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静岡大学 国立 静岡大学 2016年 第3問
異なる$n$個のものから$r$個を取る組合せの総数を$\comb{n}{r}$で表す.このとき,次の各問に答えよ.

(1)$2$以上の自然数$k$について,
\[ \comb{k+3}{4}=\comb{k+4}{5}-\comb{k+3}{5} \]
が成り立つことを証明せよ.
(2)和$\displaystyle \sum_{k=1}^n \comb{k+3}{4}$を求めよ.
(3)和$\displaystyle \sum_{k=1}^n (k^4+6k^3)$を求めよ.
佐賀大学 国立 佐賀大学 2016年 第4問
$1$から$5$の数字が書かれたカードが$1$枚ずつある.これらから$4$枚を選び,横$1$列に並べる.並べられたカードに書かれた数字を左から順に$a,\ b,\ c,\ d$とおく.このとき,次の問に答えよ.

(1)カードの並べ方の総数を求めよ.
(2)次のルールのもとで,$3$と$4$のカードを捨てる場合は何通りあるかを求めよ.
\begin{itemize}
$a<b<c<d$ならば,$b$と$c$のカードを捨てる.
$a<b<d<c$ならば,$b$と$d$のカードを捨てる.
$b<a<c<d$ならば,$a$と$c$のカードを捨てる.
$b<a<d<c$ならば,$a$と$d$のカードを捨てる.
その他は何も捨てない.
\end{itemize}
(3)$(2)$のルールのもとで,何も捨てない確率を求めよ.
佐賀大学 国立 佐賀大学 2016年 第4問
$1$から$5$の数字が書かれたカードが$1$枚ずつある.これらから$4$枚を選び,横$1$列に並べる.並べられたカードに書かれた数字を左から順に$a,\ b,\ c,\ d$とおく.このとき,次の問に答えよ.

(1)カードの並べ方の総数を求めよ.
(2)次のルールのもとで,$3$と$4$のカードを捨てる場合は何通りあるかを求めよ.
\begin{itemize}
$a<b<c<d$ならば,$b$と$c$のカードを捨てる.
$a<b<d<c$ならば,$b$と$d$のカードを捨てる.
$b<a<c<d$ならば,$a$と$c$のカードを捨てる.
$b<a<d<c$ならば,$a$と$d$のカードを捨てる.
その他は何も捨てない.
\end{itemize}
(3)$(2)$のルールのもとで,何も捨てない確率を求めよ.
慶應義塾大学 私立 慶應義塾大学 2016年 第1問
\begin{mawarikomi}{36mm}{
\begin{zahyou*}[ul=1mm](-5,30)(0,35)
\def\C{(0,0)}%
\Drawline{(0,0)(30,0)}%
\Drawline{(0,10)(30,10)}%
\Drawline{(0,20)(30,20)}%
\Drawline{(0,30)(30,30)}%
\Drawline{(0,0)(0,30)}%
\Drawline{(10,0)(10,30)}%
\Drawline{(20,0)(20,30)}%
\Drawline{(30,0)(30,30)}%
\tenretu*{A(10,-13.75);B(10,13.75);C(-17,0)}%
\tenretu*{A(10,13.75);B(17,0);C(-17,0)}%
\emathPut{(0,35)}{例:$4 \times 4$の場合}
\Kuromaru[8pt]{(10,0)}
\Kuromaru[8pt]{(0,20)}
\Kuromaru[8pt]{(20,20)}
\Kuromaru[8pt]{(20,30)}
\tenretu*{A(-17,0);B(17,0)}%
\end{zahyou*}
}
座標平面の格子点$\{(i,\ j) \;|\; 1 \leqq i \leqq n,\ 1 \leqq j \leqq n \}$に$n$個の碁石を置く.ここで,$n$は正の整数とする.ただし,これらの碁石は同じ種類であり,互いに区別できない.また,格子点には高々$1$つの碁石しか置けないものとする.各$i$に対して,$\{(i,\ j) \;|\; 1 \leqq j \leqq n \}$を第$i$列,各$j$に対して$\{(i,\ j) \;|\; 1 \leqq i \leqq n \}$を第$j$行と呼ぶ.
\end{mawarikomi}

(1)$n$個の碁石を置くすべての場合の配置の総数を$A_n$とすると
\[ A_1=1, A_2=6, A_3=[$1$][$2$], A_4=\kakkofour{$3$}{$4$}{$5$}{$6$}, \cdots \]
である.
(2)$n$個の碁石を置くとき,どの行およびどの列にも$1$個の碁石を置く場合の配置の総数を$B_n$とすると
\[ B_1=1, B_2=2, B_3=[$7$][$8$], B_4=\kakkofour{$9$}{$10$}{$11$}{$12$}, \cdots \]
である.
(3)$n$個の碁石を置くとき,どの行およびどの列にも高々$2$個の碁石を置く場合の配置の総数を$C_n$とすると
\[ C_1=1, C_2=6, C_3=[$13$][$14$], C_4=\kakkofour{$15$}{$16$}{$17$}{$18$}, \cdots \]
である.
明治大学 私立 明治大学 2016年 第4問
以下のように群に分けられた規則的な数列がある.ただし,第$n$群には$n$個の項が入るものとする.つまり,第$1$項が第$1$群,第$2$項と第$3$項が第$2$群,その後に続く$3$つの項が第$3$群,などとなる.この数列について,各問に答えよ.


$\displaystyle \frac{2}{1 \cdot 2} \;\bigg|\; \frac{3}{1 \cdot 2}, \frac{3}{ 2 \cdot 3} \;\bigg|\; \frac{4}{1 \cdot 2}, \frac{4}{ 2 \cdot 3}, \frac{4}{3 \cdot 4} \;\bigg|\; \frac{5}{1 \cdot 2}, \frac{5}{ 2 \cdot 3}, \frac{5}{3 \cdot 4}, \frac{5}{4 \cdot 5} \;\bigg|\; \frac{6}{1 \cdot 2},\ \cdots$
第$1$群 \qquad\!\!\! 第$2$群 \qquad\qquad\quad\!\!\! 第$3$群 \qquad\qquad\qquad\qquad\ 第$4$群


(1)第$20$項の値を求めよ.
(2)第$5$項と同じ値の項は次に第何項に現れるか.
(3)初項から第$n$群の最後の項までの項の総数を式で表せ.
(4)第$n$群に含まれる$k$番目の項を式で表せ.
(5)初項から第$30$群の最後の項までの中に,$5$より大きい項はいくつあるか.
(6)第$n$群に含まれる$n$個の項の総和を式で表せ.
北里大学 私立 北里大学 2016年 第1問
次の$[ ]$にあてはまる答えを記せ.

(1)$a$と$\theta$を実数とし,$2$次方程式$x^2-\sqrt{7}ax+3a^3=0$の$2$つの解を$\sin \theta$,$\cos \theta$とする.このとき,$a$の値は$[ア]$または$[イ]$である.ただし,$[ア]<[イ]$とする.さらに,$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$であれば,$\sin \theta=[ウ]$である.
(2)$x,\ y,\ z$を$0$以上の整数とする.このとき

(i) $x+y+z=9$を満たす$x,\ y,\ z$の組の総数は$[エ]$である.
(ii) $x+y+z \leqq 9$を満たす$x,\ y,\ z$の組の総数は$[オ]$である.
(iii) $x+y+z \leqq 9$を満たす$x,\ y,\ z$の組のうち,$x,\ y,\ z$がすべて相異なるものの総数は$[カ]$である.

(3)$a$を$0 \leqq a \leqq 1$を満たす定数とする.直線$y=1-x$と$x$軸,$y$軸で囲まれた図形を直線$y=a$の周りに$1$回転してできる回転体の体積を$V(a)$とする.このとき$V(a)$は,$\displaystyle 0 \leqq a<\frac{1}{2}$ならば$[キ]$,$\displaystyle \frac{1}{2} \leqq a \leqq 1$ならば$[ク]$と$a$を用いて表される.また,$V(a)$のとり得る値の範囲は$[ケ]$である.
(4)$1$辺の長さが$2$の正四面体$\mathrm{OABC}$がある.辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{M}$,辺$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{N}$とする.$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく.
このとき,$\cos \angle \mathrm{MCN}$の値は$[コ]$である.また,頂点$\mathrm{O}$から平面$\mathrm{MNC}$に下ろした垂線と平面$\mathrm{MNC}$の交点を$\mathrm{H}$とするとき,$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{c}$を用いて表すと,$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=[サ] \overrightarrow{a}+[シ] \overrightarrow{b}-[ス] \overrightarrow{c}$である.さらに,直線$\mathrm{OH}$と平面$\mathrm{ABC}$の交点を$\mathrm{F}$とするとき,$\displaystyle \frac{\mathrm{OH}}{\mathrm{HF}}$の値は$[セ]$である.
明治大学 私立 明治大学 2016年 第1問
次の各問の$[ ]$にあてはまる数を記入せよ.

(1)$3$次方程式$x^3-6x^2+9x+2-a=0$が異なる$2$つの実数解をもつときの$a$の値は,$[ア]$または$[イ]$である.ただし,$[ア]<[イ]$とする.
(2)(指定範囲外からの出題だったため,全員正解とした.)
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において,$\displaystyle \cos A=-\frac{1}{2},\ \cos B=\frac{11}{14},\ \cos C=\frac{13}{14},\ \mathrm{AB}=3$であるとき,$\mathrm{BC}=[ア]$である.
(4)方程式$a+b+c+5d=17$を満たす$a,\ b,\ c,\ d$の$0$以上の整数解の組の総数は$[ア][イ][ウ]$個である.
(5)$\displaystyle \sum_{k=1}^{20} \frac{1}{k(k+1)(k+2)}$の値は$\displaystyle \frac{[ア][イ][ウ]}{[エ][オ][カ]}$である.
明治大学 私立 明治大学 2016年 第3問
$n$と$k$を$n>k$を満たす自然数とする.$n$チームが参加するサッカーの大会がある.この大会では,全てのチームが$k$回の試合を行う.但し,その$k$試合の対戦相手は,全て異なるとする.このとき,次の問に答えよ.

(1)$n=4,\ k=2$の場合の大会が,何通りあるかもとめよ.
(2)$n=6,\ k=3$のとき,$1$つの大会の試合の総数をもとめよ.
(3)一般に,この大会が成立するためには,$n$か$k$のどちらかが,偶数でなければならないことを示せ.
(4)各試合の両チームの得点を全て合計し,試合数で割った値を,その大会における$1$試合の平均得点と呼ぶことにする.
$n=9$のとき,各チームが$k$試合行う大会における,$1$試合の平均得点が,$\displaystyle \left( \frac{1}{27}k^2-\frac{7}{9}k+5 \right)$点であったとする.$1$つの大会における総得点が,もっとも多くなる$k$をもとめよ.
九州大学 国立 九州大学 2015年 第4問
袋の中に最初に赤玉$2$個と青玉$1$個が入っている.次の操作を繰り返し行う.

(操作) 袋から$1$個の玉を取り出し,それが赤玉ならば代わりに青玉$1$個を袋に入れ,青玉ならば代わりに赤玉$1$個を袋に入れる.袋に入っている$3$個の玉がすべて青玉になるとき,硬貨を$1$枚もらう.

(1)$2$回目の操作で硬貨をもらう確率を求めよ.
(2)奇数回目の操作で硬貨をもらうことはないことを示せ.
(3)$8$回目の操作ではじめて硬貨をもらう確率を求めよ.
(4)$8$回の操作でもらう硬貨の総数がちょうど$1$枚である確率を求めよ.
九州大学 国立 九州大学 2015年 第3問
袋の中に最初に赤玉$2$個と青玉$1$個が入っている.次の操作を考える.

(操作) 袋から$1$個の玉を取り出し,それが赤玉ならば代わりに青玉$1$個を袋に入れ,青玉ならば代わりに赤玉$1$個を袋に入れる.袋に入っている$3$個の玉がすべて青玉になるとき,硬貨を$1$枚もらう.

この操作を$4$回繰り返す.もらう硬貨の総数が$1$枚である確率と,もらう硬貨の総数が$2$枚である確率をそれぞれ求めよ.
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「総数」とは・・・

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