座標平面上に放物線$C:y=x^2$がある．点$\mathrm{P}(t,\ t^2)$（ただし，$t>0$）における$C$の接線を$\ell$とし，$\ell$が$x$軸，$y$軸と交わる点をそれぞれ$\mathrm{M}$，$\mathrm{N}$とする．$\mathrm{M}$を通り$\ell$と直交する直線が，$y$軸，直線$x=t$と交わる点をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．

(1)$\angle \mathrm{QPR}$は$\ell$により二等分されることを示せ．
(2)$\triangle \mathrm{PQR}$が正三角形になるような$t$の値を求めよ．
(3)四角形$\mathrm{PQNR}$の面積を$S_1$とし，線分$\mathrm{PQ}$，$y$軸および$C$で囲まれる図形の面積を$S_2$とする．$(2)$のとき，$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$の値を求めよ．

曲線$\displaystyle C:y=|\displaystyle\frac{1|{2}x^2-6}-2x$を考える．

(1)$C$と直線$L:y=-x+t$が異なる$4$点で交わるような$t$の値の範囲を求めよ．
(2)$C$と$L$が異なる$4$点で交わるとし，その交点を$x$座標が小さいものから順に$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$，$\mathrm{P}_4$とするとき，
\[ \frac{|\overrightarrow{\mathrm{P|_1 \mathrm{P}_2}}+|\overrightarrow{\mathrm{P|_3 \mathrm{P}_4}}}{|\overrightarrow{\mathrm{P|_2 \mathrm{P}_3}}}=4 \]
となるような$t$の値を求めよ．
(3)$t$が$(2)$の値をとるとき，$C$と線分$\mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3$で囲まれる図形の面積を求めよ．

$a,\ b,\ c$を実数とし，
\[ f(x)=x^3+ax^2+bx+c \]
とおく．曲線$C:y=f(x)$上に異なる$2$点$\mathrm{P}(s,\ f(s))$，$\mathrm{Q}(t,\ f(t))$がある．

(1)$\mathrm{P}$における$C$の接線の方程式を求めよ．
(2)$\mathrm{P}$における$C$の接線と$\mathrm{Q}$における$C$の接線が平行になるための条件を$s,\ t,\ a$の関係式として求めよ．
(3)$(2)$の条件のもとで，線分$\mathrm{PQ}$の中点が$C$上にあることを示せ．

座標空間内を，長さ$2$の線分$\mathrm{AB}$が次の$2$条件$(ⅰ)$，$(ⅱ)$をみたしながら動く．

$(ⅰ)$ 点$\mathrm{A}$は平面$z=0$上にある．
$(ⅱ)$ 点$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 1)$が線分$\mathrm{AB}$上にある．

このとき，線分$\mathrm{AB}$が通過することのできる範囲を$K$とする．$K$と不等式$z \geqq 1$の表す範囲との共通部分の体積を求めよ．

座標空間内に
\[ \mathrm{O}(0,\ 0,\ 0),\quad \mathrm{A}(1,\ 2,\ 2),\quad \mathrm{B}(1,\ 0,\ -1),\quad \mathrm{C}(2,\ -1,\ 1) \]
を頂点とする四面体$\mathrm{OABC}$がある．$t>0$に対して半直線$\mathrm{OB}$上の点$\mathrm{P}$を$\mathrm{OB}:\mathrm{OP}=1:t$となるようにとる．

(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$t$を用いて表せ．
(2)$\triangle \mathrm{APC}$の面積を$S(t)$とおく．$S(t)$が最小になる$t$の値と，そのときの$S(t)$の値を求めよ．
(3)点$\mathrm{Q}$は直線$\mathrm{OB}$上にあり，点$\mathrm{R}$は直線$\mathrm{AC}$上にある．線分$\mathrm{QR}$の長さの最小値と，そのときの点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．

$\triangle \mathrm{OAB}$において，$\mathrm{OA}=5$，$\mathrm{OB}=6$，$\mathrm{AB}=7$とする．$t$を$0<t<1$を満たす実数とする．辺$\mathrm{OA}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{OB}$を$1:t$に外分する点を$\mathrm{Q}$，辺$\mathrm{AB}$と線分$\mathrm{PQ}$の交点を$\mathrm{R}$とする．点$\mathrm{R}$から直線$\mathrm{OB}$へ下ろした垂線を$\mathrm{RS}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$t,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OS}}$を$t,\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(4)線分$\mathrm{OS}$の長さが$4$となる$t$の値を求めよ．

$\triangle \mathrm{OAB}$において，$\mathrm{OA}=5$，$\mathrm{OB}=6$，$\mathrm{AB}=7$とする．$t$を$0<t<1$を満たす実数とする．辺$\mathrm{OA}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{OB}$を$1:t$に外分する点を$\mathrm{Q}$，辺$\mathrm{AB}$と線分$\mathrm{PQ}$の交点を$\mathrm{R}$とする．点$\mathrm{R}$から直線$\mathrm{OB}$へ下ろした垂線を$\mathrm{RS}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$t,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OS}}$を$t,\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(4)線分$\mathrm{OS}$の長さが$4$となる$t$の値を求めよ．

水平な平面$\alpha$の上に半径$r_1$の球$S_1$と半径$r_2$の球$S_2$が乗っており，$S_1$と$S_2$は外接している．

(1)$S_1,\ S_2$が$\alpha$と接する点をそれぞれ$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$とする．線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$の長さを求めよ．
(2)$\alpha$の上に乗っており，$S_1$と$S_2$の両方に外接している球すべてを考える．それらの球と$\alpha$の接点は，$1$つの円の上または$1$つの直線の上にあることを示せ．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=\sqrt{3}$，$\mathrm{BC}=\sqrt{5}$，$\mathrm{AC}=2$とする．辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{B}$と異なる点$\mathrm{P}$があり，$\mathrm{AP}=\sqrt{3}$とする．また，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{Q}$，線分$\mathrm{AP}$と線分$\mathrm{CQ}$との交点を$\mathrm{R}$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$と$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．
(3)$\triangle \mathrm{AQR}$の面積$T$を求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=\sqrt{3}$，$\mathrm{BC}=\sqrt{5}$，$\mathrm{AC}=2$とする．辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{B}$と異なる点$\mathrm{P}$があり，$\mathrm{AP}=\sqrt{3}$とする．また，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{Q}$，線分$\mathrm{AP}$と線分$\mathrm{CQ}$との交点を$\mathrm{R}$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$と$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．
(3)$\triangle \mathrm{AQR}$の面積$T$を求めよ．