次の空欄ア～サに当てはまる数または式を記入せよ．

(1)$\displaystyle x=\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+1},\ y=\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1}$のとき，$x^3+y^3$の値は$[ア]$である．
(2)互いに異なる定数$a,\ b,\ c$が$\displaystyle \frac{b+c}{a}=\frac{c+a}{b}=\frac{a+b}{c}$を満たすとき，$\displaystyle \frac{(b+c)(c+a)(a+b)}{abc}$のとる値は$[イ]$である．ただし，$abc \neq 0$とする．
(3)白玉$3$個と黒玉$3$個が入っている袋から玉を$1$個取り出し，色を調べてもとに戻す．この試行を$3$回繰り返すとき，白玉を$2$回取り出す確率は$[ウ]$である．
(4)整式$P(x)$を$x-1$で割った余りが$-2$，$x-2$で割った余りが3，$x-3$で割った余りが8ならば，$P(x)$を$(x-1)(x-2)(x-3)$で割った余りは$[エ]$である．
(5)数列$\{a_n\}$は$a_1=-7$と漸化式$2a_{n+1}=3a_n+8 \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定められている．この数列の一般項は$a_n=[オ]$である．
(6)平行四辺形ABCDにおいて，辺ABを$2:1$に内分する点をE，辺BCの中点をF，辺CDの中点をGとする．線分CEと線分FGの交点をHとすると，$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=[カ]\overrightarrow{\mathrm{AB}}+[キ]\overrightarrow{\mathrm{AD}}$となる．
(7)関数$f(x)=x^2-2ax+a+6$がすべての実数$x$に対して$f(x)>0$を満たすならば，定数$a$の値の取りうる範囲は，$[ク]<a<[ケ]$となる．
(8)関数$f(x)=ax^2+bx+1$が$f(1)=-6$と$\displaystyle \int_0^3 \{ f^\prime(x) \}^2 \, dx=63$を満たすならば，定数$a,\ b$の値は$a=[コ],\ b=[サ]$である．ただし，$f^\prime(x)$は$f(x)$の導関数を表す．

次の空欄ア～キに当てはまる数または式を記入せよ．

(1)$0 \leqq \theta < \pi$の範囲で，$\cos^2 \theta+2\sqrt{3}\sin \theta \cos \theta-\sin^2 \theta$の最小値は[ア]であり，そのときの$\theta$の値は[イ]である．
(2)$\displaystyle \frac{a^x-a^{-x}}{2}=1$のとき，$x=\log_a y$と表せば，$y=[ウ]$である．ただし，$a>0$，$a \neq 1$とする．
(3)さいころを$3$回投げ，出た目を順に，百の位，十の位，一の位にして$3$桁の自然数をつくる．このとき，この自然数が$6$で割り切れ，さらに桁の並びを逆にしても$6$で割り切れる確率は[エ]である．
(4)最高次の係数が$1$の整式$P(x)$で，条件$P(2)=0,\ P(0)=1,\ P(1)=2$をみたすもののうち，最も次数の低いものは$P(x)=[オ]$である．
(5)座標平面上の$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(4,\ 0)$，$\mathrm{B}(6,\ 2)$を頂点とする三角形$\mathrm{OAB}$の外心の座標は$([カ],\ [キ])$である．

放物線$C:y=x^2-2$と直線$L:y=m(2x-3)$（$m$は実数）について考える．$C$と$L$が相異なる$2$点で交わるとき，$m$のとり得る値の範囲は，$m<a$，$m>b (a<b)$となる．$b$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$x$の$2$次方程式$ax^2+bx+2=0$の$2$つの解が$3$と$6$であるような定数$a$と$b$の値をそれぞれ求めよ．
(2)$x$の$2$次関数$y=-x^2+2ax-4a+1$の最大値が$0$以下となるような定数$a$の値の範囲を求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$，$\angle \mathrm{B}$，$\angle \mathrm{C}$の大きさをそれぞれ$A$，$B$，$C$で表す．$B=30^\circ$，$\displaystyle \sin^2 A+\sin^2 B=\frac{1}{2}$であり，この三角形の外接円の半径が$\displaystyle \frac{1}{2}$のとき，$A$と$C$を求めよ．またこのとき，辺$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$x=3+\sqrt{2}$のとき，$\displaystyle \frac{(x+2)(x-1)+2}{(x-2)(x-1)-2}$の値を求めよ．
(2)$x$の$2$次方程式$2x^2-5x+3=0$と$2x^2+3x+a=0$を同時に満たす実数解が，少なくとも$1$つあるような定数$a$の値をすべて求めよ．
(3)周の長さが$a$メートルで，面積が$\displaystyle \frac{a^2}{25}$平方メートル以上の長方形の庭園を造りたい．庭園の縦の長さを$x$メートルとするとき，$x$の値の範囲を$a$を用いて表せ．ただし，$a$は正の定数とする．

$x$の関数
\[ y=x^4+4x^3+2(2-a)x^2-4ax-1 \quad (-4 \leqq x \leqq 2) \]
について次の問いに答えよ．ただし，$a$は定数とする．

(1)$t=x^2+2x (-4 \leqq x \leqq 2)$とおくとき，$t$の値の範囲を求めよ．また，$y$を$t$と$a$を用いて表せ．
(2)$a=0$のとき，$y$の値の範囲を求めよ．このとき，$y$が最小になるような$x$の値を求めよ．
(3)$0 \leqq a \leqq 1$のとき，$y$の値の範囲を$a$を用いて表せ．このとき，$y$が最小になるような$x$の値を$a$を用いて表せ．

放物線$y=x^2+2(1-a)x-3a$を，$x$軸方向に$1$，$y$軸方向に$7$だけ平行移動して得られる放物線を$C:y=f(x)$とする．ただし，$a$は定数とする．

(1)$C$の頂点の座標を$a$を用いて表せ．
(2)$C$と$x$軸の正の部分が異なる$2$点で交わるような$a$の値の範囲を求めよ．
(3)$a$の値が上の(2)で求めた範囲にあるとする．このとき，$0 \leqq x \leqq 5$における関数$f(x)$の最大値と最小値をそれぞれ$a$を用いて表せ．

次の問いに答えよ．

(1)$2$次不等式$x^2+2x-15<0$を解け．
(2)次の連立不等式が解を持たないような定数$a$の値の範囲を求めよ．
\[ \left\{
\begin{array}{l}
x^2+2x-15<0 \\
ax-3 \geqq 0
\end{array}
\right. \]

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)関数$f(\theta)=\sin^2 \theta-\sqrt{3} \cos \theta+2 (0 \leqq \theta \leqq \pi)$は，$\theta=[ア]$で最大値$[イ]$をとる．
(2)実数$x,\ y$が$2x+3y+1=0$を満たすとき，$4^x+8^y$は$x=[ウ]$で最小値$[エ]$をとる．
(3)実数$a$に対して，$3$次方程式$9x^3-3x^2+ax-1=0$の$1$つの解が$\displaystyle \frac{1}{3}$のとき，$a=[オ]$である．また，この方程式の$\displaystyle \frac{1}{3}$以外の解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\displaystyle \alpha^{18}+\beta^{18}=\frac{[カ]}{3^9}$である．
(4)平面上に，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$C$と，点$(3,\ 0)$を通る傾き$m$の直線$\ell$がある．$\ell$と$C$が異なる$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$で交わるとき，$m$の範囲は$[キ]$である．また，線分$\mathrm{AB}$の長さが$\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{5}$のとき，$m=[ク]$である．
(5)$a$を$0$でない実数とする．関数$f(x)=a(x^3-3x^2+a)$の極小値が$1$であり，極大値が$7$より大きいとき，$a=[ケ]$で，その極大値は$[コ]$である．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AC}=10$，$\mathrm{BC}=6$，$\displaystyle \cos A=\frac{4}{5}$とし，辺$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{M}$とする．このとき，$\tan A=[ア]$であり，$\triangle \mathrm{BCM}$の外接円の半径は$[イ]$である．
(2)関数$f(x)=|x-1|-|x+2|+|x-3|$が，$f(a)=0$を満たすとき，$a=[ウ]$である．また，$y=f(x)$のグラフと$x$軸で囲まれた図形の面積は$[エ]$である．
(3)$k$を正の実数とする．$3$次関数$f(x)=kx^3+3kx^2-9kx+3$の極大値は$[オ]$である．また，$f(x)=0$が正の実数解を持つような$k$の値の範囲は$[カ]$である．
(4)円$C:x^2+(y-2)^2=1$と点$\mathrm{A}(2,\ 0)$がある．この$C$上の点$\mathrm{P}$と$\mathrm{A}$を結ぶ線分$\mathrm{PA}$の中点を$\mathrm{Q}$とするとき，$\mathrm{Q}$の軌跡の方程式は$[キ]$である．また，$\mathrm{Q}$の軌跡と$C$が交わる点の$x$座標は$[ク]$である．
(5)$a>1$に対して最小値が$2$である関数$f(x)=\log_a (x^2-2x+3)$と，関数$g(x)=\log_2 (2x-1)^2$がある．このとき，$a=[ケ]$であり，$f(x)=g(x)$を満たす$x$の値は$[コ]$である．