放物線$C_1:y=x^2$と放物線$C_2:y=-(x-a)^2+b$が点$\mathrm{P}(t,\ t^2) (t>0)$において接している．

(1)$a$と$b$を$t$を用いて表せ．
(2)曲線$C_2$と$x$軸との交点のうち，$x$座標の小さい点を$\mathrm{Q}$とし，原点を$\mathrm{O}$とする．$C_1$と$C_2$と線分$\mathrm{OQ}$で囲まれた部分の面積を$S_1$とし，$C_2$と線分$\mathrm{OQ}$と$y$軸で囲まれた部分の面積を$S_2$とする．$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$は$t$に無関係な値であることを示せ．

原点を$\mathrm{O}$とする空間に点$\mathrm{A}(1,\ 1,\ 1)$，点$\mathrm{B}(1,\ 2,\ 3)$，点$\mathrm{P}(4,\ 0,\ -1)$がある．線分$\mathrm{AB}$を直径とする円のうち，直線$\mathrm{OA}$と$2$点で交わるものを円$S$とし，点$\mathrm{A}$以外の交点を$\mathrm{C}$とする．

(1)点$\mathrm{C}$の座標は$([チ],\ [ツ],\ [テ])$である．
(2)円$S$を含む平面と，点$\mathrm{P}$からこの平面におろした垂線との交点の座標は$\displaystyle \left( \frac{[ト]}{[ナ]},\ [ニ],\ -\frac{3}{2} \right)$である．

$x>0$に対して，曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{x^2}$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( t,\ \frac{1}{t^2} \right)$における接線を$\ell$とし，$\ell$と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}$とする．また，点$(t,\ 0)$を$\mathrm{H}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)接線$\ell$の方程式と点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{PHQ}$の面積$S_1$を求めよ．
(3)曲線$C$，線分$\mathrm{PQ}$および$\mathrm{Q}$を通る$y$軸に平行な直線で囲まれた部分の面積を$S_2$とする．このとき，$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$を求めよ．

次の問いに答えなさい．

$t$を実数とする．座標平面上の$2$次関数$y=f(x)$のグラフ$C$は，軸が$y$軸，頂点が原点$\mathrm{O}$の放物線であり，点$(-2,\ 1)$を通る．$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ f(t))$における接線を$\ell$とし，点$\mathrm{Q}(-1,\ 0)$を通り，$\ell$と垂直な直線を$m$とする．

(1)$f(1)$の値は$[$\mathrm{E]$}$である．
(2)$\ell$の方程式を$t$を用いて表すと，$y=[$\mathrm{F]$}$である．
(3)$t$が$-1 \leqq t \leqq 1$の範囲を動くとき，線分$\mathrm{PQ}$を$1:2$に外分する点$\mathrm{G}$の軌跡を求め，またそれを図示しなさい．
(4)$m$が$C$の接線となるとき，$t=[$\mathrm{G]$}$である．このとき，$C$と$\ell$および$m$で囲まれる部分の面積は$[$\mathrm{H]$}$である．

次の問いに答えなさい．

辺$\mathrm{AB}$の長さが$1$の$\triangle \mathrm{OAB}$について，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$で表す．$n$を自然数とする．辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とし，線分$\mathrm{AM}$の中点を$\mathrm{X}_1$，線分$\mathrm{AX}_1$の中点を$\mathrm{X}_2$，$\cdots$，線分$\mathrm{AX}_n$の中点を$\mathrm{X}_{n+1}$，$\cdots$とする．また，$\triangle \mathrm{OAX}_1$の重心を$\mathrm{P}_1$，$\triangle \mathrm{OAX}_2$の重心を$\mathrm{P}_2$，$\cdots$，$\triangle \mathrm{OAX}_n$の重心を$\mathrm{P}_n$，$\cdots$とする．同様に線分$\mathrm{BM}$の中点を$\mathrm{Y}_1$，線分$\mathrm{BY}_1$の中点を$\mathrm{Y}_2$，$\cdots$，線分$\mathrm{BY}_n$の中点を$\mathrm{Y}_{n+1}$，$\cdots$とし，$\triangle \mathrm{OBY}_1$の重心を$\mathrm{Q}_1$，$\triangle \mathrm{OBY}_2$の重心を$\mathrm{Q}_2$，$\cdots$，$\triangle \mathrm{OBY}_n$の重心を$\mathrm{Q}_n$，$\cdots$とする．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OX}_1}$と$\overrightarrow{\mathrm{P}_1 \mathrm{Q}_1}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{OX}_1}=[$\mathrm{I]$}$，$\overrightarrow{\mathrm{P}_1 \mathrm{Q}_1}=[$\mathrm{J]$}$である．
(2)線分$\mathrm{AX}_n$の長さを$n$を用いて表すと，$\mathrm{AX}_n=[$\mathrm{K]$}$である．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n}$は$n,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いてどのように表されるかを求めなさい．
(4)線分$\mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n$の長さに関する不等式
\[ 0.666666<\mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n \]
を満たす最小の自然数$n$は$[$\mathrm{L]$}$である．ただし，$\log_{2}10=3.3219$とする．

下図のように，点$\mathrm{O}$を中心とし，半径が$1$で中心角が$\displaystyle \frac{2}{3} \pi$の扇形$\mathrm{OAB}$がある．$\theta$を$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{3}$を満たす角として，弧$\mathrm{AB}$上に，$\angle \mathrm{AOP}=\theta$，$\angle \mathrm{BOQ}=\theta$を満たす点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$をとる．また，点$\mathrm{P}$から線分$\mathrm{OA}$に垂線を下ろし，線分$\mathrm{OA}$との交点を$\mathrm{R}$とする．点$\mathrm{Q}$から線分$\mathrm{OB}$に垂線を下ろし，線分$\mathrm{OB}$との交点を$\mathrm{S}$とする．このとき，以下の問に答えよ．
（図は省略）

(1)三角形$\mathrm{OPR}$の面積を$\theta$を用いて表せ．
(2)三角形$\mathrm{OPQ}$の面積を$\theta$を用いて表せ．
(3)$\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{3}$の範囲を動くとき，五角形$\mathrm{ORPQS}$の面積の最大値を求めよ．

空欄$[$1$]$から$[$11$]$にあてはまる数値または式を記入せよ．

(1)$1$次不等式$\displaystyle \frac{7+4x}{3} \geqq \frac{x+1}{2}-x$の解は$[$1$]$である．
(2)$\displaystyle \frac{1}{2+\sqrt{3}-\sqrt{5}}$の分母を有理化すると$[$2$]$となる．
(3)$A,\ B,\ C$を定数とする．$\displaystyle \frac{x^2+2x+17}{x^3-x^2-5x-3}=\frac{A}{(x+1)^2}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{x-3}$が$x$についての恒等式であるとき，$A=[$3$]$，$B=[$4$]$，$C=[$5$]$である．
(4)実数$a$に対して，$a$以下の整数で最大のものを$[a]$で表す．このとき，$[\log_2 7]=[$6$]$，$\displaystyle [\log_3 \frac{1}{25}]=[$7$]$である．
(5)大小$2$個のさいころを同時に投げる．このとき，目の和が$9$以下になる確率は$[$8$]$であり，目の積が$9$以下になる確率は$[$9$]$である．
(6)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{CA}=5$とし，頂点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に垂線$\mathrm{AH}$を下ろすとする．このとき，線分$\mathrm{AH}$の長さは$[$10$]$であり，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[$11$]$である．

下図のように，$1$辺の長さ$5$の正方形$\mathrm{ABCD}$が，$1$辺の長さ$1$の正方形からなる格子で区画されている．点$\mathrm{P}$は，$\mathrm{A}$から出発して次のルールに従って格子の上を動くものとする．$\mathrm{X}$と記したカードと，$\mathrm{Y}$と記したカード$5$枚ずつを，よくシャッフルして上から順にカードをめくる．$\mathrm{X}$と記したカードが出た場合は図の$\mathrm{X}$方向，$\mathrm{Y}$と記したカードが出た場合は図の$\mathrm{Y}$方向に$1$だけ動く．すべてのカードがめくり終わると，点$\mathrm{P}$は$\mathrm{C}$に到達していることになる．このとき，点$\mathrm{P}$の動いた経路と，線分$\mathrm{AB}$，線分$\mathrm{BC}$で囲まれる部分の面積を$S_1$，点$\mathrm{P}$の動いた経路と，線分$\mathrm{AD}$，線分$\mathrm{DC}$で囲まれる部分の面積を$S_2$とする．以下の問に答えよ．

(1)カードが$\mathrm{YXYXXYYYXX}$の順に出たとき
\[ S_1=[ア],\quad S_2=[イ] \]
である．
(2)$|S_1-S_2| \geqq 19$となる確率は$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エ]}$である．
（図は省略）

下図のように，$1$辺の長さ$5$の正方形$\mathrm{ABCD}$が，$1$辺の長さ$1$の正方形からなる格子で区画されている．点$\mathrm{P}$は，$\mathrm{A}$から出発して次のルールに従って格子の上を動くものとする．$\mathrm{X}$と記したカードと，$\mathrm{Y}$と記したカード$5$枚ずつを，よくシャッフルして上から順にカードをめくる．$\mathrm{X}$と記したカードが出た場合は図の$\mathrm{X}$方向，$\mathrm{Y}$と記したカードが出た場合は図の$\mathrm{Y}$方向に$1$だけ動く．すべてのカードがめくり終わると，点$\mathrm{P}$は$\mathrm{C}$に到達していることになる．このとき，点$\mathrm{P}$の動いた経路と，線分$\mathrm{AB}$，線分$\mathrm{BC}$で囲まれる部分の面積を$S_1$，点$\mathrm{P}$の動いた経路と，線分$\mathrm{AD}$，線分$\mathrm{DC}$で囲まれる部分の面積を$S_2$とする．以下の問に答えよ．

(1)カードが$\mathrm{YXYXXYYYXX}$の順に出たとき
\[ S_1=[ア],\quad S_2=[イ] \]
である．
(2)$|S_1-S_2| \geqq 19$となる確率は$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エ]}$である．
（図は省略）

放物線$y=x^2+ax-1$と直線$y=x+b$について，次の問いに答えよ．

(1)放物線と直線が$2$つの交点を持つための条件を，$a$と$b$を用いて表せ．
(2)$2$つの交点の距離が$1$となるための条件を，$a$と$b$を用いて表せ．
(3)$2$つの交点を結んだ線分の中点がちょうど原点となるときの$a$と$b$の値をそれぞれ求めよ．