「素因数分解」について
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国立 室蘭工業大学 2016年 第3問$a,\ b,\ c,\ m$を整数とする．
(1)$a-b$と$b-c$がともに$m$の倍数ならば，$a-c$も$m$の倍数であることを示せ．
(2)等式
\[ a^{n+1}-b^{n+1}=a^n(a-b)+b(a^n-b^n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を利用して，すべての自然数$n$に対して$a^n-b^n$は$a-b$の倍数であることを，数学的帰納法により示せ．
(3)$2016$を素因数分解せよ．また，$2^{2016}$を$127$で割った余りを求めよ．
(1)$a-b$と$b-c$がともに$m$の倍数ならば，$a-c$も$m$の倍数であることを示せ．
(2)等式
\[ a^{n+1}-b^{n+1}=a^n(a-b)+b(a^n-b^n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を利用して，すべての自然数$n$に対して$a^n-b^n$は$a-b$の倍数であることを，数学的帰納法により示せ．
(3)$2016$を素因数分解せよ．また，$2^{2016}$を$127$で割った余りを求めよ．
私立 北星学園大学 2016年 第1問次の条件を満たす正の整数の組$(x,\ y)$を考える．
$(ⅰ)$ $2x^2+2xy+2y^2=2016$
$(ⅱ)$ $x$は$2$の倍数，$y$は$3$の倍数である．
以下の問いに答えよ．
(1)$2016$を素因数分解せよ．
(2)正の整数$n$について，$n^2$が$3$で割り切れれば，$n$も$3$で割り切れる．理由を述べよ．
(3)条件$(ⅰ)$と$(ⅱ)$を満たす$x,\ y$はともに$6$の倍数である．理由を述べよ．
(4)条件$(ⅰ)$と$(ⅱ)$を満たす$(x,\ y)$をすべて求めよ．
$(ⅰ)$ $2x^2+2xy+2y^2=2016$
$(ⅱ)$ $x$は$2$の倍数，$y$は$3$の倍数である．
以下の問いに答えよ．
(1)$2016$を素因数分解せよ．
(2)正の整数$n$について，$n^2$が$3$で割り切れれば，$n$も$3$で割り切れる．理由を述べよ．
(3)条件$(ⅰ)$と$(ⅱ)$を満たす$x,\ y$はともに$6$の倍数である．理由を述べよ．
(4)条件$(ⅰ)$と$(ⅱ)$を満たす$(x,\ y)$をすべて求めよ．
私立 聖マリアンナ医科大学 2016年 第2問数列$\{a_n\}$は等差数列で，初項と公差はともに正の整数$a$である．以下の$[ ]$にあてはまる適切な数，または式を記入しなさい．
(1)この数列の一般項は，$a_n=[ ]$となる．ここで，$a_{k-4}a_{k-1}a_k a_{k+1}$を$a,\ k$を用いた式で表すと$[ ]$となる．
(2)この数列が，ある番号$k (k \geqq 5)$について$a_{k-4}a_{k-1}a_k a_{k+1}=2016$を満たしているとする．
(i) $2016$を素因数分解すると$[ ]$となる．これを用いて，$a,\ k$を求めると，$(a,\ k)=([ ],\ [ ])$となる．
(ii) この数列の連続した$3$項$a_t,\ a_{t+1},\ a_{t+2}$が
\[ {a_t}^3+{a_{t+1}}^3={a_{t+2}}^3-2 \]
を満たすとき，$a_{t+1}$の値は$[ ]$である．
(iii) この数列の連続した$11$項$a_s,\ a_{s+1},\ \cdots,\ a_{s+10}$が
\[ {a_{s}}^2+{a_{s+1}}^2+{a_{s+2}}^2+{a_{s+3}}^2+{a_{s+4}}^2+{a_{s+5}}^2={a_{s+6}}^2+{a_{s+7}}^2+{a_{s+8}}^2+{a_{s+9}}^2+{a_{s+10}}^2 \]
を満たすとき，$a_{s+5}$の値は$[ ]$である．
(1)この数列の一般項は，$a_n=[ ]$となる．ここで，$a_{k-4}a_{k-1}a_k a_{k+1}$を$a,\ k$を用いた式で表すと$[ ]$となる．
(2)この数列が，ある番号$k (k \geqq 5)$について$a_{k-4}a_{k-1}a_k a_{k+1}=2016$を満たしているとする．
(i) $2016$を素因数分解すると$[ ]$となる．これを用いて，$a,\ k$を求めると，$(a,\ k)=([ ],\ [ ])$となる．
(ii) この数列の連続した$3$項$a_t,\ a_{t+1},\ a_{t+2}$が
\[ {a_t}^3+{a_{t+1}}^3={a_{t+2}}^3-2 \]
を満たすとき，$a_{t+1}$の値は$[ ]$である．
(iii) この数列の連続した$11$項$a_s,\ a_{s+1},\ \cdots,\ a_{s+10}$が
\[ {a_{s}}^2+{a_{s+1}}^2+{a_{s+2}}^2+{a_{s+3}}^2+{a_{s+4}}^2+{a_{s+5}}^2={a_{s+6}}^2+{a_{s+7}}^2+{a_{s+8}}^2+{a_{s+9}}^2+{a_{s+10}}^2 \]
を満たすとき，$a_{s+5}$の値は$[ ]$である．
公立 和歌山県立医科大学 2016年 第3問自然数の数列$\{a_n\}$を次のように定める．
\[ a_1=1,\quad a_2=1,\quad a_{n+2}=a_{n+1}+6a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
次の問いに答えよ．
(1)自然数$n$に対し，$a_{n+2}-pa_{n+1}=q(a_{n+1}-pa_n)$をみたすような数$p,\ q$を求めることにより，数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(2)自然数$m,\ n$に対し，$a_{m+n+1}=a_{m+1}a_{n+1}+6a_ma_n$が成り立つことを証明せよ．
(3)自然数$m,\ n$に対し，$m$が$n$で割り切れるとき，$a_m$は$a_n$で割り切れることを証明せよ．
(4)$a_{12}$を素因数分解せよ．
\[ a_1=1,\quad a_2=1,\quad a_{n+2}=a_{n+1}+6a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
次の問いに答えよ．
(1)自然数$n$に対し，$a_{n+2}-pa_{n+1}=q(a_{n+1}-pa_n)$をみたすような数$p,\ q$を求めることにより，数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(2)自然数$m,\ n$に対し，$a_{m+n+1}=a_{m+1}a_{n+1}+6a_ma_n$が成り立つことを証明せよ．
(3)自然数$m,\ n$に対し，$m$が$n$で割り切れるとき，$a_m$は$a_n$で割り切れることを証明せよ．
(4)$a_{12}$を素因数分解せよ．
私立 大阪歯科大学 2015年 第1問次の各問の$[ ]$にあてはまる数を入れなさい．
(1)$2015$を素因数分解したとき，最も大きい因子は$[ア]$である．
(2)一般項が$a_{n+1}=2a_n+a_{n-1}$（ただし，$a_0=1$，$a_1=1$）で表される数列の第$5$項は$[イ]$である．
(3)$\cos 2x-3 \cos x-1=0 (0 \leqq x<\pi)$の解は$[ウ]$である．
(4)$\log_2 (x-2)=\log_4 (-2x+a)$が解を持つ最小の整数$a$は$[エ]$である．
(1)$2015$を素因数分解したとき，最も大きい因子は$[ア]$である．
(2)一般項が$a_{n+1}=2a_n+a_{n-1}$（ただし，$a_0=1$，$a_1=1$）で表される数列の第$5$項は$[イ]$である．
(3)$\cos 2x-3 \cos x-1=0 (0 \leqq x<\pi)$の解は$[ウ]$である．
(4)$\log_2 (x-2)=\log_4 (-2x+a)$が解を持つ最小の整数$a$は$[エ]$である．
私立 同志社大学 2013年 第1問次の$[ ]$に適する数または式を記入せよ．
(1)$a,\ b$を定数とする．座標平面において，$x^2+y^2+ax+by=0$は中心を点$([ ],\ [ ])$とする半径$[ ]$の円の方程式である．サイコロを$2$度投げ，最初に出た目を$a$とし，次に出た目を$b$とする．この円の内部の面積が$4 \pi$以下である確率は$[ ]$である．また，この円が直線$x+y=a-b$と異なる$2$点で交わる確率は$[ ]$である．
(2)$2013$を素因数分解すると$[ ]$である．$x=[ ]$，$y=0$は，方程式$11x+25y=2013$をみたす．$x,\ y$を共に$0$以上の整数とするとき，方程式$11x+25y=2013$をみたす$(x,\ y)$の組は全部で$[ ]$組あり，それらの中で$x^2+y^2$の値が最大になるのは$x=[ ]$，$y=[ ]$のときである．
(1)$a,\ b$を定数とする．座標平面において，$x^2+y^2+ax+by=0$は中心を点$([ ],\ [ ])$とする半径$[ ]$の円の方程式である．サイコロを$2$度投げ，最初に出た目を$a$とし，次に出た目を$b$とする．この円の内部の面積が$4 \pi$以下である確率は$[ ]$である．また，この円が直線$x+y=a-b$と異なる$2$点で交わる確率は$[ ]$である．
(2)$2013$を素因数分解すると$[ ]$である．$x=[ ]$，$y=0$は，方程式$11x+25y=2013$をみたす．$x,\ y$を共に$0$以上の整数とするとき，方程式$11x+25y=2013$をみたす$(x,\ y)$の組は全部で$[ ]$組あり，それらの中で$x^2+y^2$の値が最大になるのは$x=[ ]$，$y=[ ]$のときである．
私立 近畿大学 2012年 第1問自然数$n$に対して，$n$との最大公約数が$1$である自然数の個数を$f(n)$で表す．たとえば$6$以下の自然数で，$6$との最大公約数が$1$であるものは，$1$，$5$の$2$個であるから$f(6)=2$である．$f(1339)$について考える．$1339$の素因数分解を$1339=pq$（$p,\ q$は素数で$p<q$）とすると$p=[ア][イ]$，$q=[ウ][エ][オ]$となる．したがって，$1339$以下の自然数で$p$で割り切れるものの個数は$[カ][キ][ク]$，$q$で割り切れるものの個数は$[ケ][コ]$である．こうした考え方を用いると$f(1339)=\kakkofour{サ}{シ}{ス}{セ}$であることがわかる．同様に$f(10712)=\kakkofour{ソ}{タ}{チ}{ツ}$である．
私立 近畿大学 2012年 第1問自然数$n$に対して，$n$との最大公約数が$1$である自然数の個数を$f(n)$で表す．たとえば$6$以下の自然数で，$6$との最大公約数が$1$であるものは，$1$，$5$の$2$個であるから$f(6)=2$である．$f(1339)$について考える．$1339$の素因数分解を$1339=pq$（$p,\ q$は素数で$p<q$）とすると$p=[ア][イ]$，$q=[ウ][エ][オ]$となる．したがって，$1339$以下の自然数で$p$で割り切れるものの個数は$[カ][キ][ク]$，$q$で割り切れるものの個数は$[ケ][コ]$である．こうした考え方を用いると$f(1339)=\kakkofour{サ}{シ}{ス}{セ}$であることがわかる．同様に$f(10712)=\kakkofour{ソ}{タ}{チ}{ツ}$である．
私立 倉敷芸術科学大学 2011年 第4問自然数$1200$について，次の設問に答えよ．
(1)素因数分解せよ．
(2)正の約数の個数を求めよ．
(3)正の約数の総和を求めよ．
(1)素因数分解せよ．
(2)正の約数の個数を求めよ．
(3)正の約数の総和を求めよ．
私立 倉敷芸術科学大学 2011年 第4問自然数$1200$について，次の設問に答えよ．
(1)素因数分解せよ．
(2)正の約数の個数を求めよ．
(3)正の約数の総和を求めよ．
(1)素因数分解せよ．
(2)正の約数の個数を求めよ．
(3)正の約数の総和を求めよ．