「自然数」について
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私立 上智大学 2015年 第1問次の問いに答えよ．
(1)関数$f(x),\ g(x)$が次の$2$つの式を満たしている．ただし，$a$は定数とする．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
\int_1^x f(t) \, dt=xg(x)-2ax+2 \phantom{\frac{[ ]}{[ ]}} \\
g(x)=x^2-x \int_0^1 f(t) \, dt-3 \phantom{\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \right. \]
このとき，$a=[ア]$であり，
\[ f(x)=[イ]x^2+[ウ]x+[エ] \]
である．
(2)$\displaystyle c(n)=\frac{3n^2+174n+231}{n^2+3n+2}$とおく．$c(n)$が整数となるような自然数$n$は$[オ]$個存在する．また，これら$[オ]$個の自然数のうちで最も大きいものを$n^{*}$と表すと，$n^{*}=[カ]$，$c(n^{*})=[キ]$である．
(1)関数$f(x),\ g(x)$が次の$2$つの式を満たしている．ただし，$a$は定数とする．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
\int_1^x f(t) \, dt=xg(x)-2ax+2 \phantom{\frac{[ ]}{[ ]}} \\
g(x)=x^2-x \int_0^1 f(t) \, dt-3 \phantom{\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \right. \]
このとき，$a=[ア]$であり，
\[ f(x)=[イ]x^2+[ウ]x+[エ] \]
である．
(2)$\displaystyle c(n)=\frac{3n^2+174n+231}{n^2+3n+2}$とおく．$c(n)$が整数となるような自然数$n$は$[オ]$個存在する．また，これら$[オ]$個の自然数のうちで最も大きいものを$n^{*}$と表すと，$n^{*}=[カ]$，$c(n^{*})=[キ]$である．
私立 慶應義塾大学 2015年 第4問企業$\mathrm{X}$が$n$個の新製品を同時に開発しており，各新製品の開発に成功する確率は$\displaystyle \frac{1}{9}$である．すべての開発の結果が出た後に企業$\mathrm{X}$が存続できるための必要十分条件は，$n$個のうち$1$個以上の新製品の開発に成功していることである．ただし，各新製品の開発は独立な試行であるとする．企業$\mathrm{X}$が$n$個の新製品すべての開発に失敗する確率を$p_n$，また企業$\mathrm{X}$が存続できる確率を$q_n$とする．以下では，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$として計算せよ．
(1)$p_n,\ q_n$をそれぞれ$n$を用いて表せ．
(2)$q_n \geqq 0.9$を満たす最小の自然数$n$を求めよ．
(3)$\displaystyle \frac{k}{1000}<q_{50}<\frac{k+1}{1000}$を満たす自然数$k$を求めよ．
(1)$p_n,\ q_n$をそれぞれ$n$を用いて表せ．
(2)$q_n \geqq 0.9$を満たす最小の自然数$n$を求めよ．
(3)$\displaystyle \frac{k}{1000}<q_{50}<\frac{k+1}{1000}$を満たす自然数$k$を求めよ．
私立 上智大学 2015年 第2問$N$を$2$以上の整数とする．整数$a,\ b$に対し，演算$\oplus$を
\[ a \oplus b=\biggl( (a+b) \text{を}N \text{で割ったときの余り} \biggr) \]
と定める．例えば，$N=2$のとき，
\[ 0 \oplus 0=0,\quad 0 \oplus 1=1,\quad 1 \oplus 1=0,\quad 1 \oplus 3=0 \]
である．
(1)次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$を考える．
\[ a_1=1,\quad a_{n+1}=a_n \oplus (n+1) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
(i) $N=4$のとき，$a_3=[ヌ]$である．
(ii) $N \geqq 4$とする．
$N$が偶数のとき，$\displaystyle a_{N+1}=\frac{[ネ]}{[ノ]}N+[ハ]$，
$N$が奇数のとき，$\displaystyle a_{N+1}=[ヒ]$である．
(iii) $N$が偶数のとき，$\displaystyle a_{N-1}=\frac{[フ]}{[ヘ]}N+[ホ]$，
$N$が奇数のとき，$\displaystyle a_{N-1}=[マ]$である．
(2)$N$を偶数とし，$N=2M$と表す．ただし，$M$は自然数である．次の条件によって定められる数列$\{b_n\}$を考える．
\[ b_1=1,\quad b_{n+1}=b_n \oplus (2n+1) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき，$b_M=0$となる必要十分条件は，$N$が$[ミ]$の倍数となることである．
$N$が$[ミ]$の倍数でない偶数のとき，$\displaystyle b_M=\frac{[ム]}{[メ]}N$である．
\[ a \oplus b=\biggl( (a+b) \text{を}N \text{で割ったときの余り} \biggr) \]
と定める．例えば，$N=2$のとき，
\[ 0 \oplus 0=0,\quad 0 \oplus 1=1,\quad 1 \oplus 1=0,\quad 1 \oplus 3=0 \]
である．
(1)次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$を考える．
\[ a_1=1,\quad a_{n+1}=a_n \oplus (n+1) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
(i) $N=4$のとき，$a_3=[ヌ]$である．
(ii) $N \geqq 4$とする．
$N$が偶数のとき，$\displaystyle a_{N+1}=\frac{[ネ]}{[ノ]}N+[ハ]$，
$N$が奇数のとき，$\displaystyle a_{N+1}=[ヒ]$である．
(iii) $N$が偶数のとき，$\displaystyle a_{N-1}=\frac{[フ]}{[ヘ]}N+[ホ]$，
$N$が奇数のとき，$\displaystyle a_{N-1}=[マ]$である．
(2)$N$を偶数とし，$N=2M$と表す．ただし，$M$は自然数である．次の条件によって定められる数列$\{b_n\}$を考える．
\[ b_1=1,\quad b_{n+1}=b_n \oplus (2n+1) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき，$b_M=0$となる必要十分条件は，$N$が$[ミ]$の倍数となることである．
$N$が$[ミ]$の倍数でない偶数のとき，$\displaystyle b_M=\frac{[ム]}{[メ]}N$である．
私立 東京理科大学 2015年 第3問以下の問いに答えよ．（$n$は自然数とする．）
(1)$x=a \tan \theta$とおくことにより，定積分
\[ \int_0^a \frac{dx}{a^2+x^2} \quad (a>0) \]
を求めよ．
(2)極限値
\[ \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{2n} \frac{n}{4n^2+k^2} \]
を求めよ．
(3)以下の問いに答えよ．
(i) 実数$x \geqq 0$に対して
\[ \frac{1}{1+x^2}-x^{2n+2} \leqq 1+\sum_{k=1}^n (-x^2)^k \leqq \frac{1}{1+x^2}+x^{2n+2} \]
を示せ．
(ii) 数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{2k+1}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots+(-1)^n \frac{1}{2n+1} \]
により定める．$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ．
(1)$x=a \tan \theta$とおくことにより，定積分
\[ \int_0^a \frac{dx}{a^2+x^2} \quad (a>0) \]
を求めよ．
(2)極限値
\[ \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{2n} \frac{n}{4n^2+k^2} \]
を求めよ．
(3)以下の問いに答えよ．
(i) 実数$x \geqq 0$に対して
\[ \frac{1}{1+x^2}-x^{2n+2} \leqq 1+\sum_{k=1}^n (-x^2)^k \leqq \frac{1}{1+x^2}+x^{2n+2} \]
を示せ．
(ii) 数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{2k+1}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots+(-1)^n \frac{1}{2n+1} \]
により定める．$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ．
私立 東京理科大学 2015年 第2問各自然数$n$に対し，$X_n,\ Y_n,\ V_n,\ W_n$を
\[ X_n+Y_n \sqrt{5}=(2+\sqrt{5})^{2n-1},\quad V_n-W_n \sqrt{5}=(2-\sqrt{5})^{2n-1} \]
が成り立つような整数とする．次の問いに答えよ．$\sqrt{5}$が無理数であることを証明なしで使ってもよい．
(1)$X_2,\ Y_2,\ V_2,\ W_2$の値を求めよ．
(2)$X_{n+1},\ Y_{n+1}$をそれぞれ$X_n$と$Y_n$の式で表せ．
(3)$V_{n+1},\ W_{n+1}$をそれぞれ$V_n$と$W_n$の式で表せ．
(4)$X_n^2-5Y_n^2$を計算せよ．
(5)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{X_n}{Y_n}$を計算せよ．
\[ X_n+Y_n \sqrt{5}=(2+\sqrt{5})^{2n-1},\quad V_n-W_n \sqrt{5}=(2-\sqrt{5})^{2n-1} \]
が成り立つような整数とする．次の問いに答えよ．$\sqrt{5}$が無理数であることを証明なしで使ってもよい．
(1)$X_2,\ Y_2,\ V_2,\ W_2$の値を求めよ．
(2)$X_{n+1},\ Y_{n+1}$をそれぞれ$X_n$と$Y_n$の式で表せ．
(3)$V_{n+1},\ W_{n+1}$をそれぞれ$V_n$と$W_n$の式で表せ．
(4)$X_n^2-5Y_n^2$を計算せよ．
(5)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{X_n}{Y_n}$を計算せよ．
私立 東京理科大学 2015年 第2問各辺の長さが整数であるような三角形を考え，その$3$辺の長さを$x,\ y,\ z (x \leqq y \leqq z)$とする．また，$n$を自然数とする．このとき以下の問いに答えよ．
(1)$z=n$であるような三角形の個数を$a_n$とするとき，$a_5$および$a_6$を求めよ．
(2)$(1)$の$a_n$を$n$の式で表せ．
(3)$z \leqq n$であるような三角形の個数を$b_n$とする．
(i) $b_n$を$n$の式で表せ．
(ii) $b_n>2015$となるような最小の自然数$n$を求めよ．
(4)$z=n$であるような三角形で二等辺三角形でないものの個数を$c_n$とするとき，$c_n$を$n$の式で表せ．
(1)$z=n$であるような三角形の個数を$a_n$とするとき，$a_5$および$a_6$を求めよ．
(2)$(1)$の$a_n$を$n$の式で表せ．
(3)$z \leqq n$であるような三角形の個数を$b_n$とする．
(i) $b_n$を$n$の式で表せ．
(ii) $b_n>2015$となるような最小の自然数$n$を求めよ．
(4)$z=n$であるような三角形で二等辺三角形でないものの個数を$c_n$とするとき，$c_n$を$n$の式で表せ．
私立 東京理科大学 2015年 第5問$n$を自然数とする．$k=1,\ 2,\ 3$に対して，次の条件$\mathrm{P}_k$を考える．
$\mathrm{P}_k: \quad k \leqq r \leqq n-k$を満たすすべての自然数$r$に対して，$\comb{n}{r}$は偶数である．
(1)$2 \leqq n \leqq 20$，$k=1$とする．$\mathrm{P}_1$を満たす$n$は全部で$[ア]$個ある．このうち，最大のものは$[イ][ウ]$である．
(2)$4 \leqq n \leqq 1000$，$k=2$とする．$\mathrm{P}_2$を満たす$n$は全部で$[エ][オ]$個ある．このうち，最大のものは$[カ][キ][ク]$である．
(3)$6 \leqq n \leqq {10}^{16}$，$k=3$とする．$\mathrm{P}_3$を満たす$n$は全部で$[ケ][コ][サ]$個ある．
（注意：$0.3010<\log_{10}2<0.3011$）
$\mathrm{P}_k: \quad k \leqq r \leqq n-k$を満たすすべての自然数$r$に対して，$\comb{n}{r}$は偶数である．
(1)$2 \leqq n \leqq 20$，$k=1$とする．$\mathrm{P}_1$を満たす$n$は全部で$[ア]$個ある．このうち，最大のものは$[イ][ウ]$である．
(2)$4 \leqq n \leqq 1000$，$k=2$とする．$\mathrm{P}_2$を満たす$n$は全部で$[エ][オ]$個ある．このうち，最大のものは$[カ][キ][ク]$である．
(3)$6 \leqq n \leqq {10}^{16}$，$k=3$とする．$\mathrm{P}_3$を満たす$n$は全部で$[ケ][コ][サ]$個ある．
（注意：$0.3010<\log_{10}2<0.3011$）
私立 東京理科大学 2015年 第1問次の$[ ]$内にあてはまる$0$から$9$までの数字を求めよ．
(1)$\displaystyle f(x)=4x^4+8x^3+3x^2-2x+\frac{1}{4}$，$\displaystyle g(x)=4x^4-8x^3+3x^2+2x+\frac{1}{4}$で定められる関数に対して，
$f(x)$は$\displaystyle x=-\frac{[ア]}{[イ]}+\frac{[ウ]}{[エ]} \sqrt{3}$において最小値$\displaystyle \frac{[オ][カ]}{[キ][ク]}-\frac{[ケ]}{[コ]} \sqrt{3}$をとり，
$g(x)$は$\displaystyle x=\frac{[サ]}{[シ]}-\frac{[ス]}{[セ]} \sqrt{3}$において最小値$\displaystyle \frac{[ソ][タ]}{[チ][ツ]}-\frac{[テ]}{[ト]} \sqrt{3}$をとる．
(2)$a$を正の実数とし，座標平面上の$2$曲線$\displaystyle B_1:y={\left( \frac{a}{\pi} x \right)}^2$と$B_2:y=\sin x$の$0<x<\pi$における交点の$x$座標を$t$，$0 \leqq x \leqq t$において$2$曲線で囲まれた領域の面積を$S$とすると，
\[ S=[ナ]-\frac{[ニ]}{[ヌ]}t \sin t-[ネ] \cos t \]
である．
$a=2$のとき，$\displaystyle t=\frac{[ノ]}{[ハ]} \pi$である．
$0<a \leqq 2$に対して$S$がとり得る値の範囲は
\[ [ヒ]-\frac{[フ]}{[ヘ]} \pi \leqq S<[ホ] \]
である．
(3)空調のある$1$号室，$2$号室，$3$号室は電力事情により，同時に$1$部屋しか空調の電源をオンにできない．最初は$1$号室の電源をオンにすることにし，それ以降は$1$時間ごとに大小の$2$つの公平なさいころをふって，どの部屋の電源をオンにするかを以下のように決める．
\begin{itemize}
大きい方のさいころの目が奇数ならば，小さい方の目にかかわらず同じ部屋の電源をオンにしたままとする．
大きい方のさいころの目が偶数ならば，残りの$2$つの部屋のどちらか一方の電源をオンにする．その際，小さい方のさいころの目が奇数ならば，番号の小さい部屋の電源，偶数ならば番号の大きい方の電源をオンにする．
\end{itemize}
自然数$n$に対して，$1$号室の電源を最初にオンにした時から$n$時間後に，$1$号室の空調の電源をオンにする確率を$a_n$，$2$号室の空調の電源をオンにする確率を$b_n$，$3$号室の空調の電源をオンにする確率を$c_n$とする．
(i) $\displaystyle a_1=\frac{[マ]}{[ミ]}$，$\displaystyle b_1=\frac{[ム]}{[メ]}$，$\displaystyle c_1=\frac{[モ]}{[ヤ]}$である．
すべての自然数$n$に対して以下が成り立つ．
(ii) $a_n+b_n+c_n=[ユ]$
(iii) $\displaystyle a_{n+1}=\frac{[ヨ]}{[ラ]}a_n+\frac{[リ]}{[ル]}b_n+\frac{[リ]}{[ル]}c_n$
\mon[$\tokeishi$] $\displaystyle a_n=\frac{[レ]}{[ロ]} {\left( \frac{[ワ]}{[ヲ]} \right)}^n+\frac{[ン]}{[あ]}$
$\displaystyle b_n=-\frac{[い]}{[う]} {\left( \frac{[え]}{[お]} \right)}^n+\frac{[か]}{[き]}$
$\displaystyle c_n=-\frac{[く]}{[け]} {\left( \frac{[こ]}{[さ]} \right)}^n+\frac{[し]}{[す]}$
(1)$\displaystyle f(x)=4x^4+8x^3+3x^2-2x+\frac{1}{4}$，$\displaystyle g(x)=4x^4-8x^3+3x^2+2x+\frac{1}{4}$で定められる関数に対して，
$f(x)$は$\displaystyle x=-\frac{[ア]}{[イ]}+\frac{[ウ]}{[エ]} \sqrt{3}$において最小値$\displaystyle \frac{[オ][カ]}{[キ][ク]}-\frac{[ケ]}{[コ]} \sqrt{3}$をとり，
$g(x)$は$\displaystyle x=\frac{[サ]}{[シ]}-\frac{[ス]}{[セ]} \sqrt{3}$において最小値$\displaystyle \frac{[ソ][タ]}{[チ][ツ]}-\frac{[テ]}{[ト]} \sqrt{3}$をとる．
(2)$a$を正の実数とし，座標平面上の$2$曲線$\displaystyle B_1:y={\left( \frac{a}{\pi} x \right)}^2$と$B_2:y=\sin x$の$0<x<\pi$における交点の$x$座標を$t$，$0 \leqq x \leqq t$において$2$曲線で囲まれた領域の面積を$S$とすると，
\[ S=[ナ]-\frac{[ニ]}{[ヌ]}t \sin t-[ネ] \cos t \]
である．
$a=2$のとき，$\displaystyle t=\frac{[ノ]}{[ハ]} \pi$である．
$0<a \leqq 2$に対して$S$がとり得る値の範囲は
\[ [ヒ]-\frac{[フ]}{[ヘ]} \pi \leqq S<[ホ] \]
である．
(3)空調のある$1$号室，$2$号室，$3$号室は電力事情により，同時に$1$部屋しか空調の電源をオンにできない．最初は$1$号室の電源をオンにすることにし，それ以降は$1$時間ごとに大小の$2$つの公平なさいころをふって，どの部屋の電源をオンにするかを以下のように決める．
\begin{itemize}
大きい方のさいころの目が奇数ならば，小さい方の目にかかわらず同じ部屋の電源をオンにしたままとする．
大きい方のさいころの目が偶数ならば，残りの$2$つの部屋のどちらか一方の電源をオンにする．その際，小さい方のさいころの目が奇数ならば，番号の小さい部屋の電源，偶数ならば番号の大きい方の電源をオンにする．
\end{itemize}
自然数$n$に対して，$1$号室の電源を最初にオンにした時から$n$時間後に，$1$号室の空調の電源をオンにする確率を$a_n$，$2$号室の空調の電源をオンにする確率を$b_n$，$3$号室の空調の電源をオンにする確率を$c_n$とする．
(i) $\displaystyle a_1=\frac{[マ]}{[ミ]}$，$\displaystyle b_1=\frac{[ム]}{[メ]}$，$\displaystyle c_1=\frac{[モ]}{[ヤ]}$である．
すべての自然数$n$に対して以下が成り立つ．
(ii) $a_n+b_n+c_n=[ユ]$
(iii) $\displaystyle a_{n+1}=\frac{[ヨ]}{[ラ]}a_n+\frac{[リ]}{[ル]}b_n+\frac{[リ]}{[ル]}c_n$
\mon[$\tokeishi$] $\displaystyle a_n=\frac{[レ]}{[ロ]} {\left( \frac{[ワ]}{[ヲ]} \right)}^n+\frac{[ン]}{[あ]}$
$\displaystyle b_n=-\frac{[い]}{[う]} {\left( \frac{[え]}{[お]} \right)}^n+\frac{[か]}{[き]}$
$\displaystyle c_n=-\frac{[く]}{[け]} {\left( \frac{[こ]}{[さ]} \right)}^n+\frac{[し]}{[す]}$
私立 東北学院大学 2015年 第1問次の各問題の$[ ]$に適する答えを記入せよ．
(1)$\log_9 (x^2+1)-\log_3 x=1$のとき$x=[ア]$である．
(2)$\sqrt{3} \sin \theta-\cos \theta=2 \sin (\theta-\alpha)$のとき$\alpha=[イ]$である．ただし$0<\alpha<\pi$とする．
(3)$3$の倍数で$1000$以下の自然数すべての和は$[ウ]$である．
(1)$\log_9 (x^2+1)-\log_3 x=1$のとき$x=[ア]$である．
(2)$\sqrt{3} \sin \theta-\cos \theta=2 \sin (\theta-\alpha)$のとき$\alpha=[イ]$である．ただし$0<\alpha<\pi$とする．
(3)$3$の倍数で$1000$以下の自然数すべての和は$[ウ]$である．
私立 早稲田大学 2015年 第1問次の各問に答えよ．
(1)整式$P(x)$を$(x-1)(x-4)$で割ると余りは$43x-35$であり，$(x-2)(x-3)$で割ると余りは$39x-55$であるという．このとき，$P(x)$を
\[ (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) \]
で割ったときの余りを求めよ．
(2)座標平面に$4$点$\mathrm{A}(1,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ -1)$，$\mathrm{C}(-1,\ 1)$，$\mathrm{D}(-1,\ -1)$がある．実数$x$が$0 \leqq x \leqq 1$の範囲にあるとき，$2$点$\mathrm{P}(x,\ 0)$，$\mathrm{Q}(-x,\ 0)$を考える．このとき，$5$本の線分の長さの和
\[ \mathrm{AP}+\mathrm{BP}+\mathrm{PQ}+\mathrm{CQ}+\mathrm{DQ} \]
が最小となるような$x$の値を求めよ．ただし，$x=0$のときは$\mathrm{PQ}=0$とする．
(3)$1$から$10$までの自然数からなる集合$\{1,\ 2,\ \cdots,\ 10\}$の中から異なる$3$つの数を選ぶとする．このとき，選んだ数の和が$3$で割り切れる確率を求めよ．
(4)座標平面において楕円$\displaystyle E:\frac{x^2}{a}+y^2=1$を考える．ただし，$a$は$a>0$をみたす定数とする．楕円$E$上の点$\mathrm{A}(0,\ 1)$を中心とする円$C$が，次の$2$つの条件をみたしているとする．
(i) 楕円$E$は円$C$とその内部に含まれ，$E$と$C$は$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で接する．
(ii) $\triangle \mathrm{APQ}$は正三角形である．
このとき，$a$の値を求めよ．
(1)整式$P(x)$を$(x-1)(x-4)$で割ると余りは$43x-35$であり，$(x-2)(x-3)$で割ると余りは$39x-55$であるという．このとき，$P(x)$を
\[ (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) \]
で割ったときの余りを求めよ．
(2)座標平面に$4$点$\mathrm{A}(1,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ -1)$，$\mathrm{C}(-1,\ 1)$，$\mathrm{D}(-1,\ -1)$がある．実数$x$が$0 \leqq x \leqq 1$の範囲にあるとき，$2$点$\mathrm{P}(x,\ 0)$，$\mathrm{Q}(-x,\ 0)$を考える．このとき，$5$本の線分の長さの和
\[ \mathrm{AP}+\mathrm{BP}+\mathrm{PQ}+\mathrm{CQ}+\mathrm{DQ} \]
が最小となるような$x$の値を求めよ．ただし，$x=0$のときは$\mathrm{PQ}=0$とする．
(3)$1$から$10$までの自然数からなる集合$\{1,\ 2,\ \cdots,\ 10\}$の中から異なる$3$つの数を選ぶとする．このとき，選んだ数の和が$3$で割り切れる確率を求めよ．
(4)座標平面において楕円$\displaystyle E:\frac{x^2}{a}+y^2=1$を考える．ただし，$a$は$a>0$をみたす定数とする．楕円$E$上の点$\mathrm{A}(0,\ 1)$を中心とする円$C$が，次の$2$つの条件をみたしているとする．
(i) 楕円$E$は円$C$とその内部に含まれ，$E$と$C$は$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で接する．
(ii) $\triangle \mathrm{APQ}$は正三角形である．
このとき，$a$の値を求めよ．