「絶対値」について
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国立 東京医科歯科大学 2015年 第1問座標平面上で次のように媒介変数表示される曲線$C$を考える．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x=|\cos t| \cos^3 t \\
y=|\sin t| \sin^3 t \phantom{\frac{\mkakko{}}{2}}
\end{array} \right. \hspace{-8mm}(0 \leqq t \leqq 2\pi) \]
このとき以下の各問いに答えよ．
(1)次の条件$(*)$を満たす第$1$象限内の定点$\mathrm{F}$の座標を求めよ．
$(*)$ 第$1$象限内で$C$上にあるすべての点$\mathrm{P}$について，$\mathrm{P}$から直線$x+y=0$に下ろした垂線を$\mathrm{PH}$とするとき，つねに$\mathrm{PF}=\mathrm{PH}$となる．
(2)点$\mathrm{P}$が$C$全体を動くとき，$\mathrm{P}$と$(1)$の定点$\mathrm{F}$を結ぶ線分$\mathrm{PF}$が通過する領域を図示し，その面積を求めよ．
(3)$(2)$の領域を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x=|\cos t| \cos^3 t \\
y=|\sin t| \sin^3 t \phantom{\frac{\mkakko{}}{2}}
\end{array} \right. \hspace{-8mm}(0 \leqq t \leqq 2\pi) \]
このとき以下の各問いに答えよ．
(1)次の条件$(*)$を満たす第$1$象限内の定点$\mathrm{F}$の座標を求めよ．
$(*)$ 第$1$象限内で$C$上にあるすべての点$\mathrm{P}$について，$\mathrm{P}$から直線$x+y=0$に下ろした垂線を$\mathrm{PH}$とするとき，つねに$\mathrm{PF}=\mathrm{PH}$となる．
(2)点$\mathrm{P}$が$C$全体を動くとき，$\mathrm{P}$と$(1)$の定点$\mathrm{F}$を結ぶ線分$\mathrm{PF}$が通過する領域を図示し，その面積を求めよ．
(3)$(2)$の領域を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．
国立 秋田大学 2015年 第3問$f(x)=|1+2 \sin 2x|$とする．次の問いに答えよ．
(1)$0 \leqq x \leqq \pi$のとき，方程式$f(x)=0$を解け．
(2)$0 \leqq x \leqq \pi$における関数$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(3)$\displaystyle \int_0^\pi f(x) \, dx$を求めよ．
(4)$\displaystyle \int_{\frac{11}{12}\pi}^x f(t) \, dt=3\pi+18 \sqrt{3}$となる$x$の値を求めよ．
(1)$0 \leqq x \leqq \pi$のとき，方程式$f(x)=0$を解け．
(2)$0 \leqq x \leqq \pi$における関数$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(3)$\displaystyle \int_0^\pi f(x) \, dx$を求めよ．
(4)$\displaystyle \int_{\frac{11}{12}\pi}^x f(t) \, dt=3\pi+18 \sqrt{3}$となる$x$の値を求めよ．
私立 立教大学 2015年 第1問次の空欄$[ア]$～$[コ]$にあてはまる数または式を記入せよ．
(1)空間内の$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を$\mathrm{A}(0,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{C}(2,\ 2,\ 0)$とする．実数$p,\ q$を用いて点$\mathrm{H}$を$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=p \overrightarrow{\mathrm{AB}}+q \overrightarrow{\mathrm{AC}}$で定める．原点を$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$として，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$が$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の両方に垂直であるとき，$p=[ア]$，$q=[イ]$である．
(2)不等式$x+3<5 |x-1|$を満たす実数$x$の範囲は，$x<[ウ]$または$x>[エ]$である．
(3)多項式$(x^5+1)^2$を$x^2+x+1$で割った余りを$Ax+B$とすると，定数$A$と$B$は$A=[オ]$，$B=[カ]$である．
(4)$0<a<1$のとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \log (a^{2n}+a^{3n})=[キ]$である．
(5)大中小の$3$つのサイコロをふって，出た目の和が$9$になる確率は$[ク]$である．
(6)$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos (x-\theta) \, dx$の最大値は$[ケ]$であり，最小値は$[コ]$である．
(1)空間内の$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を$\mathrm{A}(0,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{C}(2,\ 2,\ 0)$とする．実数$p,\ q$を用いて点$\mathrm{H}$を$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=p \overrightarrow{\mathrm{AB}}+q \overrightarrow{\mathrm{AC}}$で定める．原点を$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$として，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$が$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の両方に垂直であるとき，$p=[ア]$，$q=[イ]$である．
(2)不等式$x+3<5 |x-1|$を満たす実数$x$の範囲は，$x<[ウ]$または$x>[エ]$である．
(3)多項式$(x^5+1)^2$を$x^2+x+1$で割った余りを$Ax+B$とすると，定数$A$と$B$は$A=[オ]$，$B=[カ]$である．
(4)$0<a<1$のとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \log (a^{2n}+a^{3n})=[キ]$である．
(5)大中小の$3$つのサイコロをふって，出た目の和が$9$になる確率は$[ク]$である．
(6)$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos (x-\theta) \, dx$の最大値は$[ケ]$であり，最小値は$[コ]$である．
私立 慶應義塾大学 2015年 第5問$f(x)=(x-1) |x-3|-4x+12$とする．また，曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{P}(1,\ f(1))$における接線を$\ell$とする．以下に答えなさい．
(1)$y=f(x)$のグラフをかきなさい．
(2)直線$\ell$の方程式を求めなさい．
(3)曲線$y=f(x)$と直線$\ell$の点$\mathrm{P}$以外の共有点$\mathrm{Q}$の座標を求めなさい．
(4)曲線$y=f(x)$と直線$\ell$で囲まれた図形の面積$S$を求めなさい．
(1)$y=f(x)$のグラフをかきなさい．
(2)直線$\ell$の方程式を求めなさい．
(3)曲線$y=f(x)$と直線$\ell$の点$\mathrm{P}$以外の共有点$\mathrm{Q}$の座標を求めなさい．
(4)曲線$y=f(x)$と直線$\ell$で囲まれた図形の面積$S$を求めなさい．
私立 早稲田大学 2015年 第1問$a$を定数とする．$x$についての方程式
\[ |(x-4)(x-2)|=ax-5a+\frac{1}{2} \]
が相異なる$4$つの実数解をもつとき，$a$の範囲は，$\displaystyle [ア]+\sqrt{[イ]}<a<\frac{1}{[ウ]}$である．
\[ |(x-4)(x-2)|=ax-5a+\frac{1}{2} \]
が相異なる$4$つの実数解をもつとき，$a$の範囲は，$\displaystyle [ア]+\sqrt{[イ]}<a<\frac{1}{[ウ]}$である．
私立 慶應義塾大学 2015年 第2問$a$を実数とする．絶対値を含む式$|x-a|x-a |x-a|$は，以下の$(1)$と$(2)$のように$2$通りの解釈が可能である．それぞれの解釈のもとで，方程式
\[ |x-a|x-a |x-a|=x-a \]
を考える．
(1)$|x-a|x-a |x-a|$を，絶対値$|x-a|$と$x$の積から，$a$と絶対値$|x-a|$の積を引いた値と解釈する．このとき，上の方程式の実数解を$a$を用いて小さいほうから列挙すると$x=[キ]$となる．
(2)$|x-a|x-a |x-a|$を$x-a |x-a|x-a$の絶対値であると解釈する．このとき，上の方程式の実数解の個数が$1$個となるための必要十分条件は$a \geqq [ク]$である．また，この方程式の実数解が異なる$3$つの整数となるのは$a=[ケ]$のときである．
(3)$(2)$と同じ解釈のもとで，上の方程式の実数解の個数が有限であるための必要十分条件は$a \neq [コ]$である．$a \neq [コ]$が必要条件であることの証明を書きなさい．
\[ |x-a|x-a |x-a|=x-a \]
を考える．
(1)$|x-a|x-a |x-a|$を，絶対値$|x-a|$と$x$の積から，$a$と絶対値$|x-a|$の積を引いた値と解釈する．このとき，上の方程式の実数解を$a$を用いて小さいほうから列挙すると$x=[キ]$となる．
(2)$|x-a|x-a |x-a|$を$x-a |x-a|x-a$の絶対値であると解釈する．このとき，上の方程式の実数解の個数が$1$個となるための必要十分条件は$a \geqq [ク]$である．また，この方程式の実数解が異なる$3$つの整数となるのは$a=[ケ]$のときである．
(3)$(2)$と同じ解釈のもとで，上の方程式の実数解の個数が有限であるための必要十分条件は$a \neq [コ]$である．$a \neq [コ]$が必要条件であることの証明を書きなさい．
私立 早稲田大学 2015年 第5問$k$を定数とする．$2$つの曲線$C_1$，$C_2$を，
\[ C_1:y=3x^2-6x+k,\quad C_2:y=x^2 \]
と定義する．曲線$C_1$，$C_2$はただひとつの共有点$\mathrm{A}$をもつ．
(1)$k$の値は$\displaystyle \frac{[チ]}{[ツ]}$である．
(2)点$\mathrm{A}$を通る直線$\ell$をひき，直線$\ell$と曲線$C_1$との交点を$\mathrm{B}$，直線$\ell$と曲線$C_2$との交点を$\mathrm{C}$とする．ただし，点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$はいずれも点$\mathrm{A}$とは異なる点である．点$\mathrm{B}$の$x$座標を$p$とすると，点$\mathrm{C}$の$x$座標は$[テ]p+[ト]$であり，直線$\ell$および曲線$C_1$，$C_2$で囲まれる部分の面積は
\[ [ナ] {|\frac{[ニ]|{[ヌ]}-p}}^3 \]
となる．
\[ C_1:y=3x^2-6x+k,\quad C_2:y=x^2 \]
と定義する．曲線$C_1$，$C_2$はただひとつの共有点$\mathrm{A}$をもつ．
(1)$k$の値は$\displaystyle \frac{[チ]}{[ツ]}$である．
(2)点$\mathrm{A}$を通る直線$\ell$をひき，直線$\ell$と曲線$C_1$との交点を$\mathrm{B}$，直線$\ell$と曲線$C_2$との交点を$\mathrm{C}$とする．ただし，点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$はいずれも点$\mathrm{A}$とは異なる点である．点$\mathrm{B}$の$x$座標を$p$とすると，点$\mathrm{C}$の$x$座標は$[テ]p+[ト]$であり，直線$\ell$および曲線$C_1$，$C_2$で囲まれる部分の面積は
\[ [ナ] {|\frac{[ニ]|{[ヌ]}-p}}^3 \]
となる．
私立 立教大学 2015年 第1問次の空欄$[ア]$～$[シ]$に当てはまる数または式を記入せよ．
(1)式$(2x+3y+z)(x+2y+3z)(3x+y+2z)$を展開したときの$xyz$の係数は$[ア]$である．
(2)実数$x,\ y$が$\displaystyle \frac{i}{1+xi}+\frac{x+2}{y+i}=0$を満たすとき，$x=[イ]$，$y=[ウ]$である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(3)定積分$\displaystyle \int_{-2}^2 x |x-1| \, dx$を求めると$[エ]$である．
(4)$2^{\frac{1}{2}},\ 3^{\frac{1}{3}},\ 5^{\frac{1}{5}}$の大小関係は$[オ]<[カ]<[キ]$である．
(5)不等式$\displaystyle (\log_2 x)^2+\log_2 \frac{x}{2}<1$を満たす$x$の範囲は$[ク]$である．
(6)半径$1$の円に内接する正$n$角形の周の長さは$[ケ]$である．
(7)座標空間における$3$点$\mathrm{A}(1,\ -1,\ 5)$，$\mathrm{B}(4,\ 5,\ 2)$，$\mathrm{C}(a,\ b,\ 0)$が一直線上にあるとき，$a=[コ]$，$b=[サ]$である．
(8)円$x^2+y^2=1$と直線$y=kx+2 (k>0)$が接するとき，その接点の座標は$[シ]$である．
(1)式$(2x+3y+z)(x+2y+3z)(3x+y+2z)$を展開したときの$xyz$の係数は$[ア]$である．
(2)実数$x,\ y$が$\displaystyle \frac{i}{1+xi}+\frac{x+2}{y+i}=0$を満たすとき，$x=[イ]$，$y=[ウ]$である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(3)定積分$\displaystyle \int_{-2}^2 x |x-1| \, dx$を求めると$[エ]$である．
(4)$2^{\frac{1}{2}},\ 3^{\frac{1}{3}},\ 5^{\frac{1}{5}}$の大小関係は$[オ]<[カ]<[キ]$である．
(5)不等式$\displaystyle (\log_2 x)^2+\log_2 \frac{x}{2}<1$を満たす$x$の範囲は$[ク]$である．
(6)半径$1$の円に内接する正$n$角形の周の長さは$[ケ]$である．
(7)座標空間における$3$点$\mathrm{A}(1,\ -1,\ 5)$，$\mathrm{B}(4,\ 5,\ 2)$，$\mathrm{C}(a,\ b,\ 0)$が一直線上にあるとき，$a=[コ]$，$b=[サ]$である．
(8)円$x^2+y^2=1$と直線$y=kx+2 (k>0)$が接するとき，その接点の座標は$[シ]$である．
私立 慶應義塾大学 2015年 第1問以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．
(1)不等式
\[ \log_2 (5-2x)+2 \log_{\frac{1}{2}} (x+2) \leqq 0 \]
をみたす$x$の範囲は$[あ]$である．
(2)$2$つの関数
\[ f(x)=|\displaystyle x^2+3bx-\frac{b|{4}},\quad g(x)=x^2+3b |x|-\frac{b}{4} \]
の最小値が一致するような$b$の範囲は$[い]$である．
(3)$\displaystyle 0 \leqq \alpha <\frac{\pi}{2}$のとき，関数
\[ f(x)=\sin (x-\alpha) \cos x \quad \left( \alpha \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right) \]
は$x=[う]$において最大値をとる．この最大値が$\displaystyle \frac{1}{4}$となるのは$\alpha=[え]$のときである．
(1)不等式
\[ \log_2 (5-2x)+2 \log_{\frac{1}{2}} (x+2) \leqq 0 \]
をみたす$x$の範囲は$[あ]$である．
(2)$2$つの関数
\[ f(x)=|\displaystyle x^2+3bx-\frac{b|{4}},\quad g(x)=x^2+3b |x|-\frac{b}{4} \]
の最小値が一致するような$b$の範囲は$[い]$である．
(3)$\displaystyle 0 \leqq \alpha <\frac{\pi}{2}$のとき，関数
\[ f(x)=\sin (x-\alpha) \cos x \quad \left( \alpha \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right) \]
は$x=[う]$において最大値をとる．この最大値が$\displaystyle \frac{1}{4}$となるのは$\alpha=[え]$のときである．
私立 自治医科大学 2015年 第9問円$C:x^2+y^2=20$と円$C$の外部に存在する点$\mathrm{R}(8,\ a)$（$a$は負の実数）について考える．点$\mathrm{R}$を通り円$C$に接する直線は$2$つ存在する．この$2$つの直線が円$C$と接する点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする（点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$p,\ q$とする）．$\angle \mathrm{PRQ}={60}^\circ$となるとき，$|a+p+q|$の値を求めよ．