$a$を正の定数とし，曲線$C:y=|x^2-x|$と直線$\ell:y=ax$で囲まれた図形の面積を$S$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$S$を$a$を用いて表せ．
(2)$a$を変化させたとき，$S$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．

数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=\frac{(-1)^n}{n(n+2)} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．次の問いに答えよ．

(1)数列$\{b_n\}$を$b_n=a_{2n}$で定めるとき，$\displaystyle \sum_{k=1}^n b_k$を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の初項から第$2n$項までの和$S_{2n}$を求めよ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_{2n}$を求めよ．
(4)$\displaystyle S=\lim_{n \to \infty} S_{2n}$とおくとき，$|S_{2n|-S}<0.001$を満たす最小の自然数$n$を求めよ．

$f(x)=|1+2 \sin 2x|$とする．次の問いに答えよ．

(1)$0 \leqq x \leqq \pi$のとき，方程式$f(x)=0$を解け．
(2)$0 \leqq x \leqq \pi$における関数$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．

(3)$\displaystyle \int_0^\pi f(x) \, dx$を求めよ．

(4)$\displaystyle \int_{\frac{11}{12}\pi}^x f(t) \, dt=3\pi+18 \sqrt{3}$となる$x$の値を求めよ．

$f(x)=|1+2 \sin 2x|$とする．次の問いに答えよ．

(1)$0 \leqq x \leqq \pi$のとき，方程式$f(x)=0$を解け．
(2)$0 \leqq x \leqq \pi$における関数$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．

(3)$\displaystyle \int_0^\pi f(x) \, dx$を求めよ．

(4)$\displaystyle \int_{\frac{11}{12}\pi}^x f(t) \, dt=3\pi+18 \sqrt{3}$となる$x$の値を求めよ．

関数$f(x)=x^3-3x$について，以下の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)$の増減表をかいて極値を求め，$y=f(x)$のグラフの概形を描け．
(2)$2$次関数$g(x)$で，次の$3$項目が$f(x)$と一致するものを求めよ．
$①$ \ 極小値 \quad $②$ \ 極小値をとるときの$x$の値 \quad $③$ \ $x=0$における値
(3)$(2)$で求めた$g(x)$に対して，定積分$\displaystyle \int_{-1}^1 |g(x)| \, dx$を求めよ．

必答問題$(1)$，$(2)$の$2$問と，選択問題$(3)$，$(4)$のいずれか$1$問を選択し，計$3$問を解答せよ．

(1)（必答）$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(-2,\ 1,\ 2)$，$\overrightarrow{b}=(-1,\ 1,\ 0)$について，$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$とする．$t$がすべての実数値をとって変化するとき，$|\overrightarrow{p}|$の最小値を求めよ．
(2)（必答）$3$直線$4x-3y+3=0$，$x-4y+4=0$，$3x+y-14=0$で作られる三角形の面積を求めよ．
(3)（選択）複素数$\displaystyle z=2 \left( \cos \frac{11}{12} \pi+i \sin \frac{11}{12} \pi \right)$のとき，$z^2$，$z^{-3}$および${|z-\displaystyle\frac{1|{z}}}^2$を求めよ．ただし，$i$は虚数単位とする．
(4)（選択）$2$つの行列$A=\left( \begin{array}{cc}
4 & 2 \\
1 & 3
\end{array} \right)$，$B=\left( \begin{array}{cc}
1 & 2 \\
-1 & 1
\end{array} \right)$について，$B^{-1}AB$，$(B^{-1}AB)^n$および$A^n$を求めよ．ただし，$n$は正の整数とする．

次の各問に答えよ．

(1)実数$k$に対し，方程式$x |1-\abs{x|}=k$の異なる実数解の個数を求めよ．
(2)赤玉$a$個，白玉$b$個，青玉$c$個が入っている袋があり，次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$，$(ⅲ)$が成り立つとする．

(i) この袋から$1$個の玉を取り出すとき，赤玉が出る確率は$\displaystyle\frac{1}{2}$である．
(ii) この袋から$2$個の玉を同時に取り出すとき，赤玉と白玉が$1$個ずつ出る確率は$\displaystyle\frac{1}{7}$である．
(iii) この袋から$3$個の玉を同時に取り出すとき，赤玉と白玉と青玉が$1$個ずつ出る確率は$\displaystyle\frac{6}{35}$である．

このとき，$a,\ b,\ c$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)定積分$\displaystyle \int_1^3 (x-1)(x-2)(x-3) \, dx$を求めよ．
(2)方程式$|x^2-3|=2x$を解け．
(3)$a$を$1$でない自然数とする．不等式$(\log_a x)^2-\log_a x^3+2<0$を満たす自然数$x$が$1$つだけ存在するとき，$a$の値を求めよ．

次の各問に答えよ．

(1)実数$k$に対し，方程式$x |1-\abs{x|}=k$の異なる実数解の個数を求めよ．
(2)赤玉$a$個，白玉$b$個，青玉$c$個が入っている袋があり，次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$，$(ⅲ)$が成り立つとする．

(i) この袋から$1$個の玉を取り出すとき，赤玉が出る確率は$\displaystyle\frac{1}{2}$である．
(ii) この袋から$2$個の玉を同時に取り出すとき，赤玉と白玉が$1$個ずつ出る確率は$\displaystyle\frac{1}{7}$である．
(iii) この袋から$3$個の玉を同時に取り出すとき，赤玉と白玉と青玉が$1$個ずつ出る確率は$\displaystyle\frac{6}{35}$である．

このとき，$a,\ b,\ c$を求めよ．

数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$を

$\displaystyle a_n=(-1)^n \int_0^1 \frac{x^n}{1+x} \, dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$

$b_n=a_{n+1}-a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$

と定めるとき，次の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数である．

(1)$a_1=\log 2-1$を示せ．
(2)$\displaystyle b_n=\frac{{(-1)}^{n+1}}{n+1}$を示せ．
(3)$\displaystyle a_n=\log 2-\sum_{k=1}^n \frac{{(-1)}^{k+1}}{k} (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$を示せ．
(4)$x \geqq 0$のとき$\displaystyle \frac{1}{1+x} \leqq 1$であることを用いて，$\displaystyle |a_n| \leqq \frac{1}{n+1}$を示せ．
(5)$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \frac{{(-1)}^{k+1}}{k}$を求めよ．