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防衛医科大学校 国立 防衛医科大学校 2013年 第4問
$X_1=\left( \begin{array}{cc}
1 & 2 \\
-2 & 1
\end{array} \right)$,$X_2=\left( \begin{array}{cc}
6 & 5 \\
1 & 3
\end{array} \right)$,
\[ \begin{array}{r}
X_n=\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{9}{4} & \displaystyle\frac{3}{2} \\
-\displaystyle\frac{1}{2} & \displaystyle\frac{1}{2}
\end{array} \right)X_{n-1}-\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{5}{4} & \displaystyle\frac{3}{2} \\
-\displaystyle\frac{1}{2} & -\displaystyle\frac{1}{2}
\end{array} \right)X_{n-2}+\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{1}{4} & \displaystyle\frac{3}{2} \\
-\displaystyle\frac{1}{2} & -\displaystyle\frac{3}{2}
\end{array} \right) \\
(n=3,\ 4,\ 5,\ \cdots)
\end{array} \]
で定義される$2$次の正方行列の列がある.このとき,以下の問に答えよ.

(1)$A=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
1 & 0
\end{array} \right)$,$B=\left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
-1 & 1
\end{array} \right)$,$C=\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{5}{4} & \displaystyle\frac{3}{2} \\
-\displaystyle\frac{1}{2} & -\displaystyle\frac{1}{2}
\end{array} \right)$,$P=\left( \begin{array}{cc}
2 & 3 \\
1 & 1
\end{array} \right)$とする.$C=P^{-1}(kA+lB)P$を満たす実数$k$と$l$を求めよ.
(2)$C+C^2+\cdots +C^n=\left( \begin{array}{cc}
\alpha_n & \beta_n \\
\gamma_n & \delta_n
\end{array} \right) \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする.このとき,極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\alpha_n$,$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\beta_n$,$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\gamma_n$,$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\delta_n$を求めよ.
(3)$X_n=\left( \begin{array}{cc}
a_n & b_n \\
c_n & d_n
\end{array} \right) \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$としたとき,極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$,$\displaystyle \lim_{n \to \infty}b_n$,$\displaystyle \lim_{n \to \infty}c_n$,$\displaystyle \lim_{n \to \infty}d_n$が存在するかどうかを考察し,存在する場合はその値を求めよ.
長崎大学 国立 長崎大学 2013年 第7問
半径$1$の円と長さ$2$の線分がある.この線分の一方の端点を,円の中心に合わせて円上に固定した図形を考える.線分の端点で,円の中心とは異なるものを$\mathrm{P}$とする.この図形を下の図$1$のように$xy$平面上に置く.すなわち,中心が点$(0,\ 1)$,$\mathrm{P}$が点$(0,\ -1)$と一致するように置く.次に,$x$軸上で正の方向に,すべらないように円を半回転させる.下の図$2$は円が$\theta$だけ回転したときの状態を表している.$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で,点$\mathrm{P}$が描く曲線$C$について考察する.次の問いに答えよ.
(図は省略)

(1)図$2$における点$\mathrm{P}$の$x$座標と$y$座標を,それぞれ$\theta$を用いて表せ.
(2)曲線$C$上にあって,$x$座標が最小となる点,最大となる点,$y$座標が最小となる点,最大となる点について,それぞれの座標を求めよ.
(3)曲線$C$と$2$直線$y=-1$および$x=\pi$によって囲まれた図形の面積$S$を求めよ.
浜松医科大学 国立 浜松医科大学 2012年 第2問
$24$時間診療業務を休みなく行う病院において,$40$日間で$1$万個使用される医療材料$\mathrm{A}$について考える.$\mathrm{A}$の使用頻度は常に一定であり,$1$日の時間帯や曜日による変動は全くないものとする.さて,病院における在庫管理では,「品切れ」が起きないこと,「コスト」をできるだけ低くすること,この$2$つが肝要である.医療材料$\mathrm{A}$の保管費は,その保管期間に比例し,$1$個につき$10$日間で$1$円である.また,納入業者に$\mathrm{A}$を注文すれば,注文量の多少に関わらず,品物が届いた時点で$200$円の事務費がかかる.なお,担当者は$\mathrm{A}$の在庫量$y$の時間的推移を把握しており,品切れになる直前という最適のタイミングで,注文した量が届くものとする.われわれは,保管費と事務費の和$S$を最小にするような注文の仕方を求める.以下の問いに答えよ.

(1)$\mathrm{A}$の在庫は最初$1$万個あったとする.そして注文する量は毎回一定として,$x$で表す.このとき,時間$t$による在庫量$y$の変化を表すグラフを,横軸を時間の$t$軸とする座標平面上に図示せよ.(図示する際には,適当な$x$の値を自ら設定すること.)
以下,$1$回目の注文によって品物の届く時点以降の$y$の変化について考察する.
(2)周期的な$y$の変動に留意して,平均在庫量を求めよ.
(3)長期にわたる保管費,事務費の総額をそれぞれ見積もり,保管費と事務費の和$S$の「$1$日当たりの平均コスト」を求めよ.さらに,この$1$日当たりの平均コストを最小にするような$x$の値を求めよ.
中央大学 私立 中央大学 2012年 第3問
座標平面において,原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を中心とする半径$1$の円を$C_0$とし,点$\displaystyle \mathrm{A} \left( \frac{1}{2},\ 0 \right)$を中心とする半径が$\displaystyle \frac{1}{2}$の円を$C_1$とする.以下の問いに答えよ.

(1)円$C_0$と内接し,円$C_1$と外接する円$D$の半径を$r$,中心$\mathrm{G}$の座標を$(\alpha,\ \beta)$とするとき,$r$を$\alpha$によって表せ.
(2)中心$\mathrm{G}(\alpha,\ \beta)$の軌跡の方程式を求めよ.
以上で考察した円$D$は無数にあるが,これらの円はどれも点$\displaystyle \mathrm{B}(\frac{1}{3},\ 0)$を中心とする半径$\displaystyle \frac{2}{3}$の円$C_2$と特別な位置関係にある.以下ではこのことを調べてみよう.円$D$と円$C_2$の$2$つの交点を$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$とする.
(3)直線$\mathrm{PQ}$の方程式を$\alpha,\ \beta$により表せ.
(4)点$\mathrm{P}$の座標$(X,\ Y)$が直線$\mathrm{PQ}$の方程式と円$C_2$の方程式を満たしていることを利用して,$\overrightarrow{\mathrm{BP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{GP}}=0$を示せ.
浜松医科大学 国立 浜松医科大学 2011年 第2問
医学部における研究では,いろいろな動物が用いられる.これらの動物を生育して,研究者たちに販売する者の立場から,動物$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$を題材にして,以下の問題を考察する.

(1)動物$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$を生育するには,$3$種類の栄養素$p,\ q,\ r$が必要である.生育量(単位$\mathrm{kg}$)と栄養素の量は,ともに実数で示される.
(条件a) $\mathrm{A}$を$x \; \mathrm{kg}$生育するには,$p$が$5x$,$q$が$5x$,$r$が$x$の量,同時に必要である.$\mathrm{A}$の販売価格は$10$万円$/ \mathrm{kg}$である.
(条件b) $\mathrm{B}$を$y \; \mathrm{kg}$生育するには,$p$が$4y$,$q$が$y$,$r$が$2y$の量,同時に必要である.$\mathrm{B}$の販売価格は$5$万円$/ \mathrm{kg}$である.
手持ちの栄養素は今,$p$が$5$,$q$が$4$,$r$が$2$の量であると仮定する.このとき,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$をそれぞれ何$\mathrm{kg}$生育すれば,販売額が最大となるか.販売額の最大値,およびそのときの$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$の生育量をそれぞれ求めよ.
(2)動物$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$に加えて,動物$\mathrm{C}$も$p,\ q,\ r$の栄養素によって生育できることがわかる.
(条件c) $\mathrm{C}$を$z \; \mathrm{kg}$生育するには,$p$が$2z$,$q$が$3z$,$r$が$z$の量,同時に必要である.$\mathrm{C}$の販売価格は$8$万円$/ \mathrm{kg}$である.
手持ちの栄養素は今,$p$が$5$,$q$が$4$の量であるが,(1)の場合と違って$r$はいくらでも手に入るものと仮定する.次の問い$(ⅰ),\ (ⅱ),\ (ⅲ)$に答えよ.

(i) $\mathrm{C}$の生育量$z \; \mathrm{kg}$は,$\displaystyle z=k \ \left( 0 \leqq k \leqq \frac{11}{10} \right)$として値を固定し,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$の生育量をそれぞれ$x \; \mathrm{kg}$,$y \; \mathrm{kg}$として変化させる.このとき,点$(x,\ y)$の動く領域$D(k)$を図示せよ.さらに,$(x,\ y)$がこの領域を動くとき,販売額の最大値を$w(k)$とかく.$w(k)$を$k$の式で表せ.
(ii) $\mathrm{C}$の生育量$z=k$を,$\displaystyle 0 \leqq k \leqq \frac{11}{10}$の範囲から$\displaystyle \frac{11}{10} \leqq k \leqq \frac{4}{3}$の範囲に変更する.このとき,点$(x,\ y)$の動く領域$D(k)$および販売額の最大値$w(k)$はどうなるか,調べよ.
(iii) $\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$をそれぞれ何$\mathrm{kg}$生育すれば,販売額が最大となるか.販売額の最大値,およびそのときの$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$の生育量をそれぞれ求めよ.
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