「自然数」について
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国立 京都大学 2016年 第3問$n$を$4$以上の自然数とする．数$2,\ 12,\ 1331$がすべて$n$進法で表記されているとして，
\[ 2^{12}=1331 \]
が成り立っている．このとき$n$はいくつか．十進法で答えよ．
\[ 2^{12}=1331 \]
が成り立っている．このとき$n$はいくつか．十進法で答えよ．
国立 京都大学 2016年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$n$を$2$以上の自然数とするとき，関数
\[ f_n(\theta)=(1+\cos \theta) \sin^{n-1} \theta \]
の$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$における最大値$M_n$を求めよ．
(2)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}{(M_n)}^n$を求めよ．
(1)$n$を$2$以上の自然数とするとき，関数
\[ f_n(\theta)=(1+\cos \theta) \sin^{n-1} \theta \]
の$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$における最大値$M_n$を求めよ．
(2)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}{(M_n)}^n$を求めよ．
国立 九州大学 2016年 第4問自然数$n$に対して，${10}^n$を$13$で割った余りを$a_n$とおく．$a_n$は$0$から$12$までの整数である．以下の問いに答えよ．
(1)$a_{n+1}$は$10a_n$を$13$で割った余りに等しいことを示せ．
(2)$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_6$を求めよ．
(3)以下の$3$条件を満たす自然数$N$をすべて求めよ．
(i) $N$を十進法で表示したとき$6$桁となる．
(ii) $N$を十進法で表示して，最初と最後の桁の数字を取り除くと$2016$となる．
(iii) $N$は$13$で割り切れる．
(1)$a_{n+1}$は$10a_n$を$13$で割った余りに等しいことを示せ．
(2)$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_6$を求めよ．
(3)以下の$3$条件を満たす自然数$N$をすべて求めよ．
(i) $N$を十進法で表示したとき$6$桁となる．
(ii) $N$を十進法で表示して，最初と最後の桁の数字を取り除くと$2016$となる．
(iii) $N$は$13$で割り切れる．
国立 北海道大学 2016年 第4問$x,\ y$を自然数とする．
(1)$\displaystyle \frac{3x}{x^2+2}$が自然数であるような$x$をすべて求めよ．
(2)$\displaystyle \frac{3x}{x^2+2}+\frac{1}{y}$が自然数であるような組$(x,\ y)$をすべて求めよ．
(1)$\displaystyle \frac{3x}{x^2+2}$が自然数であるような$x$をすべて求めよ．
(2)$\displaystyle \frac{3x}{x^2+2}+\frac{1}{y}$が自然数であるような組$(x,\ y)$をすべて求めよ．
国立 山口大学 2016年 第2問$n$を自然数とする．このとき，次の問いに答えなさい．
(1)$a>0$，$n \geqq 3$のとき，次の不等式が成り立つことを証明しなさい．
\[ {(1+a)}^n>\frac{1}{6}n(n-1)(n-2)a^3 \]
(2)$r>1$のとき，極限値
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{r^n} \]
を求めなさい．
(1)$a>0$，$n \geqq 3$のとき，次の不等式が成り立つことを証明しなさい．
\[ {(1+a)}^n>\frac{1}{6}n(n-1)(n-2)a^3 \]
(2)$r>1$のとき，極限値
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{r^n} \]
を求めなさい．
国立 名古屋工業大学 2016年 第2問数列$\{a_n\}$は
\[ a_1=4,\quad a_{n+1}=\frac{(3n+4)a_n-9n-6}{(n+1)a_n-3n-1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たす．
(1)すべての自然数$n$に対し，$a_n>3$であることを示せ．
(2)$\displaystyle b_n=\frac{1}{a_n-3}$とおく．$b_{n+1}$を$b_n$と$n$の式で表せ．
(3)$(2)$で定めた数列$\{b_n\}$に対し$c_n=b_{n+1}-b_n$とおく．数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．
(4)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
\[ a_1=4,\quad a_{n+1}=\frac{(3n+4)a_n-9n-6}{(n+1)a_n-3n-1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たす．
(1)すべての自然数$n$に対し，$a_n>3$であることを示せ．
(2)$\displaystyle b_n=\frac{1}{a_n-3}$とおく．$b_{n+1}$を$b_n$と$n$の式で表せ．
(3)$(2)$で定めた数列$\{b_n\}$に対し$c_n=b_{n+1}-b_n$とおく．数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．
(4)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
国立 九州大学 2016年 第4問自然数$n$に対して，${10}^n$を$13$で割った余りを$a_n$とおく．$a_n$は$0$から$12$までの整数である．以下の問いに答えよ．
(1)$a_{n+1}$は$10a_n$を$13$で割った余りに等しいことを示せ．
(2)$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_6$を求めよ．
(3)以下の$3$条件を満たす自然数$N$をすべて求めよ．
(i) $N$を十進法で表示したとき$6$桁となる．
(ii) $N$を十進法で表示して，最初と最後の桁の数字を取り除くと$2016$となる．
(iii) $N$は$13$で割り切れる．
(1)$a_{n+1}$は$10a_n$を$13$で割った余りに等しいことを示せ．
(2)$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_6$を求めよ．
(3)以下の$3$条件を満たす自然数$N$をすべて求めよ．
(i) $N$を十進法で表示したとき$6$桁となる．
(ii) $N$を十進法で表示して，最初と最後の桁の数字を取り除くと$2016$となる．
(iii) $N$は$13$で割り切れる．
国立 鳴門教育大学 2016年 第4問次の問いに答えなさい．
(1)$10$進数$999$以下の自然数で，$3$進法で表したとき各位の数字が$0$または$1$であるものの個数を求めなさい．
(2)自然数$n$を$3$進法で表したとき各位の数字が$0$または$1$であるとします．このとき，$n$を$9$進法で表せば，各位の数字が$0,\ 1,\ 3,\ 4$のいずれかになることを示しなさい．
(3)$10$進数$999$以下の自然数で，$3$進法で表したとき各位の数字が$0$または$1$であり，かつ，$9$進法で表したとき各位の数字が$1$または$3$であるものの個数を求めなさい．
(1)$10$進数$999$以下の自然数で，$3$進法で表したとき各位の数字が$0$または$1$であるものの個数を求めなさい．
(2)自然数$n$を$3$進法で表したとき各位の数字が$0$または$1$であるとします．このとき，$n$を$9$進法で表せば，各位の数字が$0,\ 1,\ 3,\ 4$のいずれかになることを示しなさい．
(3)$10$進数$999$以下の自然数で，$3$進法で表したとき各位の数字が$0$または$1$であり，かつ，$9$進法で表したとき各位の数字が$1$または$3$であるものの個数を求めなさい．
国立 静岡大学 2016年 第3問異なる$n$個のものから$r$個を取る組合せの総数を$\comb{n}{r}$で表す．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$2$以上の自然数$k$について，
\[ \comb{k+3}{4}=\comb{k+4}{5}-\comb{k+3}{5} \]
が成り立つことを証明せよ．
(2)和$\displaystyle \sum_{k=1}^n \comb{k+3}{4}$を求めよ．
(3)和$\displaystyle \sum_{k=1}^n (k^4+6k^3)$を求めよ．
(1)$2$以上の自然数$k$について，
\[ \comb{k+3}{4}=\comb{k+4}{5}-\comb{k+3}{5} \]
が成り立つことを証明せよ．
(2)和$\displaystyle \sum_{k=1}^n \comb{k+3}{4}$を求めよ．
(3)和$\displaystyle \sum_{k=1}^n (k^4+6k^3)$を求めよ．
国立 三重大学 2016年 第4問$n$を自然数とし，$\displaystyle \mathrm{P}_k \left( \frac{k}{n},\ \log \left( 1+\frac{k}{n} \right) \right) (k=0,\ 1,\ \cdots,\ n)$を平面上の$n+1$個の点とする．ただし，$\log x$は$x$の自然対数である．
(1)$k=1,\ 2,\ \cdots,\ n$のとき，点$\mathrm{P}_{k-1}$と点$\mathrm{P}_k$との距離$\mathrm{P}_{k-1} \mathrm{P}_k$に対して
\[ \frac{1}{n} \sqrt{1+\displaystyle\frac{1}{\left( 1+\displaystyle\frac{k}{n} \right)^2}}<\mathrm{P}_{k-1} \mathrm{P}_k<\frac{1}{n} \sqrt{1+\displaystyle\frac{1}{\left( 1+\displaystyle\frac{k-1}{n} \right)^2}} \]
を示せ．
(2)$\displaystyle L_n=\sum_{k=1}^n \mathrm{P}_{k-1} \mathrm{P}_k$としたとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty}L_n$を求めよ．
(1)$k=1,\ 2,\ \cdots,\ n$のとき，点$\mathrm{P}_{k-1}$と点$\mathrm{P}_k$との距離$\mathrm{P}_{k-1} \mathrm{P}_k$に対して
\[ \frac{1}{n} \sqrt{1+\displaystyle\frac{1}{\left( 1+\displaystyle\frac{k}{n} \right)^2}}<\mathrm{P}_{k-1} \mathrm{P}_k<\frac{1}{n} \sqrt{1+\displaystyle\frac{1}{\left( 1+\displaystyle\frac{k-1}{n} \right)^2}} \]
を示せ．
(2)$\displaystyle L_n=\sum_{k=1}^n \mathrm{P}_{k-1} \mathrm{P}_k$としたとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty}L_n$を求めよ．