以下の問いに答えよ．

(1)$a$を実数とする．すべての実数$x$に対して${(ax+1)}^2 \geqq x+1$となる$a$を求めよ．
(2)$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$のとき，$\displaystyle \int_{-\sin^2 \theta}^{\cos^2 \theta} |x| \, dx=\frac{3}{8}$を満たす$\theta$を求めよ．

$[ア]$～$[エ]$にあてはまる数または式を記入せよ．

(1)数列$\{a_n\}$は，次の条件$(ⅰ),\ (ⅱ)$を満たす．


(i) $a_1=0,\quad a_n \leqq 0 \quad (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$

(ii) $\displaystyle n=\int_{a_n}^{a_{n+1}} \left( x+\frac{1}{2} \right) \, dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$


$n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots$のとき，$a_n=[ア]$である．
(2)$\displaystyle \sum_{k=1}^7 \log_2 \cos \frac{k\pi}{16}=[イ]$
(3)実数$x,\ y$が，$|x|+|y|=1$を満たしているとき，
\[ |7x-3y|+|5x-11y| \]
の最大値は$[ウ]$である．
(4)関数$f(x)=1-2 |x|$を考える．次の条件$(ⅰ),\ (ⅱ)$を満たす実数$a$は全部で$[エ]$個ある．

(i) $f(a) \neq a$
(ii) $f(f(f(a)))=a$

次の各問いに答えよ．

(1)$\displaystyle x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$のとき，$\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}$の値を求めよ．ただし，分母は有理化して答えよ．
(2)初項から第$3$項までの和が$-63$，初項から第$6$項までの和が$-4095$である等比数列の初項と公比を求めよ．
(3)$5$個の数字$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$を$1$回ずつ使って$5$桁の数を作る．このとき，$31402$は小さい方から数えて何番目の数か．
(4)次の方程式を解け．
\[ 2 \log_2 x=\log_2 (x+4)+1 \]
(5)直線$y=3x+a$は曲線$y=x^3$に点$\mathrm{A}$で接する．ただし，$a>0$とする．原点を$\mathrm{O}$とし，直線と曲線の接点以外の共有点を$\mathrm{B}$とするとき，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を求めよ．
(6)定積分$\displaystyle \int_{-1}^2 |x-1| \, dx$の値を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)$a$を実数とする．すべての実数$x$に対して${(ax+1)}^2 \geqq x+1$となる$a$を求めよ．
(2)$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$のとき，$\displaystyle \int_{-\sin^2 \theta}^{\cos^2 \theta} |x| \, dx=\frac{3}{8}$を満たす$\theta$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)不等式$6-x^2 \geqq |x|$を解け．
(2)$(1)$の範囲で，関数$y=x^2-2 |x|-1$の最大値と最小値，およびそのときの$x$の値を求めよ．

直線$y=-2x+b$と曲線$y=|x(x-4)|$が$x$軸上にない共有点をちょうど$3$個もつとき，定数$b$の値は$[エ]$であり，$3$個の共有点の座標は$[オ]$，$[カ]$および$[キ]$である．さらにこのとき，この曲線と直線で囲まれた図形の面積は$[ク]$である．

大小$2$つのサイコロと$1$枚のコインを同時に投げ，大小のサイコロの目をそれぞれ$a,\ b$とする．さらに，コインが表なら$c=1$とし，コインが裏なら$c=-1$とする．このとき，$2$次方程式
\[ x^2+ax+bc=0 \]
の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする．

(1)$\alpha$と$\beta$が実数である確率を求めよ．
(2)$\alpha$と$\beta$が実数であり，かつ$|\alpha|+|\beta|$が整数である確率を求めよ．

（新課程履修者）$a>0$とする．複素平面上で等式
\[ |z-ia|=\frac{z-\overline{z}}{2i} \]
を満たす点$z$全体の表す図形を$C$とする．ただし，$i$は虚数単位で，$\overline{z}$は$z$と共役な複素数を表す．

(1)$z=x+iy$と表すとき，$C$の方程式を$y=f(x)$の形で表せ．
(2)$C$上の点$z$で
\[ |z-(2+2i)|=|z+(2+2i)| \]
を満たすものを求めよ．

次の$[　]$を適当に補え．

(1)$x^2-2x-7<0$をみたす実数$x$の範囲は$[ア]$である．また，実数$x$に対して，$x$を超えない最大の整数を$[x]$とすると，${[x]}^2-2[x]-7<0$をみたす実数$x$の範囲は$[イ]$である．
(2)数列$\{a_n\}$は関係式
\[ a_1=1,\quad a_2=\frac{4}{3},\quad 3a_{n+2}-4a_{n+1}+a_n=0 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
をみたすとする．このとき，数列$\{a_{n+1}-pa_n\}$が公比$q$の等比数列になるような定数$p,\ q$の組は$(p,\ q)=[ウ]$であり，一般項$a_n$は$a_n=[エ]$である．
(3)$\displaystyle \frac{\cos \theta-\sin \theta}{\cos \theta+\sin \theta}=\sqrt{3}-2$となるのは$\tan \theta=[オ]$のときであり，これをみたす$\displaystyle \theta \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$の値は$\theta=[カ]$である．
(4)$a$を実数とし，$\displaystyle f(a)=\int_{-1}^2 {(x-a |x|)}^2 \, dx$とする．$f(a)$は$a=[キ]$のとき，最小値$[ク]$をとる．
(5)$\tan x=t$とおくとき，$\sin 2x$を$t$で表すと$\sin 2x=[ケ]$である．また，$\displaystyle \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{\sin 2x} \, dx=[コ]$である．

\mon[（注）] 次の$(6),\ (7)$は選択問題である．

(6)大小$2$つのさいころを投げて，大きいさいころの出た目を$a$，小さいさいころの出た目を$b$とする．$2$次方程式$x^2+ax+b=0$が$2$つの異なる実数解をもつ確率は$[サ]$，重解をもつ確率は$[シ]$，実数解をもたない確率は$[ス]$である．
(7)平面上で，半径$3$の円$C_1$と半径$5$の円$C_2$が点$\mathrm{P}$で外接している．$1$本の直線が$\mathrm{P}$と異なる点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$で円$C_1,\ C_2$とそれぞれ接しているとき，$\mathrm{QR}=[セ]$である．また，直線$\mathrm{QP}$と円$C_2$との，$\mathrm{P}$と異なる交点を$\mathrm{S}$とするとき，$\mathrm{SR}=[ソ]$である．

次の問いに答えなさい．

(1)ベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$が，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a}=4$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=-5$，$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{b}=9$を満たすとき，
\[ {|\abs{\overrightarrow{b|} \overrightarrow{a}+|\overrightarrow{a|} \overrightarrow{b}}}^2 \]
の値を求めなさい．
(2)直線$y=kx-k^2$が$k$の値によらず放物線$y=ax^2$に接するとき，$a$の値を求めなさい．
(3)曲線$y=(1-\sqrt{x})^2$と$x$軸および$y$軸で囲まれた図形の面積を求めなさい．