複素数平面上の異なる$3$点$\mathrm{A}(\alpha)$，$\mathrm{P}(i)$，$\mathrm{Q}(z)$に対して，点$\mathrm{R}(w)$を
\[ w=\frac{\alpha-i}{\overline{\alpha}+i} \overline{z}+\frac{\alpha+\overline{\alpha}}{\overline{\alpha}+i}i \]
により定める．ただし，$3$点$\mathrm{A}(\alpha)$，$\mathrm{P}(i)$，$\mathrm{Q}(z)$は同一直線上にない．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$|\displaystyle\frac{w-i|{z-i}}$を求めよ．

(2)$\displaystyle \frac{z-w}{\alpha-i}$の偏角$\theta$を求めよ．ただし，$0 \leqq \theta<2\pi$とする．
(3)$\alpha=\sqrt{3}+2i$とする．$\triangle \mathrm{PQR}$が点$\mathrm{A}$を重心とする正三角形となるとき，$z$の値を求めよ．

次の問に答えよ．

(1)空間上の$3$点を$\mathrm{A}(0,\ 1,\ 3)$，$\mathrm{B}(-1,\ 3,\ 2)$，$\mathrm{C}(1,\ 2,\ -1)$とする．この$3$点を通る平面上に$\mathrm{D}(a,\ b,\ -1)$があるとき，$a$と$b$の関係式を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$は
\[ a_1=a>0,\quad a_{n+1}=16{a_n}^3 \quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
をみたすものとする．

(i) 数列$\{b_n\}$を$b_n=\log_2 a_n$とするとき，$\{b_n\}$の一般項を$a$と$n$を用いて表せ．
(ii) 数列$\{a_n\}$の一般項を$a$と$n$を用いて表せ．
(iii) すべての$n$について$a_n=a$をみたすような$a$の値を求めよ．

(3)複素数平面において，等式$2 |z-4|=3 |z-3i|$をみたす点$z$の全体はどのような図形を表すか．ただし$i$は虚数単位とする．

次の問いに答えよ．

(1)次の式を展開せよ．

(i) $(x^2+9)(x-3)(x+3)$
(ii) $(x-1)(x+2)(x+3)(x+6)$

(2)次の定積分を求めよ．
\[ \int_0^6 |x^2-4x| \, dx \]
(3)$6$人の生徒の身長を調べたところ，それぞれ
\[ 170,\quad 161,\quad 181,\quad 172,\quad 169,\quad 167 \quad (\mathrm{cm}) \]
であった．このとき$6$人の身長の標準偏差を求めよ．

$t$を正の実数とする．関数$f(t)$を
\[ f(t)=\int_0^2 |x^3-tx^2+2tx-2t^2| \, dx \]
で定義する．次の問いに答えよ．

(1)$x^3-tx^2+2tx-2t^2$を因数分解せよ．
(2)$f(t)$を$t$を用いて表せ．
(3)$f(t)$の最小値を求めよ．

$n$を自然数とし，$k$を$0 \leqq k \leqq 2n-1$を満たす整数とする．次の問いに答えなさい．

(1)定積分$\displaystyle \int_{\frac{k}{n} \pi}^{\frac{k+1}{n} \pi} \left( x+\frac{\pi}{2} \right) \sin nx \, dx$の値を$n$と$k$を用いて表しなさい．

(2)定積分$\displaystyle \int_0^{2 \pi} \left( x+\frac{\pi}{2} \right) |\sin nx| \, dx$の値を求めなさい．

座標平面上の$2$点$\mathrm{A}(-1,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ -1)$を考える．また，$\mathrm{P}$を座標平面上の点とし，その$x$座標の絶対値は$1$以下であるとする．次の条件$(ⅰ)$または$(ⅱ)$をみたす点$\mathrm{P}$の範囲を図示し，その面積を求めよ．

(i) 頂点の$x$座標の絶対値が$1$以上の$2$次関数のグラフで，点$\mathrm{A}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{B}$をすべて通るものがある．
(ii) 点$\mathrm{A}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{B}$は同一直線上にある．

直線$y=px+q$が，$y=x^2-x$のグラフとは交わるが，$y=|x|+|x-1|+1$のグラフとは交わらないような$(p,\ q)$の範囲を図示し，その面積を求めよ．

実数$x,\ y$が$|x| \leqq 1$と$|y| \leqq 1$を満たすとき，不等式
\[ 0 \leqq x^2+y^2-2x^2y^2+2xy \sqrt{1-x^2} \sqrt{1-y^2} \leqq 1 \]
が成り立つことを示せ．

$n$を正の整数とする．以下の問いに答えよ．

(1)関数$g(x)$を次のように定める．
\[ g(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
\displaystyle\frac{\cos (\pi x)+1}{2} & (|x| \leqq 1 \text{のとき}) \\
0 & (|x|>1 \text{のとき})
\end{array} \right. \]
$f(x)$を連続な関数とし，$p,\ q$を実数とする．$\displaystyle |x| \leqq \frac{1}{n}$をみたす$x$に対して$p \leqq f(x) \leqq q$が成り立つとき，次の不等式を示せ．
\[ p \leqq n \int_{-1}^1 g(nx)f(x) \, dx \leqq q \]
(2)関数$h(x)$を次のように定める．
\[ h(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
\displaystyle -\frac{\pi}{2} \sin (\pi x) & (|x| \leqq 1 \text{のとき}) \\
0 & (|x|>1 \text{のとき})
\end{array} \right. \]
このとき，次の極限を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} n^2 \int_{-1}^1 h(nx) \log (1+e^{x+1}) \, dx \]

実数$x,\ y$が$|x| \leqq 1$と$|y| \leqq 1$を満たすとき，不等式
\[ 0 \leqq x^2+y^2-2x^2y^2+2xy \sqrt{1-x^2} \sqrt{1-y^2} \leqq 1 \]
が成り立つことを示せ．