「自然数」について
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国立 茨城大学 2015年 第3問$n$を自然数とする．$3$次方程式$2x^3-25x^2+(5n+2)x-35=0$について，次の各問に答えよ．
(1)方程式の$1$つの解が自然数であるとき，$n$の値を求めよ．
(2)$(1)$で求めた$n$に対して，方程式の解をすべて求めよ．
(1)方程式の$1$つの解が自然数であるとき，$n$の値を求めよ．
(2)$(1)$で求めた$n$に対して，方程式の解をすべて求めよ．
国立 三重大学 2015年 第3問関数$f(x)={|x-2|}^3-3x^2+12x$がある．以下の問いに答えよ．
(1)$f(x)$の増減を調べ，グラフの概形を描け．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$y=12$の共有点の$x$座標を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と直線$y=12$で囲まれた図形の面積を求めよ．
[補足説明] \ 必要ならば，自然数$n$に対して
\[ \int x^n \, dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C \quad (C \text{は積分定数}) \]
となることを用いてよい．
(1)$f(x)$の増減を調べ，グラフの概形を描け．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$y=12$の共有点の$x$座標を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と直線$y=12$で囲まれた図形の面積を求めよ．
[補足説明] \ 必要ならば，自然数$n$に対して
\[ \int x^n \, dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C \quad (C \text{は積分定数}) \]
となることを用いてよい．
国立 三重大学 2015年 第3問関数$f(x)={|x-2|}^3-3x^2+12x$がある．以下の問いに答えよ．
(1)$f(x)$の増減を調べ，グラフの概形を描け．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$y=12$の共有点の$x$座標を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と直線$y=12$で囲まれた図形の面積を求めよ．
[補足説明] \ 必要ならば，自然数$n$に対して
\[ \int x^n \, dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C \quad (C \text{は積分定数}) \]
となることを用いてよい．
(1)$f(x)$の増減を調べ，グラフの概形を描け．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$y=12$の共有点の$x$座標を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と直線$y=12$で囲まれた図形の面積を求めよ．
[補足説明] \ 必要ならば，自然数$n$に対して
\[ \int x^n \, dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C \quad (C \text{は積分定数}) \]
となることを用いてよい．
国立 信州大学 2015年 第2問次の$3$つの条件を満たす自然数の組$(x,\ y,\ z)$を考える．
$(ⅰ)$ \ $x$は奇数である．
$(ⅱ)$ \ $x^2+y^2=z^2$
$(ⅲ)$ \ $x,\ y,\ z$の最大公約数は$1$である．
例えば$(x,\ y,\ z)=(3,\ 4,\ 5),\ (5,\ 12,\ 13)$などがその例である．
(1)$y$は偶数であることを示せ．
(2)$x=a^2-b^2,\ y=2ab$となる自然数$a,\ b$が存在することを示せ．
(3)条件を満たす$(x,\ y,\ z)$で，$(3,\ 4,\ 5)$と$(5,\ 12,\ 13)$以外のものを$2$組求めよ．
$(ⅰ)$ \ $x$は奇数である．
$(ⅱ)$ \ $x^2+y^2=z^2$
$(ⅲ)$ \ $x,\ y,\ z$の最大公約数は$1$である．
例えば$(x,\ y,\ z)=(3,\ 4,\ 5),\ (5,\ 12,\ 13)$などがその例である．
(1)$y$は偶数であることを示せ．
(2)$x=a^2-b^2,\ y=2ab$となる自然数$a,\ b$が存在することを示せ．
(3)条件を満たす$(x,\ y,\ z)$で，$(3,\ 4,\ 5)$と$(5,\ 12,\ 13)$以外のものを$2$組求めよ．
国立 山梨大学 2015年 第5問点$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上において，点$\mathrm{P}(-6,\ 0)$をとる．また，曲線
\[ x=3 \cos \theta,\quad y=3 \sin \theta \quad (0 \leqq \theta \leqq \pi) \]
を$C_1$とする．曲線$C_2,\ C_3,\ \cdots,\ C_n,\ \cdots$を次のように順次定義する．
「点$\mathrm{Q}$が曲線$C_n$上を動くとき，線分$\mathrm{PQ}$を$1:2$に内分する点$\mathrm{R}$のなす曲線を$C_{n+1}$とする．」
また， 各自然数$n$に対して，点$\mathrm{P}$を通る$x$軸と異なる直線が曲線$C_n$と接するとき，その接点を$\mathrm{A}_n$とする．次に，$\theta$を$1$つ固定し，点$\mathrm{X}_1(x_1,\ y_1)$を$x_1=3 \cos \theta$，$y_1=3 \sin \theta$となる曲線$C_1$上の点とし，点$\mathrm{X}_2,\ \mathrm{X}_3,\ \cdots,\ \mathrm{X}_n,\ \cdots$を次のように順次定義する．
「線分$\mathrm{PX}_n$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{X}_{n+1}(x_{n+1},\ y_{n+1})$とする．」
(1)$x_2$および$y_2$を$\theta$を用いて表せ．
(2)$\angle \mathrm{A}_1 \mathrm{PO}$および$\angle \mathrm{A}_2 \mathrm{PO}$を求めよ．
(3)$x_n,\ y_n$を$\theta$を用いて表せ．
(4)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n$および$\displaystyle \lim_{n \to \infty}y_n$を求めよ．
(5)直線$\mathrm{A}_n \mathrm{A}_{n+1}$，曲線$C_n$および$C_{n+1}$で囲まれた領域の面積を$a_n$とするとき，極限値$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$を求めよ．
\[ x=3 \cos \theta,\quad y=3 \sin \theta \quad (0 \leqq \theta \leqq \pi) \]
を$C_1$とする．曲線$C_2,\ C_3,\ \cdots,\ C_n,\ \cdots$を次のように順次定義する．
「点$\mathrm{Q}$が曲線$C_n$上を動くとき，線分$\mathrm{PQ}$を$1:2$に内分する点$\mathrm{R}$のなす曲線を$C_{n+1}$とする．」
また， 各自然数$n$に対して，点$\mathrm{P}$を通る$x$軸と異なる直線が曲線$C_n$と接するとき，その接点を$\mathrm{A}_n$とする．次に，$\theta$を$1$つ固定し，点$\mathrm{X}_1(x_1,\ y_1)$を$x_1=3 \cos \theta$，$y_1=3 \sin \theta$となる曲線$C_1$上の点とし，点$\mathrm{X}_2,\ \mathrm{X}_3,\ \cdots,\ \mathrm{X}_n,\ \cdots$を次のように順次定義する．
「線分$\mathrm{PX}_n$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{X}_{n+1}(x_{n+1},\ y_{n+1})$とする．」
(1)$x_2$および$y_2$を$\theta$を用いて表せ．
(2)$\angle \mathrm{A}_1 \mathrm{PO}$および$\angle \mathrm{A}_2 \mathrm{PO}$を求めよ．
(3)$x_n,\ y_n$を$\theta$を用いて表せ．
(4)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n$および$\displaystyle \lim_{n \to \infty}y_n$を求めよ．
(5)直線$\mathrm{A}_n \mathrm{A}_{n+1}$，曲線$C_n$および$C_{n+1}$で囲まれた領域の面積を$a_n$とするとき，極限値$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$を求めよ．
国立 信州大学 2015年 第1問次の$3$つの条件を満たす自然数の組$(x,\ y,\ z)$を考える．
$(ⅰ)$ \ $x$は奇数である．
$(ⅱ)$ \ $x^2+y^2=z^2$
$(ⅲ)$ \ $x,\ y,\ z$の最大公約数は$1$である．
例えば$(x,\ y,\ z)=(3,\ 4,\ 5),\ (5,\ 12,\ 13)$などがその例である．
(1)$y$は偶数であることを示せ．
(2)$x=a^2-b^2,\ y=2ab$となる自然数$a,\ b$が存在することを示せ．
(3)条件を満たす$(x,\ y,\ z)$で，$(3,\ 4,\ 5)$と$(5,\ 12,\ 13)$以外のものを$2$組求めよ．
$(ⅰ)$ \ $x$は奇数である．
$(ⅱ)$ \ $x^2+y^2=z^2$
$(ⅲ)$ \ $x,\ y,\ z$の最大公約数は$1$である．
例えば$(x,\ y,\ z)=(3,\ 4,\ 5),\ (5,\ 12,\ 13)$などがその例である．
(1)$y$は偶数であることを示せ．
(2)$x=a^2-b^2,\ y=2ab$となる自然数$a,\ b$が存在することを示せ．
(3)条件を満たす$(x,\ y,\ z)$で，$(3,\ 4,\ 5)$と$(5,\ 12,\ 13)$以外のものを$2$組求めよ．
国立 信州大学 2015年 第4問$n$を自然数とする．
(1)$n$以下の非負の整数$k$について，関数$x(1+x)^n$の導関数の$x^k$の係数を求めよ．
(2)$\displaystyle \sum_{k=0}^n (k+1)^2 \comb{n}{k}=(n+1)(n+4)2^{n-2}$を示せ．
(1)$n$以下の非負の整数$k$について，関数$x(1+x)^n$の導関数の$x^k$の係数を求めよ．
(2)$\displaystyle \sum_{k=0}^n (k+1)^2 \comb{n}{k}=(n+1)(n+4)2^{n-2}$を示せ．
国立 信州大学 2015年 第3問$n$を自然数とする．
(1)$n$以下の非負の整数$k$について，関数$x(1+x)^n$の導関数の$x^k$の係数を求めよ．
(2)$\displaystyle \sum_{k=0}^n (k+1)^2 \comb{n}{k}=(n+1)(n+4)2^{n-2}$を示せ．
(1)$n$以下の非負の整数$k$について，関数$x(1+x)^n$の導関数の$x^k$の係数を求めよ．
(2)$\displaystyle \sum_{k=0}^n (k+1)^2 \comb{n}{k}=(n+1)(n+4)2^{n-2}$を示せ．
国立 愛知教育大学 2015年 第5問$n$を自然数とするとき，等式
\[ 1 \cdot (2n-1)+2 \cdot (2n-3)+3 \cdot (2n-5)+\cdots +(n-1) \cdot 3+n \cdot 1=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \]
が成り立つことを，数学的帰納法により証明せよ．
\[ 1 \cdot (2n-1)+2 \cdot (2n-3)+3 \cdot (2n-5)+\cdots +(n-1) \cdot 3+n \cdot 1=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \]
が成り立つことを，数学的帰納法により証明せよ．
国立 愛知教育大学 2015年 第8問数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=\frac{(-1)^n}{n(n+2)} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．次の問いに答えよ．
(1)数列$\{b_n\}$を$b_n=a_{2n}$で定めるとき，$\displaystyle \sum_{k=1}^n b_k$を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の初項から第$2n$項までの和$S_{2n}$を求めよ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_{2n}$を求めよ．
(4)$\displaystyle S=\lim_{n \to \infty} S_{2n}$とおくとき，$|S_{2n|-S}<0.001$を満たす最小の自然数$n$を求めよ．
\[ a_n=\frac{(-1)^n}{n(n+2)} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．次の問いに答えよ．
(1)数列$\{b_n\}$を$b_n=a_{2n}$で定めるとき，$\displaystyle \sum_{k=1}^n b_k$を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の初項から第$2n$項までの和$S_{2n}$を求めよ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_{2n}$を求めよ．
(4)$\displaystyle S=\lim_{n \to \infty} S_{2n}$とおくとき，$|S_{2n|-S}<0.001$を満たす最小の自然数$n$を求めよ．