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山梨大学 国立 山梨大学 2015年 第3問
下の図のように,$\mathrm{ABCDE}$を頂点とする正五角形$P_1$を考える.$P_1$の各辺の中点をとり,その中点を順に結び正五角形$P_2$をつくる.さらに,正五角形$P_2$の各辺の中点をとり,その中点を順に結び正五角形$P_3$をつくる.以下,これを繰り返す.正五角形$P_1$の一辺の長さを$1$,正五角形$P_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$の一辺の長さを$a_n$としたとき,次の問いに答えよ.
(図は省略)

(1)対角線$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{F}$とする.$\triangle \mathrm{ACD}$と$\triangle \mathrm{DFC}$が相似であることを証明せよ.
(2)対角線$\mathrm{AC}$の長さを求めよ.
(3)$a_n$を$n$の式で表せ.
(4)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を求めよ.
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「結び」とは・・・

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