「線分」について
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国立 島根大学 2015年 第1問$t$を$0<t<1$をみたす実数とする．$xy$平面上の$3$点$\mathrm{A}(-1,\ 1)$，$\mathrm{B}(0,\ -1)$，$\mathrm{C}(1,\ 1)$に対し，線分$\mathrm{AB}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{P}$とし，線分$\mathrm{BC}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．さらに，線分$\mathrm{PQ}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{R}$とし，点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$を通る直線を$\ell$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{R}$の座標を$t$を用いて表せ．
(2)直線$\ell$が曲線$y=x^2$の点$\mathrm{R}$における接線であることを示せ．
(3)$t$が条件$0<t<1$をみたしながら変化するとき，直線$\ell$が通過する領域を図示せよ．
(1)点$\mathrm{R}$の座標を$t$を用いて表せ．
(2)直線$\ell$が曲線$y=x^2$の点$\mathrm{R}$における接線であることを示せ．
(3)$t$が条件$0<t<1$をみたしながら変化するとき，直線$\ell$が通過する領域を図示せよ．
国立 島根大学 2015年 第4問$xy$平面において，点$\mathrm{P}(x,\ y)$と点$(2,\ 0)$の距離が，点$\mathrm{P}$と直線$x=1$の距離の$\sqrt{2}$倍と等しくなるような点$\mathrm{P}$の描く曲線を$C$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)曲線$C$の方程式を求めよ．
(2)$t$を$0$でない実数とし，曲線$C$と直線$x+y=t$との交点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$の座標を$t$を用いて表せ．
(3)$(2)$で求めた点$\mathrm{Q}$から$x$軸に下ろした垂線を$\mathrm{QH}$とする．$t$が$2 \leqq t \leqq 4$の範囲を動くとき，線分$\mathrm{QH}$が通過してできる図形の面積を求めよ．
(1)曲線$C$の方程式を求めよ．
(2)$t$を$0$でない実数とし，曲線$C$と直線$x+y=t$との交点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$の座標を$t$を用いて表せ．
(3)$(2)$で求めた点$\mathrm{Q}$から$x$軸に下ろした垂線を$\mathrm{QH}$とする．$t$が$2 \leqq t \leqq 4$の範囲を動くとき，線分$\mathrm{QH}$が通過してできる図形の面積を求めよ．
国立 島根大学 2015年 第4問$xy$平面において，点$\mathrm{P}(x,\ y)$と点$(2,\ 0)$の距離が，点$\mathrm{P}$と直線$x=1$の距離の$\sqrt{2}$倍と等しくなるような点$\mathrm{P}$の描く曲線を$C$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)曲線$C$の方程式を求めよ．
(2)$t$を$0$でない実数とし，曲線$C$と直線$x+y=t$との交点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$の座標を$t$を用いて表せ．
(3)$(2)$で求めた点$\mathrm{Q}$から$x$軸に下ろした垂線を$\mathrm{QH}$とする．$t$が$2 \leqq t \leqq 4$の範囲を動くとき，線分$\mathrm{QH}$が通過してできる図形の面積を求めよ．
(1)曲線$C$の方程式を求めよ．
(2)$t$を$0$でない実数とし，曲線$C$と直線$x+y=t$との交点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$の座標を$t$を用いて表せ．
(3)$(2)$で求めた点$\mathrm{Q}$から$x$軸に下ろした垂線を$\mathrm{QH}$とする．$t$が$2 \leqq t \leqq 4$の範囲を動くとき，線分$\mathrm{QH}$が通過してできる図形の面積を求めよ．
国立 奈良女子大学 2015年 第1問平面上に三角形$\mathrm{ABC}$と点$\mathrm{P}$があり，点$\mathrm{P}$は
\[ 4(\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{CP}})=\overrightarrow{\mathrm{CB}} \]
をみたしているとする．辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AC}$の中点をそれぞれ$\mathrm{M}$，$\mathrm{N}$とする．$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}$とおく．次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{MP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{NP}}$を$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)線分の長さの比$\mathrm{MP}:\mathrm{NP}$を求めよ．
(4)三角形$\mathrm{PAB}$，$\mathrm{PBC}$，$\mathrm{PCA}$の面積をそれぞれ$S,\ T,\ U$とする．面積の比$S:T$と$T:U$を求めよ．
\[ 4(\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{CP}})=\overrightarrow{\mathrm{CB}} \]
をみたしているとする．辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AC}$の中点をそれぞれ$\mathrm{M}$，$\mathrm{N}$とする．$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}$とおく．次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{MP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{NP}}$を$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)線分の長さの比$\mathrm{MP}:\mathrm{NP}$を求めよ．
(4)三角形$\mathrm{PAB}$，$\mathrm{PBC}$，$\mathrm{PCA}$の面積をそれぞれ$S,\ T,\ U$とする．面積の比$S:T$と$T:U$を求めよ．
国立 長崎大学 2015年 第4問自然対数の底を$e$とする．区間$x \geqq 0$上で定義される関数
\[ f(x)=e^{-x} \sin x \]
を考え，曲線$y=f(x)$と$x$軸との交点を，$x$座標の小さい順に並べる．それらを，$\mathrm{P}_0$，$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\cdots$とする．点$\mathrm{P}_0$は原点である．
自然数$n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$に対して，線分$\mathrm{P}_{n-1} \mathrm{P}_n$と$y=f(x)$で囲まれた図形の面積を$S_n$とする．以下の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{P}_n$の$x$座標を求めよ．
(2)面積$S_n$を求めよ．
(3)$\displaystyle I_n=\sum_{k=1}^n S_k$とする．このとき，$I_n$と$\displaystyle \lim_{n \to \infty} I_n$を求めよ．
\[ f(x)=e^{-x} \sin x \]
を考え，曲線$y=f(x)$と$x$軸との交点を，$x$座標の小さい順に並べる．それらを，$\mathrm{P}_0$，$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\cdots$とする．点$\mathrm{P}_0$は原点である．
自然数$n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$に対して，線分$\mathrm{P}_{n-1} \mathrm{P}_n$と$y=f(x)$で囲まれた図形の面積を$S_n$とする．以下の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{P}_n$の$x$座標を求めよ．
(2)面積$S_n$を求めよ．
(3)$\displaystyle I_n=\sum_{k=1}^n S_k$とする．このとき，$I_n$と$\displaystyle \lim_{n \to \infty} I_n$を求めよ．
国立 鹿児島大学 2015年 第1問次の各問いに答えよ．
(1)$\mathrm{SATTUN}$という$6$文字を並びかえて得られる順列のうち，最初が子音文字になるものの総数を求めよ．
(2)半径$r$の円$\mathrm{O}^\prime$が半径$2r$の円$\mathrm{O}$に点$\mathrm{P}$で内接し，さらに円$\mathrm{O}^\prime$は円$\mathrm{O}$の弦$\mathrm{AB}$に点$\mathrm{Q}$で接している．線分$\mathrm{PQ}$の延長が円$\mathrm{O}$と交わる点を$\mathrm{M}$とする．$\angle \mathrm{PQB}={60}^\circ$のとき，線分$\mathrm{QM}$の長さを求めよ．
(3)$1$次不定方程式
\[ 37x+32y=1 \]
の整数解を$1$組求めよ．
(1)$\mathrm{SATTUN}$という$6$文字を並びかえて得られる順列のうち，最初が子音文字になるものの総数を求めよ．
(2)半径$r$の円$\mathrm{O}^\prime$が半径$2r$の円$\mathrm{O}$に点$\mathrm{P}$で内接し，さらに円$\mathrm{O}^\prime$は円$\mathrm{O}$の弦$\mathrm{AB}$に点$\mathrm{Q}$で接している．線分$\mathrm{PQ}$の延長が円$\mathrm{O}$と交わる点を$\mathrm{M}$とする．$\angle \mathrm{PQB}={60}^\circ$のとき，線分$\mathrm{QM}$の長さを求めよ．
(3)$1$次不定方程式
\[ 37x+32y=1 \]
の整数解を$1$組求めよ．
国立 鹿児島大学 2015年 第4問平面上に三角形$\mathrm{ABC}$と点$\mathrm{O}$があり，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき
\[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a} \neq 0 \]
を満たしていると仮定する．辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$，線分$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{N}$とし，三角形$\mathrm{OBC}$の外心を$\mathrm{P}$とする．このとき，次の各問いに答えよ．
(1)$\mathrm{M} \neq \mathrm{P}$のとき，線分$\mathrm{MP}$と線分$\mathrm{OA}$は平行であることを示せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{MP}}=t \overrightarrow{a}$とおいて，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{NP}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$および実数$t$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{NP}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
\[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a} \neq 0 \]
を満たしていると仮定する．辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$，線分$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{N}$とし，三角形$\mathrm{OBC}$の外心を$\mathrm{P}$とする．このとき，次の各問いに答えよ．
(1)$\mathrm{M} \neq \mathrm{P}$のとき，線分$\mathrm{MP}$と線分$\mathrm{OA}$は平行であることを示せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{MP}}=t \overrightarrow{a}$とおいて，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{NP}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$および実数$t$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{NP}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
国立 鹿児島大学 2015年 第1問次の各問いに答えよ．
(1)$\mathrm{SATTUN}$という$6$文字を並びかえて得られる順列のうち，最初が子音文字になるものの総数を求めよ．
(2)半径$r$の円$\mathrm{O}^\prime$が半径$2r$の円$\mathrm{O}$に点$\mathrm{P}$で内接し，さらに円$\mathrm{O}^\prime$は円$\mathrm{O}$の弦$\mathrm{AB}$に点$\mathrm{Q}$で接している．線分$\mathrm{PQ}$の延長が円$\mathrm{O}$と交わる点を$\mathrm{M}$とする．$\angle \mathrm{PQB}={60}^\circ$のとき，線分$\mathrm{QM}$の長さを求めよ．
(3)$1$次不定方程式
\[ 37x+32y=1 \]
の整数解を$1$組求めよ．
(1)$\mathrm{SATTUN}$という$6$文字を並びかえて得られる順列のうち，最初が子音文字になるものの総数を求めよ．
(2)半径$r$の円$\mathrm{O}^\prime$が半径$2r$の円$\mathrm{O}$に点$\mathrm{P}$で内接し，さらに円$\mathrm{O}^\prime$は円$\mathrm{O}$の弦$\mathrm{AB}$に点$\mathrm{Q}$で接している．線分$\mathrm{PQ}$の延長が円$\mathrm{O}$と交わる点を$\mathrm{M}$とする．$\angle \mathrm{PQB}={60}^\circ$のとき，線分$\mathrm{QM}$の長さを求めよ．
(3)$1$次不定方程式
\[ 37x+32y=1 \]
の整数解を$1$組求めよ．
国立 鹿児島大学 2015年 第1問次の各問いに答えよ．
(1)$\mathrm{SATTUN}$という$6$文字を並びかえて得られる順列のうち，最初が子音文字になるものの総数を求めよ．
(2)半径$r$の円$\mathrm{O}^\prime$が半径$2r$の円$\mathrm{O}$に点$\mathrm{P}$で内接し，さらに円$\mathrm{O}^\prime$は円$\mathrm{O}$の弦$\mathrm{AB}$に点$\mathrm{Q}$で接している．線分$\mathrm{PQ}$の延長が円$\mathrm{O}$と交わる点を$\mathrm{M}$とする．$\angle \mathrm{PQB}={60}^\circ$のとき，線分$\mathrm{QM}$の長さを求めよ．
(3)$1$次不定方程式
\[ 37x+32y=1 \]
の整数解を$1$組求めよ．
(1)$\mathrm{SATTUN}$という$6$文字を並びかえて得られる順列のうち，最初が子音文字になるものの総数を求めよ．
(2)半径$r$の円$\mathrm{O}^\prime$が半径$2r$の円$\mathrm{O}$に点$\mathrm{P}$で内接し，さらに円$\mathrm{O}^\prime$は円$\mathrm{O}$の弦$\mathrm{AB}$に点$\mathrm{Q}$で接している．線分$\mathrm{PQ}$の延長が円$\mathrm{O}$と交わる点を$\mathrm{M}$とする．$\angle \mathrm{PQB}={60}^\circ$のとき，線分$\mathrm{QM}$の長さを求めよ．
(3)$1$次不定方程式
\[ 37x+32y=1 \]
の整数解を$1$組求めよ．
国立 鹿児島大学 2015年 第7問次の各問いに答えよ．ただし，$i$は虚数単位とする．
(1)方程式$z^4=-1$を解け．
(2)$\alpha$を方程式$z^4=-1$の解の一つとする．複素数平面に点$\beta$があって$|z-\beta|=\sqrt{2} |z-\alpha|$を満たす点$z$全体が原点を中心とする円$C$を描くとき，複素数$\beta$を$\alpha$で表せ．
(3)点$z$が$(2)$の円$C$上を動くとき，点$i$と$z$を結ぶ線分の中点$w$はどのような図形を描くか．
(1)方程式$z^4=-1$を解け．
(2)$\alpha$を方程式$z^4=-1$の解の一つとする．複素数平面に点$\beta$があって$|z-\beta|=\sqrt{2} |z-\alpha|$を満たす点$z$全体が原点を中心とする円$C$を描くとき，複素数$\beta$を$\alpha$で表せ．
(3)点$z$が$(2)$の円$C$上を動くとき，点$i$と$z$を結ぶ線分の中点$w$はどのような図形を描くか．