「総額」について
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私立 慶應義塾大学 2016年 第6問ある人が破産したとき，すなわち，借りているお金の一部分しか返すことができなくなったとき，その人の財産（現在残っているものをお金にしたもの）の総額$A$を$n$人の債権者（お金を貸した人）にどう分配するかについて考える．債権者には債権額（貸したお金の額）の少ない順に番号が振られており，第$i$番目の債権者の債権額を$B_i$とすると，$B_i<B_{i+1} (i=1,\ \cdots,\ n-1)$が成り立っている．また，$\displaystyle B=\sum_{i=1}^n B_i$としたとき，$A<B$である．以下では$A=B$のときを含めて，第$i$番目の債権者の分配額$X_i$を，$B_i$の状況に応じて，次のルールに従って決める．
\mon[ケース$1$：] $\displaystyle A \leqq \frac{n}{2}B_1$のときは，$\displaystyle X_i=\frac{1}{n}A (i=1,\ \cdots,\ n)$とする．
\mon[ケース$2$：] $1 \leqq k \leqq n-1$に対して
\[ \frac{1}{2}B-\frac{1}{2} \sum_{j=k}^n (B_j-B_k) \leqq A \leqq \frac{1}{2}B-\frac{1}{2} \sum_{j=k+1}^n (B_j-B_{k+1}) \]
のときは
\[ X_i=\left\{ \begin{array}{ll}
\displaystyle\frac{1}{2}B_i & (i=1,\ \cdots,\ k) \\
\displaystyle\frac{1}{2}B_k+\frac{1}{n-k} \left\{ A-\frac{1}{2}B+\frac{1}{2} \sum_{j=k}^n (B_j-B_k) \right\} & (i=k+1,\ \cdots,\ n)
\end{array} \right. \]
とする．
\mon[ケース$3$：] $1 \leqq k \leqq n-1$に対して
\[ \frac{1}{2}B+\frac{1}{2} \sum_{j=k+1}^n (B_j-B_{k+1}) \leqq A \leqq \frac{1}{2}B+\frac{1}{2} \sum_{j=k}^n (B_j-B_{k}) \]
のときは
\[ X_i=\left\{ \begin{array}{ll}
\displaystyle\frac{1}{2}B_i & (i=1,\ \cdots,\ k) \\
B_i-\displaystyle\frac{1}{2}B_k-\frac{1}{n-k} \left\{ \frac{1}{2}B+\frac{1}{2} \sum_{j=k}^n (B_j-B_k)-A \right\} & (i=k+1,\ \cdots,\ n)
\end{array} \right. \]
とする．
\mon[ケース$4$：] $\displaystyle B-\frac{n}{2}B_1 \leqq A$のときは，$\displaystyle X_i=B_i-\frac{1}{n}(B-A) (i=1,\ \cdots,\ n)$とする．
(1)$n=2,\ B_1=60,\ B_2=180$としたとき，$A$が
\[ [$85$][$86$][$87$] \leqq A \leqq [$88$][$89$][$90$] \]
の範囲ならば，$X_1=30$となる．また，$X_2$が$X_1$の$4$倍となるのは，$A$の値が$2$通りあり，小さい順に$[$91$][$92$][$93$]$と$[$94$][$95$][$96$]$の場合である．
(2)$n=3,\ B_1=60,\ B_2=90,\ B_3=180$としたとき，$A=100$ならば，$X_2=[$97$][$98$][$99$]$，$X_3=[$100$][$101$][$102$]$であり，$A=220$ならば，$X_2=[$103$][$104$][$105$]$，$X_3=[$106$][$107$][$108$]$である．
\mon[ケース$1$：] $\displaystyle A \leqq \frac{n}{2}B_1$のときは，$\displaystyle X_i=\frac{1}{n}A (i=1,\ \cdots,\ n)$とする．
\mon[ケース$2$：] $1 \leqq k \leqq n-1$に対して
\[ \frac{1}{2}B-\frac{1}{2} \sum_{j=k}^n (B_j-B_k) \leqq A \leqq \frac{1}{2}B-\frac{1}{2} \sum_{j=k+1}^n (B_j-B_{k+1}) \]
のときは
\[ X_i=\left\{ \begin{array}{ll}
\displaystyle\frac{1}{2}B_i & (i=1,\ \cdots,\ k) \\
\displaystyle\frac{1}{2}B_k+\frac{1}{n-k} \left\{ A-\frac{1}{2}B+\frac{1}{2} \sum_{j=k}^n (B_j-B_k) \right\} & (i=k+1,\ \cdots,\ n)
\end{array} \right. \]
とする．
\mon[ケース$3$：] $1 \leqq k \leqq n-1$に対して
\[ \frac{1}{2}B+\frac{1}{2} \sum_{j=k+1}^n (B_j-B_{k+1}) \leqq A \leqq \frac{1}{2}B+\frac{1}{2} \sum_{j=k}^n (B_j-B_{k}) \]
のときは
\[ X_i=\left\{ \begin{array}{ll}
\displaystyle\frac{1}{2}B_i & (i=1,\ \cdots,\ k) \\
B_i-\displaystyle\frac{1}{2}B_k-\frac{1}{n-k} \left\{ \frac{1}{2}B+\frac{1}{2} \sum_{j=k}^n (B_j-B_k)-A \right\} & (i=k+1,\ \cdots,\ n)
\end{array} \right. \]
とする．
\mon[ケース$4$：] $\displaystyle B-\frac{n}{2}B_1 \leqq A$のときは，$\displaystyle X_i=B_i-\frac{1}{n}(B-A) (i=1,\ \cdots,\ n)$とする．
(1)$n=2,\ B_1=60,\ B_2=180$としたとき，$A$が
\[ [$85$][$86$][$87$] \leqq A \leqq [$88$][$89$][$90$] \]
の範囲ならば，$X_1=30$となる．また，$X_2$が$X_1$の$4$倍となるのは，$A$の値が$2$通りあり，小さい順に$[$91$][$92$][$93$]$と$[$94$][$95$][$96$]$の場合である．
(2)$n=3,\ B_1=60,\ B_2=90,\ B_3=180$としたとき，$A=100$ならば，$X_2=[$97$][$98$][$99$]$，$X_3=[$100$][$101$][$102$]$であり，$A=220$ならば，$X_2=[$103$][$104$][$105$]$，$X_3=[$106$][$107$][$108$]$である．
公立 高崎経済大学 2016年 第5問あるだるまメーカーが，大小$2$種類のだるまを製造・販売している．だるまの製造には，材料と職人の作業が必要である．だるま$1$個の製造に必要な材料の量と職人の作業時間，販売によって得られる利益は下の表に示すとおりである．また，材料は$84 \, \mathrm{kg}$まで使うことができ，職人は$960$時間まで作業できる．なお，製造しただるまは必ず販売できる．このとき，次の各問に答えよ．
表 だるま$1$個の製造に必要な材料の量，職人の作業時間，得られる利益
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
& 必要な材料の量 & 必要な職人の作業時間 & 得られる利益 \\ \hline
だるま（小） & $100 \mathrm{g}$ & $2$時間 & $300$円 \\ \hline
だるま（大） & $300 \mathrm{g}$ & $3$時間 & $500$円 \\ \hline
\end{tabular}
(1)「だるま（小）」だけを製造・販売する場合，利益は最大でいくらになるか．
(2)「だるま（小）」と「だるま（大）」を製造・販売する場合，利益の総額を最大にするためには，「だるま（小）」と「だるま（大）」をそれぞれ何個製造・販売すればよいか．
(3)いま，ライバルメーカーとの競争によって，「だるま（小）」$1$個から得られる利益が$100$円に，「だるま（大）」$1$個から得られる利益が$350$円に，それぞれ低下したとする．この場合，利益の総額を最大にするためには，「だるま（小）」と「だるま（大）」をそれぞれ何個製造・販売すればよいか．
表 だるま$1$個の製造に必要な材料の量，職人の作業時間，得られる利益
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
& 必要な材料の量 & 必要な職人の作業時間 & 得られる利益 \\ \hline
だるま（小） & $100 \mathrm{g}$ & $2$時間 & $300$円 \\ \hline
だるま（大） & $300 \mathrm{g}$ & $3$時間 & $500$円 \\ \hline
\end{tabular}
(1)「だるま（小）」だけを製造・販売する場合，利益は最大でいくらになるか．
(2)「だるま（小）」と「だるま（大）」を製造・販売する場合，利益の総額を最大にするためには，「だるま（小）」と「だるま（大）」をそれぞれ何個製造・販売すればよいか．
(3)いま，ライバルメーカーとの競争によって，「だるま（小）」$1$個から得られる利益が$100$円に，「だるま（大）」$1$個から得られる利益が$350$円に，それぞれ低下したとする．この場合，利益の総額を最大にするためには，「だるま（小）」と「だるま（大）」をそれぞれ何個製造・販売すればよいか．
国立 福井大学 2014年 第1問総数$20$本のくじの中に，賞金$1000$円の$1$等が$1$本，賞金$500$円の$2$等が$2$本，賞金$100$円の$3$等が$3$本入っており，残りは全て賞金$0$円のはずれくじである．このくじを$2$本引くとき，次の問いに答えよ．
(1)$3$等が$1$本以上当たる確率を求めよ．
(2)得られる賞金の総額が$1000$円になる確率を求めよ．
(3)得られる賞金の総額の期待値を求めよ．
(4)このくじを$1$本引くのに参加料を$x$円払う必要があるとする．このくじを$2$本引くとき，$x$がいくらまでならば，「くじを引くこと」が得になるか答えよ．ここで，得られる賞金の総額の期待値よりも参加料の方が少ないとき，得であると判断することにする．
(1)$3$等が$1$本以上当たる確率を求めよ．
(2)得られる賞金の総額が$1000$円になる確率を求めよ．
(3)得られる賞金の総額の期待値を求めよ．
(4)このくじを$1$本引くのに参加料を$x$円払う必要があるとする．このくじを$2$本引くとき，$x$がいくらまでならば，「くじを引くこと」が得になるか答えよ．ここで，得られる賞金の総額の期待値よりも参加料の方が少ないとき，得であると判断することにする．
国立 浜松医科大学 2012年 第2問$24$時間診療業務を休みなく行う病院において，$40$日間で$1$万個使用される医療材料$\mathrm{A}$について考える．$\mathrm{A}$の使用頻度は常に一定であり，$1$日の時間帯や曜日による変動は全くないものとする．さて，病院における在庫管理では，「品切れ」が起きないこと，「コスト」をできるだけ低くすること，この$2$つが肝要である．医療材料$\mathrm{A}$の保管費は，その保管期間に比例し，$1$個につき$10$日間で$1$円である．また，納入業者に$\mathrm{A}$を注文すれば，注文量の多少に関わらず，品物が届いた時点で$200$円の事務費がかかる．なお，担当者は$\mathrm{A}$の在庫量$y$の時間的推移を把握しており，品切れになる直前という最適のタイミングで，注文した量が届くものとする．われわれは，保管費と事務費の和$S$を最小にするような注文の仕方を求める．以下の問いに答えよ．
(1)$\mathrm{A}$の在庫は最初$1$万個あったとする．そして注文する量は毎回一定として，$x$で表す．このとき，時間$t$による在庫量$y$の変化を表すグラフを，横軸を時間の$t$軸とする座標平面上に図示せよ．（図示する際には，適当な$x$の値を自ら設定すること．）
以下，$1$回目の注文によって品物の届く時点以降の$y$の変化について考察する．
(2)周期的な$y$の変動に留意して，平均在庫量を求めよ．
(3)長期にわたる保管費，事務費の総額をそれぞれ見積もり，保管費と事務費の和$S$の「$1$日当たりの平均コスト」を求めよ．さらに，この$1$日当たりの平均コストを最小にするような$x$の値を求めよ．
(1)$\mathrm{A}$の在庫は最初$1$万個あったとする．そして注文する量は毎回一定として，$x$で表す．このとき，時間$t$による在庫量$y$の変化を表すグラフを，横軸を時間の$t$軸とする座標平面上に図示せよ．（図示する際には，適当な$x$の値を自ら設定すること．）
以下，$1$回目の注文によって品物の届く時点以降の$y$の変化について考察する．
(2)周期的な$y$の変動に留意して，平均在庫量を求めよ．
(3)長期にわたる保管費，事務費の総額をそれぞれ見積もり，保管費と事務費の和$S$の「$1$日当たりの平均コスト」を求めよ．さらに，この$1$日当たりの平均コストを最小にするような$x$の値を求めよ．
私立 東北学院大学 2011年 第2問$1$枚$80$円，$100$円，$200$円の$3$種類の切手を次のように，あわせて$30$枚買う．$80$円切手の枚数は，$200$円切手の枚数の$3$倍と$100$円切手の枚数の和に等しく，どの切手も少なくとも$1$枚は買うものとし，さらに総額を$3000$円以下にする．このとき，$200$円切手をできるだけ多く買うためには，切手はそれぞれ何枚ずつ買えばよいか．
私立 北海道科学大学 2011年 第7問$1$個のさいころを投げて$1$の目が出ると$1200$円，偶数の目が出ると$500$円，$3$または$5$の目が出ると$300$円の賞金が得られるとする．この試行において，さいころを$1$回投げて得られる賞金額の期待値は$[ ]$円である．また，この試行を$3$回続けて行った結果，賞金総額がちょうど$2000$円となる確率は$[ ]$である．
公立 釧路公立大学 2010年 第1問経済学において，企業とは自社の利益を最大にすることを目標に活動している組織であり，企業の利益は「売上総額$-$生産費用」で計算されると考えられている．
いま，ある企業が$1$日$x$台（ただし$x \geqq 0$とする）の太陽光パネルを生産している．その$1$台あたりの販売価格$p$万円および$x$台生産するための生産費用$c$万円は，生産台数$x$の関数で表され，それぞれ$p=-4x+a$，$c=x^2+b$である（$a,\ b$は定数である）．ただし，太陽光パネルの生産台数は工場の生産能力の限界により，$1$日$10$台までに制限されている．また，生産した太陽光パネルはその日のうちにすべて売却している．このとき，以下の各問に答えよ．
(1)この企業の$1$日あたりの利益$f(x)$を生産台数$x$の関数で表せ．
(2)$a=80$，$b=200$のとき，$1$日あたりの利益を最大にするための生産台数とそのときの利益を求めよ．
(3)$a=150$，$b=300$のとき，$1$日あたりの利益を最大にするための生産台数とそのときの利益を求めよ．
(4)$a=40$のとき，この企業がどのような生産台数を選んだとしても赤字にならない（選択可能なすべての$x$に対して，$f(x) \geqq 0$となる）$b$の範囲を求めよ．
いま，ある企業が$1$日$x$台（ただし$x \geqq 0$とする）の太陽光パネルを生産している．その$1$台あたりの販売価格$p$万円および$x$台生産するための生産費用$c$万円は，生産台数$x$の関数で表され，それぞれ$p=-4x+a$，$c=x^2+b$である（$a,\ b$は定数である）．ただし，太陽光パネルの生産台数は工場の生産能力の限界により，$1$日$10$台までに制限されている．また，生産した太陽光パネルはその日のうちにすべて売却している．このとき，以下の各問に答えよ．
(1)この企業の$1$日あたりの利益$f(x)$を生産台数$x$の関数で表せ．
(2)$a=80$，$b=200$のとき，$1$日あたりの利益を最大にするための生産台数とそのときの利益を求めよ．
(3)$a=150$，$b=300$のとき，$1$日あたりの利益を最大にするための生産台数とそのときの利益を求めよ．
(4)$a=40$のとき，この企業がどのような生産台数を選んだとしても赤字にならない（選択可能なすべての$x$に対して，$f(x) \geqq 0$となる）$b$の範囲を求めよ．