$x$の関数$y=-3x^2+4ax-a$の最大値を$M$とするとき，次の問いに答えなさい．ただし，$a$は定数であり，$x$は$0 \leqq x \leqq 3$の範囲の変数である．

(1)$a=3$のとき，$M$の値を求めなさい．
(2)$0<a<3$のとき，$M$を$a$を用いて表しなさい．

関数$f(x)=x^4-5x^3+kx^2$が極大値をもつような定数$k$の値の範囲を求めなさい．

$x \geqq 1,\ y \geqq 1$の範囲で
\[ k=(\log x)^2(\log y) \]
を考える．$xy=e^3$として次の問いに答えなさい．

(1)$k$を$x$で表しなさい．また，$x$の取り得る値の範囲を求めなさい．
(2)$x$が$(1)$で求めた範囲を動くとき，$k$の最大値と最小値を求めなさい．

実数全体を定義域とする関数$f(x)$は奇関数で微分可能であるとする．さらに，$f^\prime(x)$も微分可能で$f^\prime(0)=0$を満たし，$x>0$の範囲で$f^{\prime\prime}(x)>0$であるとする．$y=f(x)$のグラフを$C_1$，$C_1$を$x$軸方向に$a$，$y$軸方向に$f(a)$だけ平行移動した曲線を$C_2$とする．ただし，$a$は正の定数とする．

(1)$f(0)$の値を求めよ．
(2)$f^\prime(x)$は偶関数であることを示せ．
(3)$C_1$と$C_2$の共有点の個数が$2$個であることを示し，その$2$点の$x$座標を求めよ．
(4)$C_1$と$C_2$で囲まれる図形の面積を$S(a)$とする．$a$が$0<a \leqq 3$の範囲を動くとき，$S(a)$を最大にする$a$の値を求めよ．

次の$[　]$を適当に補え．

(1)$x^2-2x-7<0$をみたす実数$x$の範囲は$[ア]$である．また，実数$x$に対して，$x$を超えない最大の整数を$[x]$とすると，${[x]}^2-2[x]-7<0$をみたす実数$x$の範囲は$[イ]$である．
(2)数列$\{a_n\}$は関係式
\[ a_1=1,\quad a_2=\frac{4}{3},\quad 3a_{n+2}-4a_{n+1}+a_n=0 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
をみたすとする．このとき，数列$\{a_{n+1}-pa_n\}$が公比$q$の等比数列になるような定数$p,\ q$の組は$(p,\ q)=[ウ]$であり，一般項$a_n$は$a_n=[エ]$である．
(3)$\displaystyle \frac{\cos \theta-\sin \theta}{\cos \theta+\sin \theta}=\sqrt{3}-2$となるのは$\tan \theta=[オ]$のときであり，これをみたす$\displaystyle \theta \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$の値は$\theta=[カ]$である．
(4)$a$を実数とし，$\displaystyle f(a)=\int_{-1}^2 {(x-a |x|)}^2 \, dx$とする．$f(a)$は$a=[キ]$のとき，最小値$[ク]$をとる．
(5)$\tan x=t$とおくとき，$\sin 2x$を$t$で表すと$\sin 2x=[ケ]$である．また，$\displaystyle \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{\sin 2x} \, dx=[コ]$である．

\mon[（注）] 次の$(6),\ (7)$は選択問題である．

(6)大小$2$つのさいころを投げて，大きいさいころの出た目を$a$，小さいさいころの出た目を$b$とする．$2$次方程式$x^2+ax+b=0$が$2$つの異なる実数解をもつ確率は$[サ]$，重解をもつ確率は$[シ]$，実数解をもたない確率は$[ス]$である．
(7)平面上で，半径$3$の円$C_1$と半径$5$の円$C_2$が点$\mathrm{P}$で外接している．$1$本の直線が$\mathrm{P}$と異なる点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$で円$C_1,\ C_2$とそれぞれ接しているとき，$\mathrm{QR}=[セ]$である．また，直線$\mathrm{QP}$と円$C_2$との，$\mathrm{P}$と異なる交点を$\mathrm{S}$とするとき，$\mathrm{SR}=[ソ]$である．

次の$[　]$を埋めよ．

(1)円$x^2+y^2=5$と直線$y=x+k$が共有点をもつとき，定数$k$の範囲は，
\[ -\sqrt{[ア][イ]} \leqq k \leqq \sqrt{[ア][イ]} \]
である．
(2)関数$f(x)=x^3-3x^2-72x+18$の導関数は
\[ f^\prime(x)=[ウ]x^{\mkakko{エ}}-[オ]x-[カ][キ] \]
となる．また，関数$f(x)$は$x=[ク][ケ]$のとき極大値$[コ][サ][シ]$をとり，$x=[ス]$のとき極小値$\kakkofour{セ}{ソ}{タ}{チ}$をとる．
(3)平面上に$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(-1,\ 2)$，$\mathrm{B}(1,\ 3)$がある．このとき，


$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=\sqrt{[ツ]}$，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=\sqrt{[テ][ト]}$，

$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=[ナ]$，$\angle \mathrm{AOB}={[ニ][ヌ]}^\circ$


となる．また，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積は$\displaystyle \frac{[ネ]}{[ノ]}$である．

関数$\displaystyle f(x)=x^3-3(a+1)x^2+12ax-12a+\frac{7}{2}$について，以下の問に答えよ．ただし，$a$は定数とする．

(1)方程式$f(x)=0$が異なる$3$個の実数解をもつように定数$a$の値の範囲を定めよ．
(2)方程式$f(x)=0$が異なる$3$個の正の実数解をもつように定数$a$の値の範囲を定めよ．

ある鉄道会社では平成$26$年$3$月まで，最低運賃$130$円から$1000$円まで$10$円きざみで運賃が設定されていた．この年$4$月からの消費税率の引き上げに伴い，次のように運賃を改定することにした．

\mon[$①$] $\mathrm{IC}$カードを利用する場合
改定前の運賃に$108/105$を乗じ，$1$円未満の端数を切り捨て，$1$円単位にした額を新運賃とする．
\mon[$②$] 券売機等で発売する切符を利用する場合
改定前の運賃に$108/105$を乗じ，$10$円未満の端数を切り上げ，$10$円単位とした額を新運賃とする．

以下の問いに答えよ．

(1)切符を利用する場合，$20$円の値上げとなるような改定前運賃の範囲を求めよ．
(2)運賃改定後，$\mathrm{IC}$カードを利用した場合と，切符を利用した場合で運賃の差が最大となるような改定前運賃をすべて求めよ．
(3)切符を利用する場合の規則を，$10$円未満の端数を切り上げるのではなく，四捨五入する計算方法に変えたとする．このとき，値上げにならない運賃の範囲を求めよ．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)$a,\ b$を実数とする．$x$の方程式$x^3+ax^2+6x+b=0$の$1$つの解が$x=-1+i$であるとき，$a,\ b$の値を求めると$(a,\ b)=[ア]$であり，残りの解は$x=[イ]$である．
(2)$x>0$とする．不等式$(\log_2 x)^2-5 \log_2 x-6<0$を解くと$[ウ]$である．また，$x$の方程式$x^{\log_2 x}=2^a x^5$が解をもつような$a$の値の範囲を求めると$[エ]$である．
(3)実数$a,\ b,\ c,\ k$が$5a-b-c=ka$，$-a+5b-c=kb$，$-a-b+5c=kc$，$abc \neq 0$を満たしている．このとき，$k$の値を求めると$k=[オ]$であり，$\displaystyle R=\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}$の値を求めると$R=[カ]$である．
(4)$4$人がじゃんけんを$1$回するとき，$1$人だけが勝つ確率は$[キ]$であり，誰も勝たない確率は$[ク]$である．ただし，各人がグー，チョキ，パーを出す確率は，それぞれ$\displaystyle \frac{1}{3}$である．

関数$f(x)=xe^{-x}$を考える．

(1)$0 \leqq x \leqq 4$の範囲で$f(x)$の増減と凹凸を調べ，$0 \leqq x \leqq 4$の範囲で$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)$t$を正の数とし，$y=f(x)$のグラフと$x$軸，および直線$x=t$と$x=2t$で囲まれた図形の面積$S(t)$を$t$の式で表せ．
(3)$(2)$の$S(t)$が最大となる$t$の値を求めよ．また，$S(t)$の最大値を求めよ．