「自然数」について
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国立 滋賀大学 2015年 第4問座標平面において，点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を中心とする半径$1$の円に内接する正六角形のうち，点$\mathrm{A}_1(1,\ 0)$を$1$つの頂点とするものを考え，その頂点を$\mathrm{A}_1$から反時計回りに，$\mathrm{B}_1$，$\mathrm{C}_1$，$\mathrm{D}_1$，$\mathrm{E}_1$，$\mathrm{F}_1$とする．同様に，$2$以上の自然数$n$に対して，$\mathrm{O}$を中心とする半径$n$の円に内接する正六角形のうち，点$\mathrm{A}_n(n,\ 0)$を$1$つの頂点とするものを考え，その頂点を$\mathrm{A}_n$から反時計回りに，$\mathrm{B}_n$，$\mathrm{C}_n$，$\mathrm{D}_n$，$\mathrm{E}_n$，$\mathrm{F}_n$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}_1}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}_1}=\overrightarrow{b}$とするとき，次の問いに答えよ．
（図は省略）
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OC}_1}$，$\overrightarrow{\mathrm{B}_3 \mathrm{C}_7}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$s,\ t$を実数として，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$と表される点$\mathrm{P}$が，正六角形$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{C}_n \mathrm{D}_n \mathrm{E}_n \mathrm{F}_n$の辺$\mathrm{A}_n \mathrm{F}_n$上にあるための必要十分条件を$s,\ t,\ n$を用いて表せ．ただし，$n$は自然数とし，頂点$\mathrm{A}_n$，$\mathrm{F}_n$は辺$\mathrm{A}_n \mathrm{F}_n$上の点とする．
(3)点$\mathrm{B}_3$，$\mathrm{C}_7$，$\mathrm{E}_2$と辺$\mathrm{A}_n \mathrm{F}_n$上の点$\mathrm{P}$がある平行四辺形の頂点となるような自然数$n$を求め，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
（図は省略）
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OC}_1}$，$\overrightarrow{\mathrm{B}_3 \mathrm{C}_7}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$s,\ t$を実数として，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$と表される点$\mathrm{P}$が，正六角形$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{C}_n \mathrm{D}_n \mathrm{E}_n \mathrm{F}_n$の辺$\mathrm{A}_n \mathrm{F}_n$上にあるための必要十分条件を$s,\ t,\ n$を用いて表せ．ただし，$n$は自然数とし，頂点$\mathrm{A}_n$，$\mathrm{F}_n$は辺$\mathrm{A}_n \mathrm{F}_n$上の点とする．
(3)点$\mathrm{B}_3$，$\mathrm{C}_7$，$\mathrm{E}_2$と辺$\mathrm{A}_n \mathrm{F}_n$上の点$\mathrm{P}$がある平行四辺形の頂点となるような自然数$n$を求め，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
国立 帯広畜産大学 2015年 第1問数列$\{a_n\}$は初項$a$，公比$r$の等比数列であり，その一般項を$a_n$で表す．また，数列$\{b_n\}$は一般項が$b_n=\log_2 a_n$で定義され，その初項から第$n$項までの和を$S_n$で表す．ただし，$n$は自然数である．次の各問に答えなさい．
(1)$a_2=16$，$b_3=2$とする．
(i) $r,\ a$の値を求めなさい．
(ii) $b_5,\ S_5$の値を求めなさい．
(iii) 不等式$S_n \geqq 10$を満たす$n$の値をすべて求めなさい．
(2)$\displaystyle a=2^{32},\ \frac{a}{r}=2^{35}$とする．
(i) $r,\ a_{10}$の値を求めなさい．
(ii) $S_n$が最大になるとき，$n$および$S_n$の値を求めなさい．
(iii) 不等式$S_n<0$を満たす$n$の最小値を求めなさい．
(3)$\displaystyle x>-2,\ \beta=\frac{3\pi}{7},\ \theta=\frac{\pi}{14}$とする．
(i) 次の$3$つの条件を同時に満たす$x$の値を求めなさい．
\[ a=x+2,\quad r=x+3,\quad b_2=1+\log_2 (x+8) \]
(ii) $\log_2 a=\cos^2 \beta+\sin \beta \cos \theta$，$\log_2 r=\sin^2 \beta+\cos \beta \sin \theta$のとき，$b_2$の値を求めなさい．
(iii) $\log_2 a=\sin^2 \theta+\cos \beta \cos \theta$，$\displaystyle \log_2 r^2=\frac{1}{2} \cos 2\theta-\sin \beta \sin \theta$のとき，$b_3$の値を求めなさい．
(1)$a_2=16$，$b_3=2$とする．
(i) $r,\ a$の値を求めなさい．
(ii) $b_5,\ S_5$の値を求めなさい．
(iii) 不等式$S_n \geqq 10$を満たす$n$の値をすべて求めなさい．
(2)$\displaystyle a=2^{32},\ \frac{a}{r}=2^{35}$とする．
(i) $r,\ a_{10}$の値を求めなさい．
(ii) $S_n$が最大になるとき，$n$および$S_n$の値を求めなさい．
(iii) 不等式$S_n<0$を満たす$n$の最小値を求めなさい．
(3)$\displaystyle x>-2,\ \beta=\frac{3\pi}{7},\ \theta=\frac{\pi}{14}$とする．
(i) 次の$3$つの条件を同時に満たす$x$の値を求めなさい．
\[ a=x+2,\quad r=x+3,\quad b_2=1+\log_2 (x+8) \]
(ii) $\log_2 a=\cos^2 \beta+\sin \beta \cos \theta$，$\log_2 r=\sin^2 \beta+\cos \beta \sin \theta$のとき，$b_2$の値を求めなさい．
(iii) $\log_2 a=\sin^2 \theta+\cos \beta \cos \theta$，$\displaystyle \log_2 r^2=\frac{1}{2} \cos 2\theta-\sin \beta \sin \theta$のとき，$b_3$の値を求めなさい．
国立 大阪教育大学 2015年 第1問以下の問に答えよ．
(1)実数$x,\ y$が$x+y=1$を満たすとき，不等式
\[ x^2+y^2 \geqq \frac{1}{2} \]
が成り立つことを証明せよ．また，等号が成り立つのはどのようなときか．
(2)実数$x,\ y,\ z$が$x+y+z=1$を満たすとき，不等式
\[ x^2+y^2+z^2 \geqq \frac{1}{3} \]
が成り立つことを証明せよ．また，等号が成り立つのはどのようなときか．
(3)$n$は自然数とする．実数$x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n$が$x_1+x_2+\cdots +x_n=1$を満たすとき，不等式
\[ {x_1}^2+{x_2}^2+\cdots +{x_n}^2 \geqq \frac{1}{n} \]
が成り立つことを証明せよ．また，等号が成り立つのはどのようなときか．
(1)実数$x,\ y$が$x+y=1$を満たすとき，不等式
\[ x^2+y^2 \geqq \frac{1}{2} \]
が成り立つことを証明せよ．また，等号が成り立つのはどのようなときか．
(2)実数$x,\ y,\ z$が$x+y+z=1$を満たすとき，不等式
\[ x^2+y^2+z^2 \geqq \frac{1}{3} \]
が成り立つことを証明せよ．また，等号が成り立つのはどのようなときか．
(3)$n$は自然数とする．実数$x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n$が$x_1+x_2+\cdots +x_n=1$を満たすとき，不等式
\[ {x_1}^2+{x_2}^2+\cdots +{x_n}^2 \geqq \frac{1}{n} \]
が成り立つことを証明せよ．また，等号が成り立つのはどのようなときか．
国立 山形大学 2015年 第1問次の問いに答えよ．
(1)定積分$\displaystyle \int_1^3 (x-1)(x-2)(x-3) \, dx$を求めよ．
(2)方程式$|x^2-3|=2x$を解け．
(3)$a$を$1$でない自然数とする．不等式$(\log_a x)^2-\log_a x^3+2<0$を満たす自然数$x$が$1$つだけ存在するとき，$a$の値を求めよ．
(1)定積分$\displaystyle \int_1^3 (x-1)(x-2)(x-3) \, dx$を求めよ．
(2)方程式$|x^2-3|=2x$を解け．
(3)$a$を$1$でない自然数とする．不等式$(\log_a x)^2-\log_a x^3+2<0$を満たす自然数$x$が$1$つだけ存在するとき，$a$の値を求めよ．
国立 奈良女子大学 2015年 第2問$n$を自然数とする．$n$個の白球，$n$個の赤球，$1$から$n$までの数字が$1$つずつ書かれた$n$枚のカードがある．次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$，$(ⅲ)$の操作を順に行う．
(i) $n$枚のカードから$1$枚取り出す．
(ii) 取り出されたカードに書かれた数字と同じ個数の赤球と$n$個の白球を袋に入れる．
(iii) 袋から$1$個の球を取り出す．
このとき，取り出された球が白球である確率を$P_n$とおく．次の問いに答えよ．
(1)$P_1,\ P_2$をそれぞれ求めよ．
(2)定積分を利用して，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}P_n$を求めよ．
(i) $n$枚のカードから$1$枚取り出す．
(ii) 取り出されたカードに書かれた数字と同じ個数の赤球と$n$個の白球を袋に入れる．
(iii) 袋から$1$個の球を取り出す．
このとき，取り出された球が白球である確率を$P_n$とおく．次の問いに答えよ．
(1)$P_1,\ P_2$をそれぞれ求めよ．
(2)定積分を利用して，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}P_n$を求めよ．
国立 長崎大学 2015年 第4問自然対数の底を$e$とする．区間$x \geqq 0$上で定義される関数
\[ f(x)=e^{-x} \sin x \]
を考え，曲線$y=f(x)$と$x$軸との交点を，$x$座標の小さい順に並べる．それらを，$\mathrm{P}_0$，$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\cdots$とする．点$\mathrm{P}_0$は原点である．
自然数$n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$に対して，線分$\mathrm{P}_{n-1} \mathrm{P}_n$と$y=f(x)$で囲まれた図形の面積を$S_n$とする．以下の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{P}_n$の$x$座標を求めよ．
(2)面積$S_n$を求めよ．
(3)$\displaystyle I_n=\sum_{k=1}^n S_k$とする．このとき，$I_n$と$\displaystyle \lim_{n \to \infty} I_n$を求めよ．
\[ f(x)=e^{-x} \sin x \]
を考え，曲線$y=f(x)$と$x$軸との交点を，$x$座標の小さい順に並べる．それらを，$\mathrm{P}_0$，$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\cdots$とする．点$\mathrm{P}_0$は原点である．
自然数$n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$に対して，線分$\mathrm{P}_{n-1} \mathrm{P}_n$と$y=f(x)$で囲まれた図形の面積を$S_n$とする．以下の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{P}_n$の$x$座標を求めよ．
(2)面積$S_n$を求めよ．
(3)$\displaystyle I_n=\sum_{k=1}^n S_k$とする．このとき，$I_n$と$\displaystyle \lim_{n \to \infty} I_n$を求めよ．
国立 鹿児島大学 2015年 第5問整数$n (n \geqq 4)$に対し，$2$枚のコインを同時に投げる試行を繰り返し，$2$枚とも表が出るか，または$n$回繰り返した時点で試行を終了するときの試行の回数を$X_n$とする．確率変数$X_n$について，次の各問いに答えよ．
(1)$n-1$以下の自然数$k$に対して，確率$P(X_n=k)$を求めよ．また，確率$P(X_n>3)$を求めよ．
(2)確率$P(X_n=n)$を$n$を用いて表せ．
(3)$X_n$の平均を$E_n$とかくとき，$E_{n+1}-E_n$を求めよ．
(1)$n-1$以下の自然数$k$に対して，確率$P(X_n=k)$を求めよ．また，確率$P(X_n>3)$を求めよ．
(2)確率$P(X_n=n)$を$n$を用いて表せ．
(3)$X_n$の平均を$E_n$とかくとき，$E_{n+1}-E_n$を求めよ．
国立 鹿児島大学 2015年 第7問整数$n (n \geqq 4)$に対し，$2$枚のコインを同時に投げる試行を繰り返し，$2$枚とも表が出るか，または$n$回繰り返した時点で試行を終了するときの試行の回数を$X_n$とする．確率変数$X_n$について，次の各問いに答えよ．
(1)$n-1$以下の自然数$k$に対して，確率$P(X_n=k)$を求めよ．また，確率$P(X_n>3)$を求めよ．
(2)確率$P(X_n=n)$を$n$を用いて表せ．
(3)$X_n$の平均を$E_n$とかくとき，$E_{n+1}-E_n$を求めよ．
(1)$n-1$以下の自然数$k$に対して，確率$P(X_n=k)$を求めよ．また，確率$P(X_n>3)$を求めよ．
(2)確率$P(X_n=n)$を$n$を用いて表せ．
(3)$X_n$の平均を$E_n$とかくとき，$E_{n+1}-E_n$を求めよ．
国立 鹿児島大学 2015年 第5問整数$n (n \geqq 4)$に対し，$2$枚のコインを同時に投げる試行を繰り返し，$2$枚とも表が出るか，または$n$回繰り返した時点で試行を終了するときの試行の回数を$X_n$とする．確率変数$X_n$について，次の各問いに答えよ．
(1)$n-1$以下の自然数$k$に対して，確率$P(X_n=k)$を求めよ．また，確率$P(X_n>3)$を求めよ．
(2)確率$P(X_n=n)$を$n$を用いて表せ．
(3)$X_n$の平均を$E_n$とかくとき，$E_{n+1}-E_n$を求めよ．
(1)$n-1$以下の自然数$k$に対して，確率$P(X_n=k)$を求めよ．また，確率$P(X_n>3)$を求めよ．
(2)確率$P(X_n=n)$を$n$を用いて表せ．
(3)$X_n$の平均を$E_n$とかくとき，$E_{n+1}-E_n$を求めよ．
国立 宮崎大学 2015年 第3問数列$\{a_n\}$は
\[ \sqrt[3]{3}{a_{n+2}}^3={a_n}^4,\quad a_n>0 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たしている．$a_1=1$，$a_2=2$のとき，$a_{2k-1}$（$k$は自然数）を，$k$を用いて表せ．
\[ \sqrt[3]{3}{a_{n+2}}^3={a_n}^4,\quad a_n>0 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たしている．$a_1=1$，$a_2=2$のとき，$a_{2k-1}$（$k$は自然数）を，$k$を用いて表せ．