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三重大学 国立 三重大学 2016年 第5問
$a$を正の実数とし,曲線$y=x^3$を$C_1$,曲線$\displaystyle y=\frac{9}{8}ax^2$を$C_2$とする.また,$C_1$と$C_2$の共通接線で$C_1$と$2$点を共有するものを$\ell$とする.

(1)直線$\ell$の方程式を求めよ.
(2)$C_1$と$\ell$が囲む図形の面積$S$を求めよ.
(3)$C_2$と$\ell$の接点の$x$座標$p$を求めよ.さらに$\displaystyle I=\int_0^p \left( \frac{9}{8}ax^2-x^3 \right) \, dx$とするとき,比$S:I$を最も簡単な整数比で表せ.
広島国際学院大学 私立 広島国際学院大学 2016年 第4問
以下の問いに答えなさい.

(1)次の式を簡単にしなさい.
\[ \frac{1}{1-\displaystyle\frac{1}{1+x}} \]
(2)次の不定積分を計算しなさい.
\[ \int (2x^3-x) \, dx \]
天使大学 私立 天使大学 2016年 第1問
次の問いに答えなさい.

(1)次の式を展開しなさい.

$(x+y)(x^2+xy+y^2)(x-y)^2(x^2+y^2)$
$=\mkakko{$\mathrm{a}$}x^7+\mkakko{$\mathrm{b}$} \mkakko{$\mathrm{c}$}x^4y^3+\mkakko{$\mathrm{d}$} \mkakko{$\mathrm{e}$}x^3y^4+\mkakko{$\mathrm{f}$}y^7$

(2)$360$の正の約数の個数とその総和を求めなさい.

約数の個数は$\mkakko{$\mathrm{g}$} \mkakko{$\mathrm{h}$}$個,約数の総和は$\mkakko{$\mathrm{i}$} \mkakko{$\mathrm{j}$} \mkakko{$\mathrm{k}$} \mkakko{$\mathrm{l}$}$である.

(3)実数$x$と$y$が$x<0<y$を満たすとき,次の式を簡単にしなさい.

$\sqrt{x^2-4xy+4y^2}+|3x-5y|=\mkakko{$\mathrm{m}$} \mkakko{$\mathrm{n}$}x+\mkakko{$\mathrm{o}$}y$

(4)$2,\ 3,\ A,\ 6,\ B$という値からなるデータがある.平均値が$5$,分散の値が$6$であるとき$A$と$B$の値を求めなさい.

$(A,\ B)=(\mkakko{$\mathrm{p}$},\ \mkakko{$\mathrm{q}$})$または$(\mkakko{$\mathrm{r}$},\ \mkakko{$\mathrm{s}$})$.ただし$\mkakko{$\mathrm{p}$}<\mkakko{$\mathrm{r}$}$である.
横浜市立大学 公立 横浜市立大学 2016年 第1問
以下の問いに答えよ.

(1)ある大学で$N$人の学生が数学を受験した.その得点を$x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_N$とする.平均値$\overline{x}$および分散$s^2$は各々

$\displaystyle \overline{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots +x_N}{N}$
$\displaystyle s^2=\frac{(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\cdots +(x_N-\overline{x})^2}{N}$

で与えられる.標準偏差$s (>0)$は
\[ s=\sqrt{s^2} \]
となる.このとき$x$点を取った学生の{\bf 偏差値}は
\[ t=50+10 \times \frac{x-\overline{x}}{s} \]
で与えられる($x \in \{x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_N\}$).偏差値は{\bf 無単位}であることに注意せよ.
$\mathrm{Y}$大学で$N=3n$人の学生が数学を受験し,たまたま$2n$人の学生が$a$点,残りの$n$人の学生が$b$点を取ったとしよう.簡単にするために$a<b$とする.$a$点を取った学生および$b$点を取った学生の偏差値を求めよ.
(2)方程式
\[ x^2-3y^2=13 \]
の整数解を求める.簡単にするために$x>0,\ y>0$とする.まず
\[ X=ax+by,\quad Y=cx+dy \]
とおく.$a,\ b,\ c,\ d$を自然数として,$(X,\ Y)$が再び方程式
\[ X^2-3Y^2=13 \]
を満たすための組$(a,\ b,\ c,\ d)$を$1$つ求めよ.
次に,解の組$(x,\ y)$で$x>500$となる$(x,\ y)$を$1$つ求めよ.
(3)$n$を自然数とする.漸化式

$a_{n+2}-5a_{n+1}+6a_n-6n=0$
$a_1=1,\ a_2=1$

で定められる数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ.
(4)$n$を$0$以上の整数とする.以下の不定積分を求めよ.
\[ \int \left\{ -\frac{(\log x)^n}{x^2} \right\} \, dx=\sum_{k=0}^n [ ] \]
ただし,積分定数は書かなくてよい.
横浜市立大学 公立 横浜市立大学 2016年 第2問
$n$枚のカードの表(おもて)面に相異なる整数値が書かれている.ただし,どのような数値が書かれているのかはあらかじめわかっていない.

はじめにすべてのカードが裏返しでおかれている.ここから$1$枚ずつ好きなカードをめくっていき,書かれている数値が$n$枚のカードの中で最大だと思ったらめくるのをやめる$1$人ゲームを考える.$n$枚のカードをすべてめくり終えてしまった場合,次にめくるカードがないのでゲームは終了である.
ゲームの勝敗は,最後にめくったカードに書かれていた数値が$n$枚のカードの中で最大であれば勝ち,そうでなければ負けとする.
$n$未満の自然数$k$について以下の戦略$S_k$を考える:
はじめの$k$枚までは必ずめくり,その$k$枚に書かれていた数値のうち最大のものを$M$とする.$k+1$枚目以降で$M$より大きな数が書かれたカードをめくったら,ただちにめくるのをやめる.

戦略$S_k$にしたがった場合に,このゲームに勝つ確率を$P_{n,k}$とする.以下の問いに答えよ.

(1)$P_{3,1}$を求めよ.
(2)$i$を$k+1$以上,$n$以下の整数とする.戦略$S_k$にしたがった場合に,ちょうど$i$枚のカードをめくって勝つ確率を求めよ.
(3)$n$が十分に大きいとき,戦略$S_k$を使ってどのくらい勝つことが出来るのかを考えてみよう.$n$に対してどのくらいの$k$を用いるかによって勝てる確率は変わる.簡単にするため,$n=3p$の場合を考える.ただし,$p$は自然数である.このとき$k=p$として,極限値
\[ \lim_{p \to \infty} P_{n,k} \]
を求めよ.
岩手大学 国立 岩手大学 2015年 第2問
座標平面上に$2$点$\mathrm{A}(3,\ 2)$,$\mathrm{B}(1,\ 3)$をとる.$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$を通る直線を$\ell$とし,$\ell$と$x$軸との交点を$\mathrm{X}$,$\ell$と$y$軸との交点を$\mathrm{Y}$とする.このとき,以下の問いに答えよ.

(1)$\ell$の方程式を求めよ.
(2)$\mathrm{AX}:\mathrm{AY}$をできるだけ簡単な整数比で表せ.
(3)$\mathrm{PX}:\mathrm{PY}=\mathrm{AX}:\mathrm{AY}$を満たすような点$\mathrm{P}(x,\ y)$の軌跡の方程式を求めよ.
(4)点$\mathrm{P}(x,\ y)$が,$(3)$で求めた軌跡上を動くとき,$2x+y$の最大値および最小値を求めよ.
北海道薬科大学 私立 北海道薬科大学 2015年 第1問
次の各設問に答えよ.

(1)循環小数の差$3. \dot{7} 4 \dot{5}-3. \dot{4}4 \dot{9}$を分数で表すと$\displaystyle \frac{[ア]}{[イウ]}$である.
(2)$\displaystyle \left( \frac{1}{2-\sqrt{3}} \right)^2$の小数部分は$x^2+[エオ]x+[カキク]=0$の解である.
(3)$\displaystyle \log_9 \frac{45}{7}+\log_3 \sqrt{10.5}+\log_9 3.6$を簡単にすると$\displaystyle \frac{[ケ]}{[コ]}$となる.
(4)${16}^x-3 \cdot 2^{2x+1}-16=0$を満たす$x$の値は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シ]}$である.
神戸薬科大学 私立 神戸薬科大学 2015年 第6問
$x>2$のとき$\sqrt{x^2-4x+4}-\sqrt{x^2+2x+1}$を簡単にすると$[チ]$であり,$-1<x<2$のとき$[ツ]$である.
山口東京理科大学 私立 山口東京理科大学 2015年 第5問
式$\displaystyle \frac{(2xy^2)^3}{(5x^3y)^2}$を約分して簡単にすると,$\displaystyle \frac{[ニ]y^{\mkakko{ヌ}}}{[ネ][ノ]x^{\mkakko{ハ}}}$となる.
天使大学 私立 天使大学 2015年 第5問
$\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{AB}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{R}$とし,辺$\mathrm{AC}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする.さらに,線分$\mathrm{BQ}$と線分$\mathrm{CR}$の交点を$\mathrm{O}$とし,直線$\mathrm{AO}$と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{P}$とする.次の問いに答えなさい.

(1)長さの比$\mathrm{BP}:\mathrm{PC}$を最も簡単な正の整数の比で表しなさい.
\[ \mathrm{BP}:\mathrm{PC}=\mkakko{$\mathrm{a}$}:\mkakko{$\mathrm{b}$} \]
(2)長さの比$\mathrm{PO}:\mathrm{OA}$を最も簡単な正の整数の比で表しなさい.
\[ \mathrm{PO}:\mathrm{OA}=\mkakko{$\mathrm{c}$}:\mkakko{$\mathrm{d}$} \]
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{OBC}$の面積を,それぞれ$S_1$と$S_2$とおく.面積の比$S_1:S_2$を最も簡単な正の整数の比で表しなさい.
\[ S_1:S_2=\mkakko{$\mathrm{e}$} \mkakko{$\mathrm{f}$}:\mkakko{$\mathrm{g}$} \]
(4)$\triangle \mathrm{OBP}$の面積を,$S_3$とおく.面積の比$S_1:S_3$を最も簡単な正の整数の比で表しなさい.
\[ S_1:S_3=\mkakko{$\mathrm{h}$} \mkakko{$\mathrm{i}$}:\mkakko{$\mathrm{j}$} \]
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