空間において，同一平面上にない$4$点を$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とする．線分$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$を$2$辺とする平行四辺形を$\mathrm{OADB}$，線分$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OC}$を$2$辺とする平行四辺形を$\mathrm{OAEC}$，線分$\mathrm{OB}$，$\mathrm{OC}$を$2$辺とする平行四辺形を$\mathrm{OBFC}$とする．下の問いに答えよ．

(1)$\triangle \mathrm{ODE}$を含む平面と直線$\mathrm{AF}$の交点を$\mathrm{G}$とするとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=1$，$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=x$とする．点$\mathrm{O}$を中心とし，点$\mathrm{G}$を含む球面と$\triangle \mathrm{ABE}$を含む平面の交わりで得られる円の半径の最小値とそのときの$x$の値を求めよ．

等比数列$\{a_n\}$と等差数列$\{b_n\}$を次の通りとする．
\[ a_n=\left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^{n-3},\quad b_n=\frac{3 \pi (n-1)}{4} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
これらを用いて，座標平面上の点$\mathrm{P}_n$を
\[ \mathrm{P}_n (a_n \cos b_n,\ a_n \sin b_n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{P}_4$が線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$の中点であることを示せ．
(2)線分$\mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1}$の長さ$l_n$を$n$の式で表せ．
(3)極限値$\displaystyle L=\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n l_k$を求めよ．
(4)座標平面上の曲線$C$が媒介変数$t$と定数$\alpha,\ \beta$を用いて，
\[ x=2^{\alpha t+\beta} \cos t,\quad y=2^{\alpha t+\beta} \sin t \]
と表されるとする．曲線$C$が$t=0$で点$\mathrm{P}_1$を通り，$\displaystyle t=\frac{3 \pi}{4}$で点$\mathrm{P}_2$を通るとき，$\alpha,\ \beta$の値を求めよ．
(5)$(4)$で求めた$\alpha,\ \beta$の値に対し，曲線$C$がすべての点$\mathrm{P}_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を通ることを示せ．

座標空間に$3$点$\mathrm{A}(-1,\ -1,\ 2)$，$\mathrm{B}(1,\ 1,\ 2)$，$\mathrm{C}(1,\ -1,\ -2)$をとる．線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とし，原点$\mathrm{O}$を中心として$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る球面を$S$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$，$\overrightarrow{\mathrm{CM}}$をそれぞれ成分で表せ．
(2)$\angle \mathrm{AMC}$の大きさ$\theta$を$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(4)原点$\mathrm{O}$から三角形$\mathrm{ABC}$に垂線$\mathrm{OH}$を下ろす．線分$\mathrm{OH}$の長さを求めよ．
(5)点$\mathrm{P}$が球面$S$上を動くとき，四面体$\mathrm{ABCP}$の体積の最大値を求めよ．

$f(x)=x^3$，$g(x)=x^3-4$とし，曲線$C_1:y=f(x)$と曲線$C_2:y=g(x)$の両方に接する直線を$\ell$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)直線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$\ell$と$C_1$との接点を$\mathrm{P}$，$\ell$と$y$軸との交点を$\mathrm{Q}$，$\ell$と$C_1$とが$\mathrm{P}$以外で交わる点を$\mathrm{R}$とする．線分$\mathrm{PQ}$と線分$\mathrm{QR}$の長さの比$\mathrm{PQ}:\mathrm{QR}$を求めよ．
(3)$C_2$と$\ell$とで囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

$t$が$0 \leqq t \leqq 1$の範囲を動くとき，$xy$平面上の$2$点$\mathrm{P}(t,\ t)$，$\mathrm{Q}(t-1,\ 1-t)$を結ぶ線分$\mathrm{PQ}$の通過する領域を$D$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$D$を図示せよ．
(2)$D$の面積を求めよ．

四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$，$\mathrm{OC}$のどの$2$辺も互いに直交し，長さがすべて$1$である．$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面上に点$\mathrm{D}$を
\[ \mathrm{OD}=1,\quad 0^\circ<\angle \mathrm{BOD}<{90}^\circ,\quad 0^\circ<\angle \mathrm{COD}<{90}^\circ \]
となるようにとり，$\angle \mathrm{BOD}=\theta$，$\cos \theta=x$とおく．線分$\mathrm{AB}$を$(x+2):x$に外分する点を$\mathrm{E}$，線分$\mathrm{AC}$を$x:(1-x)$に内分する点を$\mathrm{F}$，三角形$\mathrm{DEF}$の重心を$\mathrm{G}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を，$x,\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．また，$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を，$x,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{G}$が$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面上にあるような$x$の値を求めよ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$と$\overrightarrow{\mathrm{DF}}$の内積の最小値と，そのときの$x$の値を求めよ．

一直線上にない$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$があり，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$を満たすように点$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$をとる．$0<x<1$を満たす実数$x$に対し，線分$\mathrm{OA}$を$x:(1-x)$に内分する点を$\mathrm{P}$，直線$\mathrm{PC}$と直線$\mathrm{OB}$との交点を$\mathrm{Q}$，直線$\mathrm{QD}$と直線$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{R}$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を，$x,\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を，$x,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)直線$\mathrm{RE}$と直線$\mathrm{OA}$との交点が$\mathrm{P}$と一致するとき，$x$の値を求めよ．
(4)$x$を$(3)$で求めた値とするとき，$\triangle \mathrm{PQR}$の重心と$\triangle \mathrm{OAB}$の重心は一致することを証明せよ．

一直線上にない$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$があり，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$を満たすように点$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$をとる．$0<x<1$を満たす実数$x$に対し，線分$\mathrm{OA}$を$x:(1-x)$に内分する点を$\mathrm{P}$，直線$\mathrm{PC}$と直線$\mathrm{OB}$との交点を$\mathrm{Q}$，直線$\mathrm{QD}$と直線$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{R}$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を，$x,\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を，$x,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)直線$\mathrm{RE}$と直線$\mathrm{OA}$との交点が$\mathrm{P}$と一致するとき，$x$の値を求めよ．
(4)$x$を$(3)$で求めた値とする．$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=1$，$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=\frac{\pi}{3}$のとき，$\mathrm{PQ}^2$の値を求めよ．

座標平面上の$2$点$\mathrm{P}(t,\ t^2)$，$\mathrm{Q}(t-5,\ t^2-4t+2)$に対して，$t$が$1 \leqq t \leqq 3$の範囲を動くとき，以下の各問いに答えよ．

(1)線分$\mathrm{PQ}$を表す直線の方程式および定義域を，$t$を用いて表せ（答えのみでよい）．
(2)線分$\mathrm{PQ}$が通過する範囲$D$を求め，図示せよ．

$xyz$空間上に点$\mathrm{A}(0,\ 0,\ \sqrt{3})$をとる．$xy$平面上の点$\mathrm{P}(a,\ b,\ 0)$は，線分$\mathrm{AP}$の長さが$2$で，$a \geqq 0$，$b \geqq 0$となるように動く．このとき線分$\mathrm{AP}$がえがく図形を$F$とする．次の問に答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$の軌跡を$xy$平面上に図示せよ．
(2)点$\mathrm{Q}(x,\ y,\ z)$を図形$F$上の点とするとき，$z$を$x,\ y$を用いて表せ．
(3)図形$F$，座標平面$x=0$，$y=0$，$z=0$によって囲まれる部分を$x$軸の周りに$1$回転してできる回転体を$V$とする．$V$の平面$x=t$による切り口の面積$S(t)$を，$t$を用いて表せ．
(4)$V$の体積を求めよ．