タグ「素因数分解」の検索結果

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室蘭工業大学 国立 室蘭工業大学 2016年 第3問
$a,\ b,\ c,\ m$を整数とする.

(1)$a-b$と$b-c$がともに$m$の倍数ならば,$a-c$も$m$の倍数であることを示せ.
(2)等式
\[ a^{n+1}-b^{n+1}=a^n(a-b)+b(a^n-b^n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を利用して,すべての自然数$n$に対して$a^n-b^n$は$a-b$の倍数であることを,数学的帰納法により示せ.
(3)$2016$を素因数分解せよ.また,$2^{2016}$を$127$で割った余りを求めよ.
北星学園大学 私立 北星学園大学 2016年 第1問
次の条件を満たす正の整数の組$(x,\ y)$を考える.

$(ⅰ)$ $2x^2+2xy+2y^2=2016$
$(ⅱ)$ $x$は$2$の倍数,$y$は$3$の倍数である.

以下の問いに答えよ.

(1)$2016$を素因数分解せよ.
(2)正の整数$n$について,$n^2$が$3$で割り切れれば,$n$も$3$で割り切れる.理由を述べよ.
(3)条件$(ⅰ)$と$(ⅱ)$を満たす$x,\ y$はともに$6$の倍数である.理由を述べよ.
(4)条件$(ⅰ)$と$(ⅱ)$を満たす$(x,\ y)$をすべて求めよ.
聖マリアンナ医科大学 私立 聖マリアンナ医科大学 2016年 第2問
数列$\{a_n\}$は等差数列で,初項と公差はともに正の整数$a$である.以下の$[ ]$にあてはまる適切な数,または式を記入しなさい.

(1)この数列の一般項は,$a_n=[ ]$となる.ここで,$a_{k-4}a_{k-1}a_k a_{k+1}$を$a,\ k$を用いた式で表すと$[ ]$となる.
(2)この数列が,ある番号$k (k \geqq 5)$について$a_{k-4}a_{k-1}a_k a_{k+1}=2016$を満たしているとする.

(i) $2016$を素因数分解すると$[ ]$となる.これを用いて,$a,\ k$を求めると,$(a,\ k)=([ ],\ [ ])$となる.
(ii) この数列の連続した$3$項$a_t,\ a_{t+1},\ a_{t+2}$が
\[ {a_t}^3+{a_{t+1}}^3={a_{t+2}}^3-2 \]
を満たすとき,$a_{t+1}$の値は$[ ]$である.
(iii) この数列の連続した$11$項$a_s,\ a_{s+1},\ \cdots,\ a_{s+10}$が
\[ {a_{s}}^2+{a_{s+1}}^2+{a_{s+2}}^2+{a_{s+3}}^2+{a_{s+4}}^2+{a_{s+5}}^2={a_{s+6}}^2+{a_{s+7}}^2+{a_{s+8}}^2+{a_{s+9}}^2+{a_{s+10}}^2 \]
を満たすとき,$a_{s+5}$の値は$[ ]$である.
和歌山県立医科大学 公立 和歌山県立医科大学 2016年 第3問
自然数の数列$\{a_n\}$を次のように定める.
\[ a_1=1,\quad a_2=1,\quad a_{n+2}=a_{n+1}+6a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
次の問いに答えよ.

(1)自然数$n$に対し,$a_{n+2}-pa_{n+1}=q(a_{n+1}-pa_n)$をみたすような数$p,\ q$を求めることにより,数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ.
(2)自然数$m,\ n$に対し,$a_{m+n+1}=a_{m+1}a_{n+1}+6a_ma_n$が成り立つことを証明せよ.
(3)自然数$m,\ n$に対し,$m$が$n$で割り切れるとき,$a_m$は$a_n$で割り切れることを証明せよ.
(4)$a_{12}$を素因数分解せよ.
大阪歯科大学 私立 大阪歯科大学 2015年 第1問
次の各問の$[ ]$にあてはまる数を入れなさい.

(1)$2015$を素因数分解したとき,最も大きい因子は$[ア]$である.
(2)一般項が$a_{n+1}=2a_n+a_{n-1}$(ただし,$a_0=1$,$a_1=1$)で表される数列の第$5$項は$[イ]$である.
(3)$\cos 2x-3 \cos x-1=0 (0 \leqq x<\pi)$の解は$[ウ]$である.
(4)$\log_2 (x-2)=\log_4 (-2x+a)$が解を持つ最小の整数$a$は$[エ]$である.
同志社大学 私立 同志社大学 2013年 第1問
次の$[ ]$に適する数または式を記入せよ.

(1)$a,\ b$を定数とする.座標平面において,$x^2+y^2+ax+by=0$は中心を点$([ ],\ [ ])$とする半径$[ ]$の円の方程式である.サイコロを$2$度投げ,最初に出た目を$a$とし,次に出た目を$b$とする.この円の内部の面積が$4 \pi$以下である確率は$[ ]$である.また,この円が直線$x+y=a-b$と異なる$2$点で交わる確率は$[ ]$である.
(2)$2013$を素因数分解すると$[ ]$である.$x=[ ]$,$y=0$は,方程式$11x+25y=2013$をみたす.$x,\ y$を共に$0$以上の整数とするとき,方程式$11x+25y=2013$をみたす$(x,\ y)$の組は全部で$[ ]$組あり,それらの中で$x^2+y^2$の値が最大になるのは$x=[ ]$,$y=[ ]$のときである.
近畿大学 私立 近畿大学 2012年 第1問
自然数$n$に対して,$n$との最大公約数が$1$である自然数の個数を$f(n)$で表す.たとえば$6$以下の自然数で,$6$との最大公約数が$1$であるものは,$1$,$5$の$2$個であるから$f(6)=2$である.$f(1339)$について考える.$1339$の素因数分解を$1339=pq$($p,\ q$は素数で$p<q$)とすると$p=[ア][イ]$,$q=[ウ][エ][オ]$となる.したがって,$1339$以下の自然数で$p$で割り切れるものの個数は$[カ][キ][ク]$,$q$で割り切れるものの個数は$[ケ][コ]$である.こうした考え方を用いると$f(1339)=\kakkofour{サ}{シ}{ス}{セ}$であることがわかる.同様に$f(10712)=\kakkofour{ソ}{タ}{チ}{ツ}$である.
近畿大学 私立 近畿大学 2012年 第1問
自然数$n$に対して,$n$との最大公約数が$1$である自然数の個数を$f(n)$で表す.たとえば$6$以下の自然数で,$6$との最大公約数が$1$であるものは,$1$,$5$の$2$個であるから$f(6)=2$である.$f(1339)$について考える.$1339$の素因数分解を$1339=pq$($p,\ q$は素数で$p<q$)とすると$p=[ア][イ]$,$q=[ウ][エ][オ]$となる.したがって,$1339$以下の自然数で$p$で割り切れるものの個数は$[カ][キ][ク]$,$q$で割り切れるものの個数は$[ケ][コ]$である.こうした考え方を用いると$f(1339)=\kakkofour{サ}{シ}{ス}{セ}$であることがわかる.同様に$f(10712)=\kakkofour{ソ}{タ}{チ}{ツ}$である.
倉敷芸術科学大学 私立 倉敷芸術科学大学 2011年 第4問
自然数$1200$について,次の設問に答えよ.

(1)素因数分解せよ.
(2)正の約数の個数を求めよ.
(3)正の約数の総和を求めよ.
倉敷芸術科学大学 私立 倉敷芸術科学大学 2011年 第4問
自然数$1200$について,次の設問に答えよ.

(1)素因数分解せよ.
(2)正の約数の個数を求めよ.
(3)正の約数の総和を求めよ.
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「素因数分解」とは・・・

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