]}+[$7$]$である．
(3)次の式を計算せよ．
\[ \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{15}-\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{15}+\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{[$8$]}+[$9$] \sqrt{[$10$]}}{[$11$]} \]
(4)$720$の正の約数の個数は$[$12$]$個である．
(1)$18(2n-4) \leqq 48n-400$を満たす最小の自然数$n$は$n=[$1$]$である．
(2)$\sqrt{10}$の整数部分を$a$，小数部分を$b$とする．このとき，
$a=[$2$]$，$b=\sqrt{[$3$]}-[$4$]$であり
$\displaystyle \frac{a}{b}=[$5$] \sqrt{[$6$]}+[$7$]$である．
(3)次の式を計算せよ．
\[ \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{15}-\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{15}+\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{[$8$]}+[$9$] \sqrt{[$10$]}}{[$11$]} \]
(4)$720$の正の約数の個数は$[$12$]$個である．
私立 広島経済大学 2015年 第5問次の各問の空欄に当てはまる最も適切な数値を記入せよ．
(1)$n$を自然数とする．$\displaystyle \sqrt{\frac{540}{n}}$は$n=[$48$]$のとき最大の自然数$[$49$]$になる．
(2)積が$640$，最大公約数が$8$である$2$つの自然数の和は$[$50$]$または$[$51$]$である．但し$[$50$]<[$51$]$とする．
(3)$3x+7y=49$を満たす自然数$x$と$y$の組$(x,\ y)$は$([$52$],\ [$53$])$と$([$54$],\ [$55$])$である．但し$[$52$]<[$54$]$とする．
(4)$3$進数$1221_{(3)}$を$10$進数で表すと$[$56$]$である．また，$3$進数$0.1221_{(3)}$を$10$進数で表すと$\displaystyle \frac{[$57$]}{[$58$]}$である．
(1)$n$を自然数とする．$\displaystyle \sqrt{\frac{540}{n}}$は$n=[$48$]$のとき最大の自然数$[$49$]$になる．
(2)積が$640$，最大公約数が$8$である$2$つの自然数の和は$[$50$]$または$[$51$]$である．但し$[$50$]<[$51$]$とする．
(3)$3x+7y=49$を満たす自然数$x$と$y$の組$(x,\ y)$は$([$52$],\ [$53$])$と$([$54$],\ [$55$])$である．但し$[$52$]<[$54$]$とする．
(4)$3$進数$1221_{(3)}$を$10$進数で表すと$[$56$]$である．また，$3$進数$0.1221_{(3)}$を$10$進数で表すと$\displaystyle \frac{[$57$]}{[$58$]}$である．
私立 東京都市大学 2015年 第1問次の$[ ]$を埋めよ．
(1)$\log_2 104+\log_2 (27+2+2)-\log_2(2015 \times 2 \div 10)$の値は$[ア]$である．
(2)実数$x,\ y$が等式$(2+xi)(5+i)=3y-8i$を満たすとき，$x=[イ]$，$y=[ウ]$である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(3)整式$P(x)=x^4$を$x-2$で割ると商が$[エ]$，余りが$[オ]$となる．$P(x)$を$(x-2)^2$で割ると商が$[カ]$，余りが$[キ]$となる．
(4)$3$次方程式$\displaystyle \frac{2}{3}x^3-ax^2+a=0$が異なる$3$個の実数解をもつとき，実数の定数$a$の値の範囲は$[ク]$である．
(5)自然数$n$に対して$a_n=2^{-n}$，$\displaystyle b_n=\int_{a_{n+1}}^{a_n} x \, dx$，$\displaystyle c_n=\sum_{k=1}^n b_k$と定義する．$b_n$を$n$の式で表すと$b_n=[ケ]$となるので，数列$\{b_n\}$は初項$[コ]$，公比$[サ]$の等比数列といえる．また，$c_n$を$n$の式で表すと$c_n=[シ]$となるので，数列$\{c_n\}$の和$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n c_k$を$n$の式で表すと$\displaystyle S_n=[ス]$となる．
(6)$1$個のさいころを$4$回続けて投げるとする．$4$回とも同じ目が出る確率は$[セ]$であり，$1$から$4$までの目がそれぞれ$1$回ずつ出る確率は$[ソ]$である．また，出る目が$1$と$2$の$2$種類になる確率は$[タ]$であり，出る目が$1$から$6$までのいずれか$2$種類になる確率は$[チ]$である．
(7)$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(6,\ 3)$，$\mathrm{B}(2,\ 4)$を頂点とする$\triangle \mathrm{OAB}$に対し，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$とする．実数$s,\ t$が条件$\displaystyle 0 \leqq s+t \leqq \frac{1}{2}$，$s \geqq 0$，$t \geqq 0$を満たしながら動くとき，点$\mathrm{P}$の存在範囲が$\triangle \mathrm{OA}^\prime \mathrm{B}^\prime$の周および内部であるとすると，点$\mathrm{A}^\prime$の座標は$[ツ]$，点$\mathrm{B}^\prime$の座標は$[テ]$である．ただし，点$\mathrm{A}^\prime$は直線$\mathrm{OA}$上，点$\mathrm{B}^\prime$は直線$\mathrm{OB}$上にあるものとする．また，$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\displaystyle \mathrm{C} \left( 9,\ \frac{9}{2} \right)$，$\mathrm{D}(3,\ 6)$を頂点とする$\triangle \mathrm{OCD}$に対し，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=s^\prime \overrightarrow{\mathrm{OC}}+t^\prime \overrightarrow{\mathrm{OD}}$とする．点$\mathrm{Q}$の存在範囲が点$\mathrm{P}$の存在範囲と一致するとき，実数$s^\prime$と$t^\prime$の満たす条件は$[ト]$である．
(8)絶対値の記号を用いずに関数$f(x)=|3x^2-3x|-1$を表すと，$0 \leqq x \leqq 1$のとき$f(x)=[ナ]$となり，$x \leqq 0$，$1 \leqq x$のとき$f(x)=[ニ]$となる．したがって，定積分$\displaystyle \int_0^a f(x) \, dx$の値は，$0 \leqq a \leqq 1$のとき$[ヌ]$，$1 \leqq a$のとき$[ネ]$となる．
(1)$\log_2 104+\log_2 (27+2+2)-\log_2(2015 \times 2 \div 10)$の値は$[ア]$である．
(2)実数$x,\ y$が等式$(2+xi)(5+i)=3y-8i$を満たすとき，$x=[イ]$，$y=[ウ]$である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(3)整式$P(x)=x^4$を$x-2$で割ると商が$[エ]$，余りが$[オ]$となる．$P(x)$を$(x-2)^2$で割ると商が$[カ]$，余りが$[キ]$となる．
(4)$3$次方程式$\displaystyle \frac{2}{3}x^3-ax^2+a=0$が異なる$3$個の実数解をもつとき，実数の定数$a$の値の範囲は$[ク]$である．
(5)自然数$n$に対して$a_n=2^{-n}$，$\displaystyle b_n=\int_{a_{n+1}}^{a_n} x \, dx$，$\displaystyle c_n=\sum_{k=1}^n b_k$と定義する．$b_n$を$n$の式で表すと$b_n=[ケ]$となるので，数列$\{b_n\}$は初項$[コ]$，公比$[サ]$の等比数列といえる．また，$c_n$を$n$の式で表すと$c_n=[シ]$となるので，数列$\{c_n\}$の和$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n c_k$を$n$の式で表すと$\displaystyle S_n=[ス]$となる．
(6)$1$個のさいころを$4$回続けて投げるとする．$4$回とも同じ目が出る確率は$[セ]$であり，$1$から$4$までの目がそれぞれ$1$回ずつ出る確率は$[ソ]$である．また，出る目が$1$と$2$の$2$種類になる確率は$[タ]$であり，出る目が$1$から$6$までのいずれか$2$種類になる確率は$[チ]$である．
(7)$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(6,\ 3)$，$\mathrm{B}(2,\ 4)$を頂点とする$\triangle \mathrm{OAB}$に対し，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$とする．実数$s,\ t$が条件$\displaystyle 0 \leqq s+t \leqq \frac{1}{2}$，$s \geqq 0$，$t \geqq 0$を満たしながら動くとき，点$\mathrm{P}$の存在範囲が$\triangle \mathrm{OA}^\prime \mathrm{B}^\prime$の周および内部であるとすると，点$\mathrm{A}^\prime$の座標は$[ツ]$，点$\mathrm{B}^\prime$の座標は$[テ]$である．ただし，点$\mathrm{A}^\prime$は直線$\mathrm{OA}$上，点$\mathrm{B}^\prime$は直線$\mathrm{OB}$上にあるものとする．また，$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\displaystyle \mathrm{C} \left( 9,\ \frac{9}{2} \right)$，$\mathrm{D}(3,\ 6)$を頂点とする$\triangle \mathrm{OCD}$に対し，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=s^\prime \overrightarrow{\mathrm{OC}}+t^\prime \overrightarrow{\mathrm{OD}}$とする．点$\mathrm{Q}$の存在範囲が点$\mathrm{P}$の存在範囲と一致するとき，実数$s^\prime$と$t^\prime$の満たす条件は$[ト]$である．
(8)絶対値の記号を用いずに関数$f(x)=|3x^2-3x|-1$を表すと，$0 \leqq x \leqq 1$のとき$f(x)=[ナ]$となり，$x \leqq 0$，$1 \leqq x$のとき$f(x)=[ニ]$となる．したがって，定積分$\displaystyle \int_0^a f(x) \, dx$の値は，$0 \leqq a \leqq 1$のとき$[ヌ]$，$1 \leqq a$のとき$[ネ]$となる．
私立 大阪工業大学 2015年 第3問数列$\{a_n\}$を$\displaystyle a_1=\frac{1}{2}$，$\displaystyle a_{n+1}=\frac{ka_n}{1+3a_n} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定める．ただし，$k$は正の定数とする．このとき，次の空所を埋めよ．
(1)$k=1$のとき，$\displaystyle b_n=\frac{1}{a_n}$とおくと，数列$\{b_n\}$は初項$[ア]$，公差$[イ]$の等差数列となり，数列$\{a_n\}$の一般項は，$a_n=[ウ] (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$である．
(2)$k \neq 1$のとき，$\displaystyle c_n=\frac{1}{a_n}-\frac{3}{k-1}$とおくと，数列$\{c_n\}$は初項$[エ]$，公比$[オ]$の等比数列となり，数列$\{a_n\}$の一般項は，$\displaystyle a_n=\frac{k-1}{3+[カ]} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$である．
特に，$k=[キ]$のとき，すべての自然数$n$について$a_n$は一定の値である．
(1)$k=1$のとき，$\displaystyle b_n=\frac{1}{a_n}$とおくと，数列$\{b_n\}$は初項$[ア]$，公差$[イ]$の等差数列となり，数列$\{a_n\}$の一般項は，$a_n=[ウ] (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$である．
(2)$k \neq 1$のとき，$\displaystyle c_n=\frac{1}{a_n}-\frac{3}{k-1}$とおくと，数列$\{c_n\}$は初項$[エ]$，公比$[オ]$の等比数列となり，数列$\{a_n\}$の一般項は，$\displaystyle a_n=\frac{k-1}{3+[カ]} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$である．
特に，$k=[キ]$のとき，すべての自然数$n$について$a_n$は一定の値である．
私立 広島経済大学 2015年 第5問次の各問の空欄に当てはまる最も適切な数値を記入せよ．
(1)$n$を自然数とする．$\sqrt{504n}$は$n=[$39$]$のとき最小の自然数$[$40$]$になる．
(2)和が$80$，最大公約数が$16$である$2$つの自然数の差は$[$41$]$または$[$42$]$である．但し$[$41$]<[$42$]$とする．
(3)$9$で割ると$2$余り$8$で割ると$3$余る自然数$n$のうち，$10 \leqq n \leqq 100$を満たす$n$は$[$43$]$と$[$44$]$である．但し$[$43$]<[$44$]$とする．
(4)$112,\ 211,\ 409$のいずれを割っても余りが$13$となる自然数のうち，最大の自然数は$[$45$]$であり，最小の自然数は$[$46$]$である．
(1)$n$を自然数とする．$\sqrt{504n}$は$n=[$39$]$のとき最小の自然数$[$40$]$になる．
(2)和が$80$，最大公約数が$16$である$2$つの自然数の差は$[$41$]$または$[$42$]$である．但し$[$41$]<[$42$]$とする．
(3)$9$で割ると$2$余り$8$で割ると$3$余る自然数$n$のうち，$10 \leqq n \leqq 100$を満たす$n$は$[$43$]$と$[$44$]$である．但し$[$43$]<[$44$]$とする．
(4)$112,\ 211,\ 409$のいずれを割っても余りが$13$となる自然数のうち，最大の自然数は$[$45$]$であり，最小の自然数は$[$46$]$である．
私立 中部大学 2015年 第4問次の問いに答えよ．
(1)すべての自然数$k$に対して，
\[ \frac{2k+6}{k^3+3k^2+2k}=\frac{a}{k}+\frac{b}{k+1}+\frac{c}{k+2} \]
が成り立つように，定数$a,\ b,\ c$の値を決定せよ．
(2)$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{2k+6}{k^3+3k^2+2k}$を求めよ．
(1)すべての自然数$k$に対して，
\[ \frac{2k+6}{k^3+3k^2+2k}=\frac{a}{k}+\frac{b}{k+1}+\frac{c}{k+2} \]
が成り立つように，定数$a,\ b,\ c$の値を決定せよ．
(2)$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{2k+6}{k^3+3k^2+2k}$を求めよ．
私立 近畿大学 2015年 第2問自然数からなる数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$を，$a_n+b_n \sqrt{5}={(3+\sqrt{5})}^n$によって定める．
(1)$a_3=[ア][イ],\ b_3=[ウ][エ]$であり，また$a_4=[オ][カ][キ],\ b_4=[ク][ケ][コ]$である．
(2)$a_{n+1}=[サ]a_n+[シ]b_n$であり，また$b_{n+1}=a_n+[ス]b_n$である．ここで$c_n=a_n-b_n \sqrt{5}$とおくと，$c_n={([セ]-\sqrt{[ソ]})}^n$となる．
(3)$b_n$の値が初めて$10000$を超えるのは$n=[タ]$のときである．また，$\displaystyle \frac{c_n}{a_n}$の値が初めて$\displaystyle \frac{1}{10000}$より小さくなるのは$n=[チ]$のときである．
(1)$a_3=[ア][イ],\ b_3=[ウ][エ]$であり，また$a_4=[オ][カ][キ],\ b_4=[ク][ケ][コ]$である．
(2)$a_{n+1}=[サ]a_n+[シ]b_n$であり，また$b_{n+1}=a_n+[ス]b_n$である．ここで$c_n=a_n-b_n \sqrt{5}$とおくと，$c_n={([セ]-\sqrt{[ソ]})}^n$となる．
(3)$b_n$の値が初めて$10000$を超えるのは$n=[タ]$のときである．また，$\displaystyle \frac{c_n}{a_n}$の値が初めて$\displaystyle \frac{1}{10000}$より小さくなるのは$n=[チ]$のときである．
私立 近畿大学 2015年 第2問自然数からなる数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$を，$a_n+b_n \sqrt{5}={(3+\sqrt{5})}^n$によって定める．
(1)$a_3=[ア][イ],\ b_3=[ウ][エ]$であり，また$a_4=[オ][カ][キ],\ b_4=[ク][ケ][コ]$である．
(2)$a_{n+1}=[サ]a_n+[シ]b_n$であり，また$b_{n+1}=a_n+[ス]b_n$である．ここで$c_n=a_n-b_n \sqrt{5}$とおくと，$c_n={([セ]-\sqrt{[ソ]})}^n$となる．
(3)$b_n$の値が初めて$10000$を超えるのは$n=[タ]$のときである．また，$\displaystyle \frac{c_n}{a_n}$の値が初めて$\displaystyle \frac{1}{10000}$より小さくなるのは$n=[チ]$のときである．
(1)$a_3=[ア][イ],\ b_3=[ウ][エ]$であり，また$a_4=[オ][カ][キ],\ b_4=[ク][ケ][コ]$である．
(2)$a_{n+1}=[サ]a_n+[シ]b_n$であり，また$b_{n+1}=a_n+[ス]b_n$である．ここで$c_n=a_n-b_n \sqrt{5}$とおくと，$c_n={([セ]-\sqrt{[ソ]})}^n$となる．
(3)$b_n$の値が初めて$10000$を超えるのは$n=[タ]$のときである．また，$\displaystyle \frac{c_n}{a_n}$の値が初めて$\displaystyle \frac{1}{10000}$より小さくなるのは$n=[チ]$のときである．
私立 広島文化学園大学 2015年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$(x^2+2x+3)(x^2-2x+3)$を展開せよ．
(2)$x^2-4ax-5a^2$を因数分解せよ．
(3)$\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{3}+2},\ y=\frac{1}{\sqrt{3}-2}$のとき，式$x^2+y^2$の値を求めよ．
(4)$|3x+1| \geqq 2$を解け．
(5)集合$A$を$1$から$12$までの自然数の集合，集合$B$を素数全体の集合とするとき，$A \cap B$の要素を書き並べて表せ．
(6)次の$[ ]$にあてはまるものとして，「必要条件である」，「十分条件である」，「必要十分条件である」，「必要条件でも十分条件でもない」のうち，最も適切なものを選べ．
$x^2=16$は$x=4$であるための$[ ]$．
(7)$\displaystyle \sin \theta=\frac{3}{\sqrt{13}}$であるとき，$\cos^2 \theta-\sin^2 \theta$の値を求めよ．
(8)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}={135}^\circ$，$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AC}=\sqrt{2}$のとき，$\mathrm{BC}$を求めよ．
(1)$(x^2+2x+3)(x^2-2x+3)$を展開せよ．
(2)$x^2-4ax-5a^2$を因数分解せよ．
(3)$\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{3}+2},\ y=\frac{1}{\sqrt{3}-2}$のとき，式$x^2+y^2$の値を求めよ．
(4)$|3x+1| \geqq 2$を解け．
(5)集合$A$を$1$から$12$までの自然数の集合，集合$B$を素数全体の集合とするとき，$A \cap B$の要素を書き並べて表せ．
(6)次の$[ ]$にあてはまるものとして，「必要条件である」，「十分条件である」，「必要十分条件である」，「必要条件でも十分条件でもない」のうち，最も適切なものを選べ．
$x^2=16$は$x=4$であるための$[ ]$．
(7)$\displaystyle \sin \theta=\frac{3}{\sqrt{13}}$であるとき，$\cos^2 \theta-\sin^2 \theta$の値を求めよ．
(8)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}={135}^\circ$，$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AC}=\sqrt{2}$のとき，$\mathrm{BC}$を求めよ．
私立 中部大学 2015年 第1問次の$[ア]$から$[ス]$にあてはまる数字または符号を入れよ．
(1)$2$次関数$y=x^2-4x+3$のグラフは，$y=x^2+2x+5$のグラフを$x$軸方向に$[ア]$，$y$軸方向に$[イ][ウ]$平行移動したものである．
(2)$1$から$8$までの自然数の中から異なる$4$個の数を選ぶとき，最大数が$7$以下となるような選び方は$[エ][オ]$通りあり，最大数が$7$となるような選び方は$[カ][キ]$通りある．
(3)方程式$(\log_3 2)(\log_4 \sqrt{x})=\log_x 3$の解は，$\displaystyle x=\frac{[ク]}{[ケ]},\ [コ]$である．
(4)実数$x,\ y$が$3x^2+2y^2=6x$を満たすとき，$x^2+2y^2$の最大値は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シ]}$であり，最小値は$[ス]$である．
(1)$2$次関数$y=x^2-4x+3$のグラフは，$y=x^2+2x+5$のグラフを$x$軸方向に$[ア]$，$y$軸方向に$[イ][ウ]$平行移動したものである．
(2)$1$から$8$までの自然数の中から異なる$4$個の数を選ぶとき，最大数が$7$以下となるような選び方は$[エ][オ]$通りあり，最大数が$7$となるような選び方は$[カ][キ]$通りある．
(3)方程式$(\log_3 2)(\log_4 \sqrt{x})=\log_x 3$の解は，$\displaystyle x=\frac{[ク]}{[ケ]},\ [コ]$である．
(4)実数$x,\ y$が$3x^2+2y^2=6x$を満たすとき，$x^2+2y^2$の最大値は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シ]}$であり，最小値は$[ス]$である．