$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$2$チームが続けて試合を行い，先に$3$勝したほうが優勝とする．各試合で$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$のそれぞれが勝つ確率が$\displaystyle \frac{1}{4}$，引き分ける確率が$\displaystyle \frac{1}{2}$であるとき，次の問に答えよ．

(1)$3$試合目で優勝が決まる確率は$\displaystyle \frac{[$1$]}{[$2$][$3$]}$である．
(2)$5$試合が終了した時点で，まだ優勝が決まらない確率は$\displaystyle \frac{[$4$][$5$][$6$]}{[$7$][$8$][$9$]}$である．

$1$辺の長さが$1$の正六角形の頂点の$1$つを$\mathrm{A}$とする．頂点$\mathrm{A}$を出発し，正六角形の辺上を時計回りに動く点$\mathrm{P}$がある．$1$個のさいころを投げて，$1$または$6$の目が出たときには点$\mathrm{P}$は$2$だけ進み，他の目が出たときには点$\mathrm{P}$は$1$だけ進む．さいころを繰り返し投げ，点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{A}$にもどるか，頂点$\mathrm{A}$を通り越したら，さいころ投げは終了する．さいころ投げが終了したとき，点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{A}$にある確率を求めよ．

棚に包装された製品が$n$個（$n \geqq 4$）並んでいるが，そのうち$2$個が不良品だということがわかっている．$n$個の製品はすでに包装されているため，外見からはどれが不良品かどうかを区別することはできない．今，どの$2$個が不良品かを見つけるために，$n$個の製品のうち$1$個を取り出し，包装を解き，中身をチェックする．中身が不良品だった場合は，別に置いてあったすでに包装された良品と交換し，もとにあった場所に戻す．中身が不良品でなかった場合は，製品を包装し直した上でもとにあった場所に戻す．$1$個目の製品のチェックが終わったら，棚の別の製品も同様にチェックし，この作業を$2$個の不良品が見つかるまで繰り返し，$2$個目の不良品を交換した時点で終了する．包装された良品と交換する費用は製品$1$個につき$1000$円，製品を包装し直す費用は製品$1$個につき$100$円である．

(1)$n=4$のとき，この作業全体の費用が$2200$円になる確率は$[セ]$である．
(2)$n=4$のとき，この作業全体の費用の期待値は$\displaystyle \left( 2000+[ソ] \right)$円である．
(3)この作業全体の費用の期待値を$n$の関数で表すと$\displaystyle \left( 2000+[タ] \right)$円である．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{2}},\ y=\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}$のとき，
\[ xy=\frac{[ア]}{[イ]},\quad x+y=\frac{[ウ] \sqrt{[エ]}}{[オ]} \]
である．
(2)$a,\ b$を定数とする．不等式$x-2a \leqq 3x+b \leqq x+2$の解が$4 \leqq x \leqq 5$であるとき，$a=[カ]$，$b=[キク]$である．
(3)$2$次方程式$x^2-3x-5=0$の解を$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とするとき，

$m \leqq \alpha<m+1$を満たす整数$m$の値は$m=[ケコ]$，
$n \leqq \beta<n+1$を満たす整数$n$の値は$n=[サ]$

である．
(4)$6$個の数字$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$を使ってできる$4$桁の整数のうち，$2$の倍数は$[シスセ]$個ある．ただし，同じ数字をくり返し使わないものとする．
(5)方程式$5x+7y=1 \cdots\cdots①$の整数解$x,\ y$を求める．
$5 \cdot 3+7 \cdot ([ソタ])=1 \cdots\cdots②$が成り立ち，$①,\ ②$から
\[ 5(x-3)+7(y+[チ])=0 \]
が成り立つ．よって，$x-3=[ツ]n$（$n$は整数）とおけるから，$①$のすべての整数解は
\[ x=[ツ]n+3,\quad y=[テト]n-[チ] \quad (n \text{は整数}) \]
と表せる．
(6)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{AC}=6$，$\displaystyle \cos A=\frac{9}{16}$であるとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$\displaystyle \frac{[アイ] \sqrt{[ウ]}}{[エ]}$であり，その内接円の半径は$\displaystyle \frac{\sqrt{[オ]}}{[カ]}$である．
(7)$\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=\frac{2}{3} (0^\circ \leqq \theta \leqq {180}^\circ)$のとき，$\displaystyle \sin^2 \theta-\cos^2 \theta=\frac{[キ] \sqrt{[クケ]}}{[コ]}$である．
(8)箱の中に赤玉$1$個，黄玉$2$個，白玉$2$個の計$5$個の玉がある．この$5$個の玉から$1$個の玉を取り出し，その色を確認して元に戻す．この試行をくり返して，赤玉を取り出すか，または，黄玉を$2$回取り出したときに試行を終了するものとする．このとき，$3$回目の試行で終了する確率は$\displaystyle \frac{[サシ]}{[スセソ]}$である．

次の各問に答えよ．

(1)$1$個のさいころを振る試行を繰り返す．出た目の和が$6$以上になったら，この試行を終了する．

(i) $3$回目に和がちょうど$6$になってこの試行を終了する確率を求めよ．
(ii) この試行が$3$回以内に終了する確率を求めよ．

(2)等差数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$の一般項が，それぞれ$a_n=3n-2$，$b_n=7n+4$であるとき，この$2$つの数列に共通な項を小さい方から順に並べてできる数列を$\{c_n\}$とする．次の各問に答えよ．

(i) 数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．
(ii) 数列$\{c_n\}$の項のうち，$4$の倍数でかつ$3$桁の整数となる項の数とその総和を求めよ．

$1$枚の硬貨を何回も投げ，表が$2$回続けて出たら終了する試行を行う．ちょうど$n$回投げた時点で終了する確率を$P_n$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$P_2$を求めよ．
(2)$P_3$を求めよ．
(3)$P_4$を求めよ．
(4)$\displaystyle P_5<\frac{1}{2}$であることを示せ．

$1$枚の硬貨を何回も投げ，表が$2$回続けて出たら終了する試行を行う．ちょうど$n$回で終了する確率を$P_n$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$P_2,\ P_3,\ P_4$を求めよ．
(2)$P_{n+1}$を$P_n$および$P_{n-1}$を用いて表せ．ただし，$n \geqq 3$とする．
(3)$n \geqq 2$のとき，$\displaystyle \frac{P_n}{2} \leqq P_{n+1} \leqq P_n$が成り立つことを示せ．

大小合わせて$2$個のサイコロがある．サイコロを投げると，$1$から$6$までの整数の目が等しい確率で出るとする．

(1)$2$個のサイコロを同時に投げる．出た目の差の絶対値について，その期待値を求めよ．
(2)$2$個のサイコロを同時に投げ，出た目が異なるときはそこで終了する．出た目が同じときには小さいサイコロをもう一度だけ投げて終了する．終了時に出ている目の差の絶対値について，その期待値を求めよ．

$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が続けて試合を行い，先に$3$勝した方が優勝するというゲームを考える．$1$試合ごとに$\mathrm{A}$が勝つ確率を$p$，$\mathrm{B}$が勝つ確率を$q$，引き分ける確率を$1-p-q$とする．

(1)$3$試合目で優勝が決まる確率を求めよ．
(2)$5$試合目で優勝が決まる確率を求めよ．
(3)$\displaystyle p=q=\frac{1}{3}$としたとき，$5$試合目が終了した時点でまだ優勝が決まらない確率を求めよ．
(4)$\displaystyle p=q=\frac{1}{2}$としたとき，優勝が決まるまでに行われる試合数の期待値を求めよ．

$\mathrm{A}$さんは$5$円硬貨を$3$枚，$\mathrm{B}$さんは$5$円硬貨を$1$枚と$10$円硬貨を$1$枚持っている．$2$人は自分が持っている硬貨すべてを一度に投げる．それぞれが投げた硬貨のうち表が出た硬貨の合計金額が多い方を勝ちとする．勝者は相手の裏が出た硬貨をすべてもらう．なお，表が出た硬貨の合計金額が同じときは引き分けとし，硬貨のやりとりは行わない．このゲームについて，以下の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{A}$さんが$\mathrm{B}$さんに勝つ確率$p$，および引き分けとなる確率$q$をそれぞれ求めよ．
(2)ゲーム終了後に$\mathrm{A}$さんが持っている硬貨の合計金額の期待値$E$を求めよ．