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小樽商科大学 国立 小樽商科大学 2016年 第3問
次の$[ ]$の中を適当に補え.

(1)$\displaystyle \frac{5561}{6059}$をこれ以上約分できない分数に直すと$[ ]$.
(2)次の漸化式で定められる数列$\{a_n\}$を考える.
\[ a_1=2,\quad a_{n+1}=(a_n+n)(a_n-n) \]
このとき,$\displaystyle \sum_{k=1}^5 a_k$を求めると$[ ]$.
(3)数直線上で,点$\mathrm{P}$の出発点を原点$\mathrm{O}$とし,サイコロを投げたとき,出た目に応じて,次の規則で点$\mathrm{P}$を動かすものとする.
\begin{itemize}
出た目が$1$または$2$のとき,点$\mathrm{P}$を正の方向へ$1$だけ動かす.
出た目が$3$または$4$のとき,点$\mathrm{P}$を負の方向へ$1$だけ動かす.
出た目が$5$または$6$のとき,点$\mathrm{P}$を原点$\mathrm{O}$に戻す.
\end{itemize}
サイコロを$3$回投げたとき,点$\mathrm{P}$が原点$\mathrm{O}$にいる確率は$[ ]$.
大阪工業大学 私立 大阪工業大学 2016年 第3問
次の空所を埋めよ.

(1)$\log_{10}2=A$,$\log_{10}3=B$とするとき,$\log_{10}6$,$\log_{10}5$の値をそれぞれ$A,\ B$を用いて表すと,$\log_{10}6=[ア]$,$\log_{10}5=[イ]$である.
また,$\log_{10}{(0.6)}^{50}=50(\log_{10}6-[ウ])$であるから,${0.6}^{50}$は小数第$[エ]$位にはじめて$0$でない数字が現れる.ただし,$\log_{10}6=0.7782$を用いてもよい.
(2)$m,\ n$を正の整数として,分数$\displaystyle \frac{n}{m}$がこれ以上約分できないとき,すなわち,$m,\ n$が互いに素であるとき,$\displaystyle \frac{n}{m}$を既約分数とよぶ.$10$を分母とする既約分数で,値が$0$より大きく,$1$より小さいものは$[オ]$個あり,それらの総和は$[カ]$である.
また,$62$を分母とする既約分数で,値が$0$より大きく,$1$より小さいものの総和は$[キ]$である.
山口東京理科大学 私立 山口東京理科大学 2015年 第5問
式$\displaystyle \frac{(2xy^2)^3}{(5x^3y)^2}$を約分して簡単にすると,$\displaystyle \frac{[ニ]y^{\mkakko{ヌ}}}{[ネ][ノ]x^{\mkakko{ハ}}}$となる.
昭和大学 私立 昭和大学 2014年 第2問
次の問いに答えよ.

(1)分母が$60$で,分子が$59$以下の自然数である分数$\displaystyle \frac{1}{60},\ \frac{2}{60},\ \frac{3}{60},\ \cdots,\ \frac{59}{60}$の中でこれ以上約分できない分数(既約分数)は何個あるか.
(2)$3$つのさいころを同時に投げ,出た目の最大値を$m$とするとき,$m=5$となる確率を求めよ.ただし,$3$つのさいころのすべての目の出方は同様に確からしいものとする.
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において,辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}$,線分$\mathrm{AD}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{E}$とする.直線$\mathrm{BE}$と辺$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{F}$とする.このとき,$\mathrm{AF}:\mathrm{FC}$を求めよ.
(4)$108$の正の約数の総和を求めよ.
昭和大学 私立 昭和大学 2014年 第2問
次の問いに答えよ.

(1)分母が$60$で,分子が$59$以下の自然数である分数$\displaystyle \frac{1}{60},\ \frac{2}{60},\ \frac{3}{60},\ \cdots,\ \frac{59}{60}$の中でこれ以上約分できない分数(既約分数)は何個あるか.
(2)$3$つのさいころを同時に投げ,出た目の最大値を$m$とするとき,$m=5$となる確率を求めよ.ただし,$3$つのさいころのすべての目の出方は同様に確からしいものとする.
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において,辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}$,線分$\mathrm{AD}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{E}$とする.直線$\mathrm{BE}$と辺$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{F}$とする.このとき,$\mathrm{AF}:\mathrm{FC}$を求めよ.
(4)$108$の正の約数の総和を求めよ.
横浜市立大学 公立 横浜市立大学 2012年 第1問
以下の問いに答えよ.

(1)$a$を正の定数として,関数$f(x)$を$f(x)=\log (\sqrt{a^2+x^2}-x)$とおく.$f(x)$を微分して,多項式
\[ f(0)+f^\prime(0)x+\frac{f^{\prime\prime}(0)}{2!}x^2+\frac{f^{\prime\prime\prime}(0)}{3!}x^3 \]
を求めよ.
(2)座標平面において,曲線$\displaystyle C:y=\sin x \left( 0<x<\frac{\pi}{2} \right)$上の点$\mathrm{P}(a,\ \sin a)$における$C$の法線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{Q}$とする.線分$\mathrm{PQ}$を直径とする円が,$x$軸と交わる$\mathrm{Q}$以外の点を$\mathrm{R}$とする.このとき,三角形$\mathrm{PQR}$の面積$S(a)$を求めよ.次に,$a$が動くとき,$S(a)$の最大値を求めよ.
(図は省略)
(3)数列$\{a_n\}$
\[ 1,\ \frac{1}{2},\ \frac{2}{1},\ \frac{1}{3},\ \frac{2}{2},\ \frac{3}{1},\ \frac{1}{4},\ \frac{2}{3},\ \frac{3}{2},\ \frac{4}{1},\ \cdots \]
を次のような群に分け,第$m$群には$m$個の数が入るようにする.
$\displaystyle \sitabrace{\frac{1}{1}}_{第1群} \ \bigg| \ \sitabrace{\frac{1}{2},\ \frac{2}{1}}_{第2群} \ \bigg| \ \sitabrace{\frac{1}{3},\ \frac{2}{2},\ \frac{3}{1}}_{第3群} \ \bigg| \ \sitabrace{\frac{1}{4},\ \frac{2}{3},\ \frac{3}{2},\ \frac{4}{1}}_{第4群} \ \bigg| \ ,\ \cdots ,\ $

$\displaystyle \bigg| \ \sitabrace{\frac{1}{m},\ \frac{2}{m-1},\ \cdots ,\ \frac{m-1}{2},\ \frac{m}{1}}_{第m群} \ \bigg| \ ,\ \cdots$
このとき,数列$\{a_n\}$において,$\displaystyle \frac{q}{p}$は第何項か.ただし,$\displaystyle \frac{q}{p}$は,例えば$\displaystyle \frac{2}{4}=\frac{1}{2}$のように,約分しないものとする.次に,第$100$項$a_{100}$を求めよ.
(4)$2$次の正方行列$A$が
\[ A \left( \begin{array}{c}
3 \\
2
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
1 \\
1
\end{array} \right),\quad A \left( \begin{array}{c}
1 \\
1
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
3 \\
2
\end{array} \right) \]
をみたすとする.このとき,自然数$n$に対して$A^n \left( \begin{array}{c}
5 \\
3
\end{array} \right)$を求めよ.
(5)$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$,$\mathrm{BC}$の長さが$1$,$\angle \mathrm{A}$が$\displaystyle \frac{\pi}{5}$の二等辺三角形$\mathrm{ABC}$を考える.頂点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$から$\angle \mathrm{A}$,$\angle \mathrm{B}$,$\angle \mathrm{C}$の二等分線を引き,対応する辺との交点を,それぞれ$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$とする.このとき,三角関数の値
\[ \sin \left( \frac{\pi}{10} \right) \]
を求めよ.
(図は省略)
南山大学 私立 南山大学 2010年 第1問
$[ ]$の中に答を入れよ.

(1)分数式$\displaystyle \frac{x^3+2x^2+4x-7}{x^2+2x-3}$を約分して既約分数にすると$[ア]$である.また,等式$ax(x-1)+b(x-1)(x-2)+c(x-3)=3x^2+2x+1$が$x$についての恒等式となるように$a,\ b,\ c$の値を定めると,$(a,\ b,\ c)=[イ]$である.
(2)$3^{30}$の桁数を求めると$[ウ]$である.また,$\displaystyle \left( \frac{1}{9} \right)^{40}$を小数で表すと小数第$n$位に初めて$0$でない数が現れ,$n=[エ]$である.ただし,$\log_{10}3=0.4771$とする.
(3)$2$次関数$f(x)=ax^2+bx+c$は$x=1$で最小値$-1$をとる.$f(x)=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とするとき,$\alpha^4+\beta^4$を$a$で表すと$\alpha^4+\beta^4=[オ]$である.また,$\alpha^4+\beta^4>6$を満たす$a$の値の範囲を求めると$[カ]$である.
(4)$a \geqq 0$とする.$2$点$\mathrm{A}(0,\ 0)$,$\mathrm{B}(a,\ 3)$からの距離の比が$2:1$である点$\mathrm{P}$の描く図形の方程式は$[キ]$である.また,この図形が直線$y=x+2$と$2$つの共有点$\mathrm{C}$,$\mathrm{D}$をもち,線分$\mathrm{CD}$の長さが$2 \sqrt{2}$であるとき,$a$の値を求めると$a=[ク]$である.
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