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京都薬科大学 私立 京都薬科大学 2016年 第1問
次の$[ ]$にあてはまる数または式を記入せよ.ただし,$[コ]$においては,$[コ]$につづくかっこ内の選択肢から適切なものを$\mathrm{A}$か$\mathrm{B}$の記号で答えよ.

(1)$2$つの円$x^2+y^2=1$,$(x-2)^2+y^2=R^2 (R>0)$が異なる$2$つの交点を持つのは$[ア]<R<[イ]$が成立するときである.このとき,$\mathrm{O}(0,\ 0)$,$\mathrm{A}(2,\ 0)$とおき,交点の$1$つを$\mathrm{P}$とすると
\[ \cos \angle \mathrm{OPA}=[ウ] \]
が成立するので,$\angle \mathrm{OPA}={90}^\circ$となるのは$R=[エ]$のときである.
(2)$x$の$2$次方程式$x^2-4x \sin \theta+4+\sqrt{2}-(2+2 \sqrt{2}) \cos \theta=0 (0 \leqq \theta<2\pi)$が異なる$2$つの実数解を持つような$\theta$の範囲は,$[オ]<\theta<[カ]$および$[キ]<\theta<[ク]$である.
(3)$p$と$q$を正の整数とするとき,$x$の$2$次方程式$x^2-2 \sqrt{p}x+q=0$は異なる$2$つの実数解を持つとする.これらの解を$\alpha$と$\beta$で表すとき,$r=|\alpha-\beta|$と$p,\ q$の間には,関係式$r^2=[ケ]$が成り立つ.したがって,もし$r$が整数ならば,$r$は$[コ]$($\mathrm{A}:$偶数,$\mathrm{B}:$奇数)である.このとき,$2$次方程式の解を$q$と$r$を用いてあらわすと$x=[サ] \pm [シ]$となる.
(4)$1$つのサイコロを$2$回続けて投げるとき,$1$回目に出る目を$a$,$2$回目に出る目を$b$とし,$x$の$2$次方程式$x^2-ax+b=0 \ \cdots\ ①$を考える.$2$次方程式$①$が実数解を持たない確率は$[ス]$である.$2$次方程式$①$が実数解を持つとき,それが重解である条件付き確率は$[セ]$である.$2$次方程式$①$の解が$2$つとも自然数になる確率は$[ソ]$である.
(5)$3^{10}={10}^x$となる$x$は$[タ]$である.よって,$3^{10}$は$[チ]$桁の$10$進数である.同様の考え方で$5^{10}$を$9$進数で表すと,$[ツ]$桁である.ただし,$\log_{10}3=0.4771$,$\log_{10}5=0.6990$とする.
鳥取環境大学 公立 鳥取環境大学 2013年 第4問
次のようなゲームについて以下の問に答えよ.

カードが$5$枚伏せてある.$1$回の試行ではカードをかき混ぜて$1$枚をでたらめに選んでめくり,出たカードの番号に対応する賞品がもらえる.$5$種類の賞品をすべてあつめるのが目的である.ただし,めくったカードはその都度戻すものとする.
ここで,すでに$k$種類の賞品を持っている状況で試行を$1$回行ってまだ持っていない賞品がもらえる確率を$P_k$で表すとする($0 \leqq k \leqq 4$).$P_0=1$である.

(1)$P_1$の値を求めよ.
(2)$P_k$を$k$を用いた式で表せ.
(3)$5$回の試行で賞品が全種類そろう確率を求めよ.その際,考え方を説明し,確率を求める式も示せ.
(4)試行を$5$回行った時点で得られている賞品が$4$種類だけである確率を求めよ.その際,考え方を説明し,確率を求める式も示せ.
(5)ある事象が起きる確率が$x$であるとき,その事象が起きるまで繰り返し試行を行うならば,必要な試行回数の期待値は$\displaystyle \frac{1}{x}$だと知られている.ここで,賞品を$k$種類($0 \leqq k \leqq 4$)持っている状況から始めてまだ持っていない賞品のいずれか$1$つが得られるまでの試行回数の期待値を$Q_k$で表すとする($0 \leqq k \leqq 4$).$Q_k$を$P_k$を用いた式で表せ.さらに$k$を用いた($P_k$を使わない)形で式を表せ.
(6)賞品を$n$種類持っている状況から始めて賞品が$m$種類そろうまでの試行回数の期待値は$\displaystyle \sum_{k=n}^{m-1} Q_k$となる.ただし,$0 \leqq n<m \leqq 4$である.賞品を$1$つも持っていない状況から$4$種類そろうまでと,$4$種類そろった状況から最後の$1$種類が出るまでと,試行回数の期待値はどちらが大きいか.計算して求めよ.
近畿大学 私立 近畿大学 2012年 第1問
自然数$n$に対して,$n$との最大公約数が$1$である自然数の個数を$f(n)$で表す.たとえば$6$以下の自然数で,$6$との最大公約数が$1$であるものは,$1$,$5$の$2$個であるから$f(6)=2$である.$f(1339)$について考える.$1339$の素因数分解を$1339=pq$($p,\ q$は素数で$p<q$)とすると$p=[ア][イ]$,$q=[ウ][エ][オ]$となる.したがって,$1339$以下の自然数で$p$で割り切れるものの個数は$[カ][キ][ク]$,$q$で割り切れるものの個数は$[ケ][コ]$である.こうした考え方を用いると$f(1339)=\kakkofour{サ}{シ}{ス}{セ}$であることがわかる.同様に$f(10712)=\kakkofour{ソ}{タ}{チ}{ツ}$である.
近畿大学 私立 近畿大学 2012年 第1問
自然数$n$に対して,$n$との最大公約数が$1$である自然数の個数を$f(n)$で表す.たとえば$6$以下の自然数で,$6$との最大公約数が$1$であるものは,$1$,$5$の$2$個であるから$f(6)=2$である.$f(1339)$について考える.$1339$の素因数分解を$1339=pq$($p,\ q$は素数で$p<q$)とすると$p=[ア][イ]$,$q=[ウ][エ][オ]$となる.したがって,$1339$以下の自然数で$p$で割り切れるものの個数は$[カ][キ][ク]$,$q$で割り切れるものの個数は$[ケ][コ]$である.こうした考え方を用いると$f(1339)=\kakkofour{サ}{シ}{ス}{セ}$であることがわかる.同様に$f(10712)=\kakkofour{ソ}{タ}{チ}{ツ}$である.
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