次の各文の$[　]$にあてはまる答を求めよ．

(1)$\displaystyle \frac{7}{3+\sqrt{2}}$の小数部分を$a$とするとき，$a$の値は$[ア]$，$\displaystyle a^2+\frac{1}{a^2}$の値は$[イ]$である．
(2)$1$個のさいころを$4$回続けて投げるとき，$4$回とも$1$の目が出る確率は$[ウ]$である．また，$1$の目がちょうど$2$回出る確率は$[エ]$である．
(3)$k$を正の定数とし，$2$つの放物線$y=-x^2+3x-2k$，$y=x^2+2kx+4k$をそれぞれ$C_1$，$C_2$とする．$C_1$の頂点の$y$座標が$1$であるとき，$k$の値は$[オ]$である．$C_2$が$x$軸と接するとき，$k$の値は$[カ]$である．また，$x$軸が$C_1$と$C_2$のどちらとも共有点をもたないような定数$k$の値の範囲は$[キ]$である．
(4)半径が$3$である球を$A$，底面の円の半径が$6$である円錐を$B$とする．このとき，球$A$の体積は$[ク]$である．また，球$A$が円錐$B$に図のように内接するとき，円錐$B$の表面積は$[ケ]$である．
（図は省略）

$\triangle \mathrm{ABC}$は$\angle \mathrm{ABC}=\theta$，$\mathrm{AB}=1$，$\mathrm{BC}=a$とする（$\theta$は$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲にある定数とし，$a$は正の実数とする）．また，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径を$r$とする．次の問に答えよ．

(1)線分$\mathrm{AC}$の長さを$a$と$\theta$を用いて表せ．
(2)$r$を$a$と$\theta$を用いて表せ．
(3)$r$が最小となるとき，$a$を$\theta$を用いて表せ．また，そのときの$r$の値を求めよ．

$a$を定数として，$x$の$3$次関数
\[ f(x)=x^3+6(1-a)x^2-48ax \]
について，次の問に答えよ．

(1)$f(x)$が極値をもたないとき，$a$の値を求めよ．
(2)$f(x)$が正の極大値と負の極小値をもつとき，$a$の値の範囲を求めよ．
(3)$f(x)$が負の極大値をもつとき，$a$の値の範囲を求めよ．

$a \geqq 0$とし
\[ S(a)=\int_0^1 |x^2+2ax+a^2-1| \, dx \]
とおく．

(1)$\displaystyle a=\frac{1}{2}$のとき$\displaystyle S(a)=\frac{[ホ]}{[マ]}$である．
(2)等式
\[ S(a)=\int_0^1 (x^2+2ax+a^2-1) \, dx \]
が成り立つ$a$の範囲は$a \geqq [ミ]$である．
(3)$a \geqq [ミ]$のとき
\[ S(a)=[ム]a^2+[メ]a+\frac{[モ]}{[ヤ]} \]
であり，$0 \leqq a<[ミ]$のとき
\[ S(a)=\frac{[ユ]}{[ヨ]}a^3+[ラ]a^2+[リ]a+\frac{[ル]}{[レ]} \]
である．
(4)$S(a)$は$\displaystyle a=\frac{[ロ]+\sqrt{[ワ]}}{[ヲ]}$のとき最小値をとる．

次の空欄$[$1$]$～$[$24$]$にあてはまる数字を記入せよ．ただし，空欄$[$21$]$には，$+$または$-$の記号が入る．

(1)$a_1=m$（ただし，$m>0$），$a_{n+1}-a_n=-4$（ただし，$n$は自然数）で定められる数列$\{a_n\}$がある．
$a_n=m-[$1$](n-[$2$])$であり，
$S_n=\sum_{k=1}^n a_k$とすると，$n$が$\displaystyle \frac{m+[$3$]}{[$4$]}$に最も近い整数であるとき，$S_n$は最大値をとる．
したがって，ある$m$の値について，$S_n$が，$n=10$で最大となるとき，とり得る$m$の値の範囲は$[$5$][$6$] \leqq m \leqq [$7$][$8$]$であり，$m=[$7$][$8$]$のとき，$S_{10}=[$9$][$10$][$11$]$である．
(2)$\angle \mathrm{AOB}$を直角とする直角三角形$\mathrm{OAB}$がある．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とする．線分$\mathrm{AB}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{P}$とし，$3:1$に外分する点を$\mathrm{Q}$とし，$\mathrm{BP}=1$とする．

(i) $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{[$12$]}{[$13$]} \overrightarrow{a}+\frac{[$14$]}{[$13$]} \overrightarrow{b}$，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=-\frac{[$15$]}{[$16$]} \overrightarrow{a}+\frac{[$17$]}{[$16$]} \overrightarrow{b}$であり，
$|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|=[$18$]|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$である．
(ii) $\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=0$であるとき，$|\overrightarrow{b}|=[$19$]$であり，$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=[$20$]$である．
(iii) $\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=0$であるとき，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=2 \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$と$\overrightarrow{\mathrm{RA}}$のなす角を$\theta$とすると，
$\displaystyle \cos \theta=[$21$] \frac{[$22$] \sqrt{[$23$]}}{[$24$]}$である．

次の空欄$[$1$]$～$[$18$]$にあてはまる数字を入れよ．

$2$次関数$f(x)=ax^2-2ax+2a^2+4a+1$（ただし，$a$は$a \neq 0$を満たす実数）とする．

(1)$y=f(x)$のグラフの頂点の$x$座標は$[$1$]$であり，$y$座標は
\[ [$2$]a^2+[$3$]a+[$4$] \]
である．
(2)$y=f(x)$のグラフの頂点の$y$座標が負となるとき，$a$のとり得る値の範囲は
\[ -[$5$]<a<-\frac{[$6$]}{[$7$]} \]
である．
(3)$y=f(x)$のグラフの頂点の$y$座標は

$\displaystyle a=-\frac{[$8$]}{[$9$]}$のとき，最小値$\displaystyle -\frac{[$10$]}{[$11$]}$をとる．

(4)$2$次方程式$f(x)=0$が負の解をもつとき，$a$のとり得る値の範囲は，
\[ a<\frac{-[$12$]-\sqrt{[$13$]}}{[$14$]},\quad \frac{-[$15$]+\sqrt{[$16$]}}{[$17$]}<a<[$18$] \]
である．

次の問いに答えよ．

(1)$a$を実数とする．実数$x$に対して，$[x]$は$x$以下の最大の整数を表す．方程式
\[ \left[ \frac{1}{2}x \right]=x-a \]
が$0 \leqq x<4$の範囲に異なる$2$つの実数解をもつような$a$の範囲は$[ア] \leqq a<[イ]$である．
(2)$\displaystyle \frac{1}{4-\sqrt{11}}$を小数で表すとき，小数第$1$位の数字は$[ウ]$である．
(3)${(x^2+\sqrt{2}y)}^6$の展開式における$x^8y^2$の係数は$[エ]$である．
(4)$k$を実数とする．$2$つの$2$次方程式
\[ x^2-(k-1)x+k+2=0,\quad x^2-(k+1)x+k^2-5=0 \]
が，どちらも$2$つの異なる実数解をもつような$k$の範囲は
\[ \frac{[オ]}{[カ]}<k<[キ] \]
であり，少なくともどちらか一方が$2$つの異なる実数解をもつような$k$の範囲は
\[ k<[ク] \quad \text{または} \quad [ケ]<k \]
である．

座標平面において，放物線$C:y=-x^2+3x$と直線$\displaystyle \ell:y=\frac{1}{2}x$で囲まれた領域を$S$とする．ただし，$S$は境界線を含むものとする．

(1)$C$と$\ell$の共有点は，原点$\mathrm{O}$と点$\displaystyle \left( \frac{[セ]}{[ソ]},\ \frac{[タ]}{[チ]} \right)$である．
(2)点$\mathrm{P}(-1,\ 3)$を通り傾きが$a$の直線$m$が，領域$S$と共有点をもつとする．このとき，$a$の範囲は
\[ [ツ] \leqq a \leqq [テ]+[ト] \sqrt{[ナ]} \]
である．
(3)$a=[テ]+[ト] \sqrt{[ナ]}$のとき，直線$m$と領域$S$の共有点を$\mathrm{Q}$とすると，$\mathrm{Q}$の$x$座標は$[ニ]+\sqrt{[ヌ]}$である．
(4)$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積は$[ネ]+[ノ] \sqrt{[ハ]}$である．
(5)線分$\mathrm{OP}$，線分$\mathrm{PQ}$および放物線$C$で囲まれた図形の面積は
\[ \frac{[ヒ]}{[フ]}+\frac{[ヘ]}{[ホ]} \sqrt{[マ]} \]
である．

放物線$y=x^2$上の$2$点$\mathrm{A}(a,\ a^2)$，$\mathrm{B}(b,\ b^2) (0 \leqq a<b)$に対して，$L(a,\ b)$を線分$\mathrm{AB}$の長さとし，$S(a,\ b)$を線分$\mathrm{AB}$と放物線$y=x^2$で囲まれた図形の面積とする．さらに，$T(a,\ b)$を$a \leqq x \leqq b$の範囲で放物線$y=x^2$と$x$軸で囲まれた図形の面積とする．

(1)$(ⅰ)$ $\displaystyle L(0,\ t)=\frac{1}{2}L(0,\ 1)$となるのは，$\displaystyle t^2=\frac{1}{[ア]}(\sqrt{[イ]}-[ウ])$となるときである．
$(ⅱ)$ $L(0,\ t)=L(t,\ 1)$となるのは，$\displaystyle t=\frac{1}{[エ]}(\sqrt{[オ]}-[カ])$のときである．
(2)$(ⅰ)$ $\displaystyle S(0,\ t)=\frac{1}{2}S(0,\ 2)$となるのは，$\displaystyle \log_2 t=\frac{[キ]}{[ク]}$となるときである．

$(ⅱ)$ $T(t,\ 2)=S(0,\ 2)$となるのは，$\displaystyle \log_2 t=\frac{[ケ]}{[コ]}$となるときである．

$k$を定数として，$3$次方程式
\[ x^3-\frac{3}{2}x^2-6x-k=0 \cdots\cdots (*) \]
を考える．

(1)この方程式が，異なる$3$つの実数解をもつような$k$の値の範囲は
\[ -[ア][イ]<k< \frac{[ウ]}{[エ]} \cdots\cdots (**) \]
である．
(2)$k$が$(**)$の範囲にあるとき，方程式$(*)$の$3$つの解を$\alpha,\ \beta,\ \gamma$（ただし$\alpha<\beta<\gamma$）とおく．

(i) $k$が$(**)$の範囲を動くとき，$\alpha,\ \beta,\ \gamma$の取りうる値の範囲は，それぞれ
\[ -\frac{[オ]}{[カ]}<\alpha<-[キ],\quad -[ク]<\beta<[ケ],\quad [コ]<\gamma<\frac{[サ]}{[シ]} \]
である．
(ii) $k$が$(**)$の範囲を動くとき，$\alpha$と$\gamma$の積$\alpha\gamma$が最小となるのは
\[ k=-\frac{[ス][セ][ソ]}{[タ][チ]} \]
のときであって，$\alpha\gamma$の最小値は$\displaystyle -\frac{[ツ][テ][ト]}{[ナ][ニ]}$である．