次の$[　]$に適する答を記入せよ．

(1)等式$xy+3x-y-3=5$を満たす自然数$x,\ y$は$x=[　]$，$y=[　]$である．
(2)$\mathrm{O}$を原点とする座標平面に$2$点$\mathrm{A}(\cos \theta,\ \sin \theta)$と$\mathrm{B}(\cos 2\theta,\ \sin 2\theta) (0 \leqq \theta \leqq \pi)$がある．このとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$が垂直になるのは$\theta=[　]$のときであり，$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=1$となるのは$\theta=[　]$のときである．
(3)$a,\ b$を実数の定数とする．方程式$x^3+ax+b=0$の$1$つの解が$1+\sqrt{2}i$であるとき，$a=[　]$である．また，この方程式の実数解は$[　]$である．ただし，$i$は虚数単位とする．

$n$を$3$以上の自然数とするとき，半径$a>0$の円に内接する正$n$角形の面積を求めなさい．また，この正$n$角形の$n$個の辺の長さの総和を求めなさい．

行列$A = \left(
\begin{array}{cc}
4 & 1 \\
-1 & 2
\end{array}
\right)$に対して，以下の問いに答えなさい．

(1)行列$P = \left(
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
-1 & 1
\end{array}
\right)$に対して，$P^{-1}AP$を求めなさい．
(2)$a$を実数とし，$T = \left(
\begin{array}{cc}
a & 1 \\
0 & a
\end{array}
\right)$としたとき，任意の自然数$n$に対して，行列$T^n$を求め，その理由も述べなさい．
(3)任意の自然数$n$に対して，行列$A^n$を求めなさい．

行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr) \ $(ただし$b \neq 0$)が，ある自然数$k \geqq 3$に対して$A^k=O$(零行列)を満たすとする．次の問いに答えよ．

(1)行列$A$は逆行列を持たないことを示せ．
(2)$A^2=O$であることを示せ．
(3)$0$でない実数を$p$，単位行列を$E$とおく．$A-pE$が逆行列を持つことを示し，それを$a,\ b,\ p$で表せ．

数列$2 \cdot 1^2,\ -2 \cdot 2^2,\ 2 \cdot 3^2,\ -2 \cdot 4^2,\ 2 \cdot 5^2,\ \cdots$において，この数列の第$n$項を$a_n$，初項から第$n$項までの和を$S_n$とするとき，以下の問に答えよ．ただし，$n$は自然数とする．

(1)$a_n$を求めよ．
(2)$n=2k$のとき，$S_n$を求めよ．ただし，$k$は自然数とする．
(3)$n=2k-1$のとき，$S_n$を求めよ．ただし，$k$は自然数とする．

数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$で表わす．

(1)すべての自然数$n$に対して，$S_n=2a_n-1$を満たす数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を求めよ．
(2)すべての自然数$n$に対して，$S_n=a_n+n^2-1$を満たす数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を求めよ．
(3)$a_1=1,\ a_2=1$とし，すべての自然数$n$に対して，$a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$を満たす数列を$\{a_n\}$とする．このとき，すべての自然数$n$に対して，$S_n=a_{n+2}-1$および$S_n<3a_n$が成り立つことを示せ．

ある自然数$k \geqq 3$に対して行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right) \ $（ただし$b \neq 0$）が，$A^k=O$(零行列)を満たすとする．次の問いに答えよ．

(1)行列$A$は逆行列を持たないことを示せ．
(2)$A^2=O$であることを示せ．
(3)$0$でない実数を$p$，単位行列を$E$とおく．$A-pE$が逆行列を持つことを示し，逆行列を$a,\ b,\ p$で表せ．

以下の問いに答えよ．

(1)$\sqrt{5}$が無理数であることを証明せよ．
(2)$\alpha$を$2$次方程式$x^2-4x-1=0$の解とするとき，$(\alpha-a)(\alpha-b)=1+c$を満たす自然数の組$(a,\ b,\ c)$をすべて求めよ．
(3)座標平面上の点$(s,\ t)$で$s$と$t$のどちらも整数となるものを格子点と呼ぶ．連立不等式
\[ \left\{
\begin{array}{l}
y \geqq 3x^2-12x-3 \\
y \leqq 0
\end{array}
\right. \]
の表す領域を$D$とする．$k^2-4k-1<0$を満たす整数$k$に対して，直線$\ell:x=k$上にあり，かつ，$D$に含まれる格子点の個数を$N_k$とする．

(i) $N_k$を$k$を用いて多項式で表せ．
(ii) $D$に含まれる格子点の総数を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)$\sqrt{5}$が無理数であることを証明せよ．
(2)$\alpha$を$2$次方程式$x^2-4x-1=0$の解とするとき，$(\alpha-a)(\alpha-b)=1+c$を満たす自然数の組$(a,\ b,\ c)$をすべて求めよ．
(3)座標平面上の点$(s,\ t)$で$s$と$t$のどちらも整数となるものを格子点と呼ぶ．連立不等式
\[ \left\{
\begin{array}{l}
y \geqq 3x^2-12x-3 \\
y \leqq 0
\end{array}
\right. \]
の表す領域を$D$とする．$k^2-4k-1<0$を満たす整数$k$に対して，直線$\ell:x=k$上にあり，かつ，$D$に含まれる格子点の個数を$N_k$とする．

(i) $N_k$を$k$を用いて多項式で表せ．
(ii) $D$に含まれる格子点の総数を求めよ．

$A$を成分が実数である2次の正方行列，$E$を2次の単位行列とする．数列$\{a_n\}$を漸化式
\[ a_1=1,\quad a_{n+1}=a_n+2^n,\quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
によって定める．$\displaystyle b_n=\sum_{k=1}^n a_k$とおく．また，座標平面上の点P$_n(x_n,\ y_n)$を
\[ \biggl( \begin{array}{c}
x_1 \\
y_1
\end{array} \biggr) = \biggl( \begin{array}{c}
1 \\
1
\end{array} \biggr),\quad \biggl( \begin{array}{c}
x_{n+1} \\
y_{n+1}
\end{array} \biggr)=A^{b_n}\biggl( \begin{array}{c}
x_1 \\
y_1
\end{array} \biggr),\quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
によって定める．以下の問いに答えよ．

(1)数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$A$は$\sqrt{2}A^2=(1+\sqrt{3})A-\sqrt{2}E$を満たすとする．$A$の逆行列$A^{-1}$が存在することを示せ．
(3)(2)，かつ，$\displaystyle x_2=\sqrt{\frac{1}{2}},\ y_2=\sqrt{\frac{3}{2}}$のとき，$x_3,\ y_3$を求めよ．ただし，$A^{-1}$が存在することを証明なしに用いてよい．
(4)(3)のとき，$x_{n+1}=x_1,\ y_{n+1}=y_1$となる最小の自然数$n$を求めよ．