「素数」について
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国立 富山大学 2012年 第2問$x>0$のとき，$\tan \theta =x$となる$\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲にただ1つ存在する．その$\theta$を$f(x)$と表すことにする．
(1)3以上の素数$p$に対して，$\displaystyle f \left( \frac{p}{k} \right)+f \left( \frac{p}{l} \right) = \frac{\pi}{4}$を満たす自然数の組$(k,\ l)$を求めよ．ただし，$k \leqq l$とする．
(2)自然数$m,\ n$について，$\displaystyle \sin \left\{ 2f \left( \frac{m}{n} \right) \right\}$を$m$と$n$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{m=1}^n \sin \left\{ 2f \left( \frac{m}{n} \right) \right\}$を求めよ．
(1)3以上の素数$p$に対して，$\displaystyle f \left( \frac{p}{k} \right)+f \left( \frac{p}{l} \right) = \frac{\pi}{4}$を満たす自然数の組$(k,\ l)$を求めよ．ただし，$k \leqq l$とする．
(2)自然数$m,\ n$について，$\displaystyle \sin \left\{ 2f \left( \frac{m}{n} \right) \right\}$を$m$と$n$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{m=1}^n \sin \left\{ 2f \left( \frac{m}{n} \right) \right\}$を求めよ．
私立 倉敷芸術科学大学 2012年 第4問$2$個のさいころを投げるとき，出る目の数の和が素数になる確率を求めよ．
私立 倉敷芸術科学大学 2012年 第4問$2$個のさいころを投げるとき，出る目の数の和が素数になる確率を求めよ．
私立 成城大学 2012年 第2問$x$が正の整数であるとき，$x^4+4$が素数となりうるかを調べる．$[ ]$に適当な式，または数値を入れよ．
$x^4+4$は，係数が実数の$2$つの$2$次式の積$([$*$]) \times ([$**$])$に因数分解することができる．$x$は正の整数であるから，$[$*$]$も$[$**$]$も，いずれも整数である．もし，$x^4+4$が素数であるとするならば，$[$*$]$と$[$**$]$のうち，いずれか小さい方が，$[ ]$でなければならない．これを解くと，$x=[ ]$であり，このとき，$x^4+4=[ ]$となり，確かに素数となる．
$x^4+4$は，係数が実数の$2$つの$2$次式の積$([$*$]) \times ([$**$])$に因数分解することができる．$x$は正の整数であるから，$[$*$]$も$[$**$]$も，いずれも整数である．もし，$x^4+4$が素数であるとするならば，$[$*$]$と$[$**$]$のうち，いずれか小さい方が，$[ ]$でなければならない．これを解くと，$x=[ ]$であり，このとき，$x^4+4=[ ]$となり，確かに素数となる．
私立 近畿大学 2012年 第1問自然数$n$に対して，$n$との最大公約数が$1$である自然数の個数を$f(n)$で表す．たとえば$6$以下の自然数で，$6$との最大公約数が$1$であるものは，$1$，$5$の$2$個であるから$f(6)=2$である．$f(1339)$について考える．$1339$の素因数分解を$1339=pq$（$p,\ q$は素数で$p<q$）とすると$p=[ア][イ]$，$q=[ウ][エ][オ]$となる．したがって，$1339$以下の自然数で$p$で割り切れるものの個数は$[カ][キ][ク]$，$q$で割り切れるものの個数は$[ケ][コ]$である．こうした考え方を用いると$f(1339)=\kakkofour{サ}{シ}{ス}{セ}$であることがわかる．同様に$f(10712)=\kakkofour{ソ}{タ}{チ}{ツ}$である．
私立 近畿大学 2012年 第1問自然数$n$に対して，$n$との最大公約数が$1$である自然数の個数を$f(n)$で表す．たとえば$6$以下の自然数で，$6$との最大公約数が$1$であるものは，$1$，$5$の$2$個であるから$f(6)=2$である．$f(1339)$について考える．$1339$の素因数分解を$1339=pq$（$p,\ q$は素数で$p<q$）とすると$p=[ア][イ]$，$q=[ウ][エ][オ]$となる．したがって，$1339$以下の自然数で$p$で割り切れるものの個数は$[カ][キ][ク]$，$q$で割り切れるものの個数は$[ケ][コ]$である．こうした考え方を用いると$f(1339)=\kakkofour{サ}{シ}{ス}{セ}$であることがわかる．同様に$f(10712)=\kakkofour{ソ}{タ}{チ}{ツ}$である．
私立 吉備国際大学 2012年 第1問次の（ \quad ）を埋めよ．
(1)$x^4-3x^2y^2+y^4$を因数分解すると$( ① )$となる．
(2)$1$個のサイコロを$5$回投げるとき，素数の目がちょうど$4$回出る確率は$( ② )$である．
(3)$x$の$2$次方程式$(a-3)x^2+2(a+3)x+a+5=0$が実数解をもつとき，定数$a$の値の範囲は$( ③ )$である．
(4)$360$の正の約数の個数は$( ④ )$，その総和は$( ⑤ )$．
(1)$x^4-3x^2y^2+y^4$を因数分解すると$( ① )$となる．
(2)$1$個のサイコロを$5$回投げるとき，素数の目がちょうど$4$回出る確率は$( ② )$である．
(3)$x$の$2$次方程式$(a-3)x^2+2(a+3)x+a+5=0$が実数解をもつとき，定数$a$の値の範囲は$( ③ )$である．
(4)$360$の正の約数の個数は$( ④ )$，その総和は$( ⑤ )$．
私立 大阪歯科大学 2012年 第2問サイコロを$3$個投げて出た目について，以下の確率を求めよ．
(1)出た目の積が素数となる確率．
(2)出た目の積が$3$の倍数となる確率．
(3)出た目の積が$4$の倍数となる確率．
(1)出た目の積が素数となる確率．
(2)出た目の積が$3$の倍数となる確率．
(3)出た目の積が$4$の倍数となる確率．
公立 大阪府立大学 2012年 第1問次の文章の[ ]に適する答えを記入せよ．\\
自然数28のすべての約数は1，2，4，7，14，28であり，その和は$1+2+4+7+14+28=56=2 \times 28$となり，28の2倍である．このように，自然数$m$で，そのすべての約数の和が$2m$となるような$m$を完全数よ呼ぶ．以下，$p,\ q$は相異なる素数を表すとする．$m=pq$の形の自然数で完全数となるものを探そう．$p,\ q$が相異なる素数であるから，$pq$の約数は，[ ]の4つであり，その和が$2pq$と等しいから，$\left( [ ] \right) \left( [ ] \right)=2$となる．$XY=2$となる自然数$X,\ Y$は$(X,\ Y)=(1,\ 2),\ (2,\ 1)$の二組しかないから，$p<q$とすると，$p=[ ],\ q=[ ]$となる．したがって，$pq$の形の完全数は[ ]のみということがわかる．
自然数28のすべての約数は1，2，4，7，14，28であり，その和は$1+2+4+7+14+28=56=2 \times 28$となり，28の2倍である．このように，自然数$m$で，そのすべての約数の和が$2m$となるような$m$を完全数よ呼ぶ．以下，$p,\ q$は相異なる素数を表すとする．$m=pq$の形の自然数で完全数となるものを探そう．$p,\ q$が相異なる素数であるから，$pq$の約数は，[ ]の4つであり，その和が$2pq$と等しいから，$\left( [ ] \right) \left( [ ] \right)=2$となる．$XY=2$となる自然数$X,\ Y$は$(X,\ Y)=(1,\ 2),\ (2,\ 1)$の二組しかないから，$p<q$とすると，$p=[ ],\ q=[ ]$となる．したがって，$pq$の形の完全数は[ ]のみということがわかる．
公立 奈良県立医科大学 2012年 第4問整数$m$が与えられたとき，$x$に関する整数係数の$2$つの整式$f(x)$，$g(x)$が関係式
\[ f(x) \equiv g(x) \pmod m \]
を満たすとは，等式$f(x)-g(x)=mh(x)$を満たすような整数係数の整式$h(x)$が存在することである．
(1)$f(x),\ g(x),\ F(x),\ G(x)$を整数係数の整式とする．もし，ある整数$m$について関係式$f(x) \equiv g(x) \pmod m$，かつ$F(x) \equiv G(x) \pmod m$が満たされるならば，関係式$f(x)+F(x) \equiv g(x)+G(x) \pmod m$，かつ$f(x)F(x) \equiv g(x)G(x) \pmod m$が満たされることを証明せよ．
(2)正整数$p (>1)$を素数とする．$p$より小さい任意の正整数$i$に対して二項係数$\comb{p}{i}$は$p$の倍数であることを証明せよ．
(3)正整数$p (>1)$を素数とする．任意の正整数$n$について，関係式
\[ (1+x)^{p^n} \equiv 1+x^{p^n} \pmod p \]
が満たされることを証明せよ．
(4)正整数$p (>1)$を素数とし，$n$を$2$以上の正整数とする．$n-1$個の二項係数$\comb{n}{i} (1 \leqq i \leqq n-1)$がすべて$p$の倍数であるための必要十分条件は，整数$n$が素数$p$の正べきである（すなわち，適当な正整数$k$を用いて$n=p^k$と表せる）ことを証明せよ．
\[ f(x) \equiv g(x) \pmod m \]
を満たすとは，等式$f(x)-g(x)=mh(x)$を満たすような整数係数の整式$h(x)$が存在することである．
(1)$f(x),\ g(x),\ F(x),\ G(x)$を整数係数の整式とする．もし，ある整数$m$について関係式$f(x) \equiv g(x) \pmod m$，かつ$F(x) \equiv G(x) \pmod m$が満たされるならば，関係式$f(x)+F(x) \equiv g(x)+G(x) \pmod m$，かつ$f(x)F(x) \equiv g(x)G(x) \pmod m$が満たされることを証明せよ．
(2)正整数$p (>1)$を素数とする．$p$より小さい任意の正整数$i$に対して二項係数$\comb{p}{i}$は$p$の倍数であることを証明せよ．
(3)正整数$p (>1)$を素数とする．任意の正整数$n$について，関係式
\[ (1+x)^{p^n} \equiv 1+x^{p^n} \pmod p \]
が満たされることを証明せよ．
(4)正整数$p (>1)$を素数とし，$n$を$2$以上の正整数とする．$n-1$個の二項係数$\comb{n}{i} (1 \leqq i \leqq n-1)$がすべて$p$の倍数であるための必要十分条件は，整数$n$が素数$p$の正べきである（すなわち，適当な正整数$k$を用いて$n=p^k$と表せる）ことを証明せよ．