複素数平面上の点$0$を中心とする半径$2$の円$C$上に点$z$がある．$a$を実数の定数とし，
\[ w=z^2-2az+1 \]
とおく．

(1)$|w|^2$を$z$の実部$x$と$a$を用いて表せ．
(2)点$z$が$C$上を一周するとき，$|w|$の最小値を$a$を用いて表せ．

$f(x)=|x(x-2)|+|(x-1)(x-4)|+3x-10 (-2 \leqq x \leqq 4)$とおく．

(1)関数$y=f(x)$のグラフをかけ．グラフと$x$軸との$2$つの交点の$x$座標$\alpha$，$\beta (\alpha<\beta)$の値も求めよ．
(2)$(1)$の$\alpha,\ \beta$に対して，定積分$\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} f(x) \, dx$の値を求めよ．

関数$f(x)=|x^3-3x^2-3x+1|$について，次の問いに答えなさい．

(1)方程式$f(x)=0$の実数解をすべて求めなさい．
(2)$f(x)$の増減，極値を調べ，$y=f(x)$のグラフをかきなさい．ただし，グラフの変曲点と凹凸は調べなくてよい．
(3)$a$を実数の定数とする．$x$についての方程式$f(x)=a$が，ちょうど$4$個の異なる実数解をもつように，$a$の値の範囲を定めなさい．

$a$を実数とするとき，不等式$|n-a|+|n-6| \leqq 6$をみたす整数$n$の個数を求めなさい．

次の問いに答えよ．

(1)方程式$25x+9y=1$の整数解をすべて求めよ．
(2)方程式$25x+9y=33$の整数解をすべて求めよ．さらに，これらの整数解のうち，$|x+y|$の値が最小となるものを求めよ．
(3)$2$つの方程式$25x+9y=33$，$xy=-570$を同時に満たす整数解をすべて求めよ．

関数$f(x)=|x^2-4|-3$について，次の問いに答えよ．

(1)方程式$f(x)=0$の解を求めよ．
(2)関数$y=f(x)$のグラフをかけ．
(3)関数$y=f(x)$のグラフと$x$軸とで囲まれた部分の面積を求めよ．

放物線$\displaystyle C:y=-\frac{1}{2}x^2$を考える．以下の問いに答えよ．

(1)関数$y=-2 |x|+k$のグラフが放物線$C$と共有点をもつような実数$k$の範囲を求めよ．
(2)$a,\ b$を実数とする．関数$y=-2 |x-a|+b$のグラフが放物線$C$と共有点をちょうど$4$個もつような点$(a,\ b)$全体のなす領域$D$を$xy$平面に図示せよ．
(3)$(2)$で求めた領域$D$の面積を求めよ．

関数
\[ f(x)=\int_0^\pi |\sin (t-x)-\sin 2t| \, dt \]
の区間$0 \leqq x \leqq \pi$における最大値と最小値を求めよ．

次の条件（ア），（イ）を満たす複素数$z$を考える．

（ア） $\displaystyle z+\frac{i}{z}$は実数である
（イ） $z$の虚部は正である

ただし，$i$は虚数単位である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$r=|z|$とおくとき，$z$を$r$を用いて表せ．
(2)$z$の虚部が最大となるときの$z$を求めよ．

次の問に答えよ．ただし$2$次方程式の重解は$2$つと数える．

(1)次の条件$(*)$を満たす整数$a,\ b,\ c,\ d,\ e,\ f$の組をすべて求めよ．
\[ (*) \left\{ \begin{array}{l}
\text{$2$次方程式$x^2+ax+b=0$の$2$つの解が$c,\ d$である．} \\
\text{$2$次方程式$x^2+cx+d=0$の$2$つの解が$e,\ f$である．} \\
\text{$2$次方程式$x^2+ex+f=0$の$2$つの解が$a,\ b$である．}
\end{array} \right. \]
(2)$2$つの数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$は，次の条件$(**)$を満たすとする．

\mon[$(**)$] すべての正の整数$n$について，$a_n,\ b_n$は整数であり，$2$次方程式$x^2+a_nx+b_n=0$の$2$つの解が$a_{n+1},\ b_{n+1}$である．

このとき，

(i) 正の整数$m$で，$|b_m|=|b_{m+1|}=|b_{m+2|}=\cdots$となるものが存在することを示せ．
(ii) 条件$(**)$を満たす数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$の組をすべて求めよ．