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国立 富山大学 2015年 第2問ひし形$D$の$2$つの対角線の長さを$2a,\ 2b$とする．$D$と同じ周の長さ，および同じ面積をもつ長方形を$R$とし，その$2$辺の長さを$x,\ y (x \leqq y)$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$D$の周の長さ$s$を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$x,\ y$を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$R$の対角線の長さ$l$と$a+b$の大小を比較せよ．
(4)$a,\ b$が$s=4$を満たしながら動くとき，$l$のとりうる値の範囲を求めよ．
(1)$D$の周の長さ$s$を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$x,\ y$を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$R$の対角線の長さ$l$と$a+b$の大小を比較せよ．
(4)$a,\ b$が$s=4$を満たしながら動くとき，$l$のとりうる値の範囲を求めよ．
国立 富山大学 2015年 第1問$m$を実数とする．方程式
\[ mx^2-my^2+(1-m^2)xy+5(1+m^2)y-25m=0 \cdots\cdots (*) \]
を考える．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$xy$平面において，方程式$(*)$が表す図形は$2$直線であることを示せ．
(2)$(1)$で求めた$2$直線は$m$の値にかかわらず，それぞれ定点を通る．これらの定点を求めよ．
(3)$m$が$-1 \leqq m \leqq 3$の範囲を動くとき，$(1)$で求めた$2$直線の交点の軌跡を図示せよ．
\[ mx^2-my^2+(1-m^2)xy+5(1+m^2)y-25m=0 \cdots\cdots (*) \]
を考える．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$xy$平面において，方程式$(*)$が表す図形は$2$直線であることを示せ．
(2)$(1)$で求めた$2$直線は$m$の値にかかわらず，それぞれ定点を通る．これらの定点を求めよ．
(3)$m$が$-1 \leqq m \leqq 3$の範囲を動くとき，$(1)$で求めた$2$直線の交点の軌跡を図示せよ．
国立 富山大学 2015年 第2問関数$f(x)=\sin 3x-\cos 3x+3 \sin 2x (0 \leqq x \leqq 2\pi)$について，次の問いに答えよ．
(1)$t=\sin x+\cos x (0 \leqq x \leqq 2\pi)$とするとき，$t$のとりうる値の範囲を求めよ．
(2)$f(x)$を$t$の関数として表せ．
(3)$f(x)$の最小値を求めよ．ただし，最小値をとるときの$x$の値は求めなくてよい．
(1)$t=\sin x+\cos x (0 \leqq x \leqq 2\pi)$とするとき，$t$のとりうる値の範囲を求めよ．
(2)$f(x)$を$t$の関数として表せ．
(3)$f(x)$の最小値を求めよ．ただし，最小値をとるときの$x$の値は求めなくてよい．
国立 富山大学 2015年 第2問$a$を実数とする．関数$f(x),\ g(x)$を$f(x)=x^2+ax+3$，$\displaystyle g(x)=f(x) f \left( \frac{1}{x} \right) (x \neq 0)$と定める．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$x \neq 0$のとき，$\displaystyle x+\frac{1}{x}$のとりうる値の範囲を求めよ．
(2)$\displaystyle t=x+\frac{1}{x} (x \neq 0)$とするとき，$g(x)$を$a,\ t$を用いて表せ．
(3)$g(x) (x \neq 0)$の最小値が負となるような$a$の値の範囲を求めよ．
(1)$x \neq 0$のとき，$\displaystyle x+\frac{1}{x}$のとりうる値の範囲を求めよ．
(2)$\displaystyle t=x+\frac{1}{x} (x \neq 0)$とするとき，$g(x)$を$a,\ t$を用いて表せ．
(3)$g(x) (x \neq 0)$の最小値が負となるような$a$の値の範囲を求めよ．
国立 富山大学 2015年 第3問関数$f(x)=\sin 3x-\cos 3x+3 \sin 2x (0 \leqq x \leqq 2\pi)$について，次の問いに答えよ．
(1)$t=\sin x+\cos x (0 \leqq x \leqq 2\pi)$とするとき，$t$のとりうる値の範囲を求めよ．
(2)$f(x)$を$t$の関数として表せ．
(3)$f(x)$の最小値を求めよ．ただし，最小値をとるときの$x$の値は求めなくてよい．
(1)$t=\sin x+\cos x (0 \leqq x \leqq 2\pi)$とするとき，$t$のとりうる値の範囲を求めよ．
(2)$f(x)$を$t$の関数として表せ．
(3)$f(x)$の最小値を求めよ．ただし，最小値をとるときの$x$の値は求めなくてよい．
国立 高知大学 2015年 第4問次の問いに答えよ．ただし，$a$は正の実数で$a \neq 1$とする．
(1)$a^x=e^{f(x)}$をみたす関数$f(x)$を求めよ．
(2)不定積分$\displaystyle \int a^x \, dx$を求めよ．
(3)$3^{|1-x|}(1+|y|) \leqq 3$をみたす実数の組$(x,\ y)$の範囲を$xy$平面上に図示せよ．
(4)$(3)$で図示された範囲の面積を求めよ．
(1)$a^x=e^{f(x)}$をみたす関数$f(x)$を求めよ．
(2)不定積分$\displaystyle \int a^x \, dx$を求めよ．
(3)$3^{|1-x|}(1+|y|) \leqq 3$をみたす実数の組$(x,\ y)$の範囲を$xy$平面上に図示せよ．
(4)$(3)$で図示された範囲の面積を求めよ．
国立 長岡技術科学大学 2015年 第2問平面上で原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$および点$\mathrm{A}(1,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 1)$，$\mathrm{C}(-1,\ 0)$がある．点$\mathrm{P}(x,\ y)$に対して，実数$a,\ b,\ c$が
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=a \overrightarrow{\mathrm{OA}}+b \overrightarrow{\mathrm{OB}}+c \overrightarrow{\mathrm{OC}},$
$a+b+c=1$
を満たしているとするとき，下の問いに答えなさい．
(1)$a,\ b,\ c$をそれぞれ$x,\ y$で表しなさい．
(2)$a \geqq b \geqq c \geqq 0$を満たす$\mathrm{P}$の範囲を図示しなさい．
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=a \overrightarrow{\mathrm{OA}}+b \overrightarrow{\mathrm{OB}}+c \overrightarrow{\mathrm{OC}},$
$a+b+c=1$
を満たしているとするとき，下の問いに答えなさい．
(1)$a,\ b,\ c$をそれぞれ$x,\ y$で表しなさい．
(2)$a \geqq b \geqq c \geqq 0$を満たす$\mathrm{P}$の範囲を図示しなさい．
国立 群馬大学 2015年 第2問$x,\ y,\ z$は正の数で$\displaystyle x+y+z=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4$を満たす．
(1)$x+y=a,\ xy=b$とおくとき，$a,\ b$を$z$を用いて表せ．
(2)$z$のとりうる値の範囲を求めよ．
(1)$x+y=a,\ xy=b$とおくとき，$a,\ b$を$z$を用いて表せ．
(2)$z$のとりうる値の範囲を求めよ．
国立 群馬大学 2015年 第3問$a$を定数，$e$を自然対数の底とし，$\displaystyle f(x)=(a-x^2)e^{-\frac{x^2}{2}}$とおく．
(1)$x>0$のとき，不等式$\displaystyle e^x>1+x+\frac{x^2}{2}$が成り立つことを証明せよ．これを用いて$\displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x)=0$を示せ．
(2)関数$f(x)$が$-1<x<2$においてちょうど$2$個の極値をもつように，定数$a$の値の範囲を定めよ．
(3)$a$は$(2)$で定めた範囲にあるとする．区間$(-\infty,\ \infty)$における$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．
(1)$x>0$のとき，不等式$\displaystyle e^x>1+x+\frac{x^2}{2}$が成り立つことを証明せよ．これを用いて$\displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x)=0$を示せ．
(2)関数$f(x)$が$-1<x<2$においてちょうど$2$個の極値をもつように，定数$a$の値の範囲を定めよ．
(3)$a$は$(2)$で定めた範囲にあるとする．区間$(-\infty,\ \infty)$における$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．
国立 福井大学 2015年 第4問座標平面上に，$2$点$\mathrm{A}(-1,\ 0)$，$\mathrm{B}(1,\ 0)$と，原点を中心とする半径$2$の円周上の点$\mathrm{P}(2 \cos \theta,\ 2 \sin \theta)$をとるとき，以下の問いに答えよ．
(1)$\mathrm{P}$を通って，直線$\mathrm{AP}$に直交する直線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$\ell$に関して$\mathrm{A}$と対称な点を$\mathrm{C}$とし，$\ell$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{Q}$とおく．線分$\mathrm{BQ}$の長さを$\theta$を用いて表せ．
(3)$\theta$が$0 \leqq \theta<2\pi$の範囲を動くときの点$\mathrm{Q}$の軌跡は楕円であることを示し，その長軸と短軸の長さの比を求めよ．
(1)$\mathrm{P}$を通って，直線$\mathrm{AP}$に直交する直線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$\ell$に関して$\mathrm{A}$と対称な点を$\mathrm{C}$とし，$\ell$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{Q}$とおく．線分$\mathrm{BQ}$の長さを$\theta$を用いて表せ．
(3)$\theta$が$0 \leqq \theta<2\pi$の範囲を動くときの点$\mathrm{Q}$の軌跡は楕円であることを示し，その長軸と短軸の長さの比を求めよ．