$2$次関数$y=f(x)$のグラフは，点$\displaystyle \left( \frac{3}{2}a, -a \right)$を頂点とし，点$(a,\ 0)$を通る放物線である．ただし，$a \neq 0$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$2$次関数$y=f(x)$を$a$を用いて表せ．
(2)$a>0$とするとき，放物線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積$S(a)$を，積分を計算することによって求めよ．
(3)$S(2^n)>7^{10}$となる最小の自然数$n$を求めよ．必要であれば，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$，$\log_{10}7=0.8451$を用いてもよい．

$p$を素数とするとき，次の問に答えよ．

(1)$2$つの自然数$m,\ n$の最大公約数は$1$であるとし，$\displaystyle x=\frac{n}{m}$とおく．$p^x$が有理数であるならば，$m=1$であることを示せ．
(2)方程式
\[ p^x=-x^2+9x-5 \]
が有理数の解$x$をもつような組$(p,\ x)$をすべて求めよ．

$n$を自然数とし，関数$f_m(x) (m=0,\ 1,\ 2,\ \cdots,\ n)$を次のように定める．
\[ f_m(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
1 & (m=0) \\
x^m & (m \geqq 1)
\end{array} \right. \]
さらに，$a_k (k=0,\ 1,\ 2,\ \cdots,\ n)$を次のように定める．
\[ a_k=\int_{-1}^1 f_k(1-x)f_{n-k}(1+x) \, dx \]
以下の問いに答えよ．

(1)$a_0$と$a_1$をそれぞれ$n$を用いて表せ．
(2)$k \geqq 1$のとき，$a_k$を$n,\ k,\ a_{k-1}$を用いて表せ．
(3)$a_k$を$n,\ k$を用いて表せ．
(4)$\displaystyle \sum_{k=0}^n \frac{1}{a_k}$を$n$を用いて表せ．

方程式$x^4+x^2+1=0$の解で，実部と虚部がともに正のものを$x_1$，実部が負で虚部が正のものを$x_2$，実部と虚部がともに負のものを$x_3$，実部が正で虚部が負のものを$x_4$とする．

(1)この方程式を解きなさい．
(2)${x_1}^k (k=1,\ 2,\ \cdots,\ 6)$を計算しなさい．
(3)与方程式の解$x_i$と自然数$n$に対して，${x_i}^{4n}+{x_i}^{2n}+1 (i=1,\ 2,\ 3,\ 4)$を求めなさい．

$n$を$2$以上の自然数とし，関数$f(x)$を$f(x)=x^n \log x (x>0)$とする．ただし，対数は自然対数とする．次に答えよ．

(1)$x>0$のとき，不等式$\displaystyle \log x+\frac{1}{x}>0$を証明せよ．
(2)$\displaystyle \lim_{x \to +0}x^n \log x=0$を示せ．
(3)関数$f(x)$の増減を調べ，その最小値を求めよ．また，曲線$y=f(x)$の概形をかけ．ただし，曲線の凹凸は調べなくてよい．
(4)$f(x)$が最小値をとるときの$x$の値を$c_n$とし
\[ I_n=\int_{c_n}^1 f(x) \, dx \]
とする．$\displaystyle \lim_{n \to \infty} n^2I_n$を求めよ．

初項$1$，公差$3$の等差数列$\{a_n\}$と，一般項が$\displaystyle b_n=\left[ \frac{2n+2}{3} \right]$で与えられる数列$\{b_n\}$がある．ここで，実数$x$に対して$[x]$は$x$を超えない最大の整数を表す．たとえば，$\displaystyle b_1=\left[ \frac{4}{3} \right]=1$，$b_2=[2]=2$，$\displaystyle b_3=\left[ \frac{8}{3} \right]=2$である．数列$\{a_n\}$を次のように，$b_1$個，$b_2$個，$b_3$個，$\cdots$の群に分け，第$k$群には$b_k$個の数が入るようにする．

$\big| \quad a_1 \quad \big| \quad a_2,\ a_3 \quad \big| \quad a_4,\ a_5 \quad \big| \quad a_6,\ \cdots$
\ 第$1$群 \quad 第$2$群 \qquad\ 第$3$群 \qquad $\cdots$

第$k$群の最初の数を$c_k$とする．次に答えよ．

(1)自然数$m$に対して，$b_{3m-2}$，$b_{3m-1}$，$b_{3m}$をそれぞれ$m$の多項式で表せ．また，数列 $\{b_n\}$の初項から第$3m$項までの和$S_{3m}$を求めよ．
(2)自然数$m$に対して，$c_{3m-2}$，$c_{3m-1}$，$c_{3m}$をそれぞれ$m$の多項式で表せ．また，数列 $\{c_k\}$の初項から第$3m$項までの和$T_{3m}$を求めよ．
(3)$1000$は第何群の何番目の数か．
(4)$x \geqq 1$のとき$\displaystyle \sqrt{x^2+1}<x+\frac{1}{2}$であることを用いて，次の不等式が成り立つことを示せ．ただし，$m$は自然数とする．
\[ \sum_{k=1}^{3m} (\sqrt{c_k}-k)<\frac{m}{2} \]

$k,\ m,\ n$を自然数とする．以下の問いに答えよ．

(1)$2^k$を$7$で割った余りが$4$であるとする．このとき，$k$を$3$で割った余りは$2$であることを示せ．
(2)$4m+5n$が$3$で割り切れるとする．このとき，$2^{mn}$を$7$で割った余りは$4$ではないことを示せ．

$k,\ m,\ n$を自然数とする．以下の問いに答えよ．

(1)$2^k$を$7$で割った余りが$4$であるとする．このとき，$k$を$3$で割った余りは$2$であることを示せ．
(2)$4m+5n$が$3$で割り切れるとする．このとき，$2^{mn}$を$7$で割った余りは$4$ではないことを示せ．

$k,\ m,\ n$を自然数とする．以下の問いに答えよ．

(1)$2^k$を$7$で割った余りが$4$であるとする．このとき，$k$を$3$で割った余りは$2$であることを示せ．
(2)$4m+5n$が$3$で割り切れるとする．このとき，$2^{mn}$を$7$で割った余りは$4$ではないことを示せ．

次の問いに答えよ．

(1)$a$を実数とする．$\displaystyle \int_0^\pi \sin^2 ax \, dx$を$a$を用いて表せ．
(2)関数$\displaystyle f(x)=\frac{\log x}{x}$の増減を調べ，$2$つの数${59}^{61},\ {61}^{59}$の大小関係を決定せよ．
(3)$\displaystyle \lim_{k \to \infty}k^2 \int_1^{e^{\frac{1}{k}}} \frac{\log x}{x^k} \, dx$を求めよ．ただし，$k$は自然数を動くものとする．