$z$を複素数とする．複素数平面上の$3$点$\mathrm{A}(1)$，$\mathrm{B}(z)$，$\mathrm{C}(z^2)$が鋭角三角形をなすような$z$の範囲を求め，図示せよ．

座標空間内を，長さ$2$の線分$\mathrm{AB}$が次の$2$条件$(ⅰ)$，$(ⅱ)$をみたしながら動く．

$(ⅰ)$ 点$\mathrm{A}$は平面$z=0$上にある．
$(ⅱ)$ 点$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 1)$が線分$\mathrm{AB}$上にある．

このとき，線分$\mathrm{AB}$が通過することのできる範囲を$K$とする．$K$と不等式$z \geqq 1$の表す範囲との共通部分の体積を求めよ．

実数$t$に対し，複素数
\[ \left( \frac{1}{2}+\cos t+i \sin t \right)^2 \]
の実部を$f(t)$，虚部を$g(t)$とする．座標平面上に
\[ \text{曲線}C:x=f(t),\quad y=g(t) \quad (0 \leqq t \leqq \pi) \]
がある．

(1)$0 \leqq t \leqq \pi$のとき$f(t)$のとる値の範囲を求めよ．

(2)曲線$C$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( f \left( \frac{\pi}{3} \right),\ g \left( \frac{\pi}{3} \right) \right)$における接線の方程式を求めよ．

(3)曲線$C$の$y \leqq 0$の範囲にある部分と$x$軸とで囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

座標平面において，$x$軸上に$3$点$(0,\ 0)$，$(\alpha,\ 0)$，$(\beta,\ 0) (0<\alpha<\beta)$があり，曲線$C:y=x^3+ax^2+bx$が$x$軸とこの$3$点で交わっているものとする．ただし，$a,\ b$は実数である．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)曲線$C$と$x$軸で囲まれた$2$つの部分の面積の和を$S$とする．$S$を$\alpha$と$\beta$の式で表せ．
(2)$\beta$の値を固定して，$0<\alpha<\beta$の範囲で$\alpha$を動かすとき，$S$を最小とする$\alpha$を$\beta$の式で表せ．

$a,\ b$を実数とする．$f(x)=2 \sqrt{1+x^2}-ax^2$とし，$x$についての方程式$f(x)=b$を考える．次の問いに答えよ．

(1)$a>0$のとき，関数$f(x)$の最大値を求めよ．
(2)方程式$f(x)=b$の異なる実数解の個数が最も多くなるときの点$(a,\ b)$の範囲を図示せよ．

$0 \leqq x \leqq 2$とする．

(1)$\sin \pi x+\cos 2 \pi x \geqq 0$を満たす$x$の範囲を求めよ．
(2)$(1)$で求めた$x$の範囲に対し，
\[ \log_2 (3+x)+\log_2 (5-x)=\log_2 (16-k) \]
の解がひとつだけであるような実数$k$の範囲を求めよ．

$0 \leqq x \leqq 2$とする．

(1)$\sin \pi x+\cos 2 \pi x \geqq 0$を満たす$x$の範囲を求めよ．
(2)$(1)$で求めた$x$の範囲に対し，
\[ \log_2 (3+x)+\log_2 (5-x)=\log_2 (16-k) \]
の解がひとつだけであるような実数$k$の範囲を求めよ．

$0 \leqq x \leqq 2$とする．

(1)$\sin \pi x+\cos 2 \pi x \geqq 0$を満たす$x$の範囲を求めよ．
(2)$(1)$で求めた$x$の範囲に対し，
\[ \log_2 (3+x)+\log_2 (5-x)=\log_2 (16-k) \]
の解がひとつだけであるような実数$k$の範囲を求めよ．

$0 \leqq x \leqq 2$とする．

(1)$\sin \pi x+\cos 2 \pi x>0$を満たす$x$の範囲を求めよ．
(2)$(1)$で求めた$x$の範囲に対し，
\[ \log_2 (3+x)+\log_2 (5-x)=\log_2 (16-k) \]
の解がひとつだけであるような実数$k$の範囲を求めよ．

平面上で原点$\mathrm{O}$と$3$点$\mathrm{A}(3,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ 2)$，$\mathrm{C}(-1,\ 1)$を考える．実数$s,\ t$に対し，点$\mathrm{P}$を
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
により定める．以下の問いに答えよ．

(1)$s,\ t$が条件
\[ -1 \leqq s \leqq 1,\quad -1 \leqq t \leqq 1,\quad -1 \leqq s+t \leqq 1 \]
を満たすとき，点$\mathrm{P}(x,\ y)$の存在する範囲$D$を図示せよ．
(2)点$\mathrm{P}$が$(1)$で求めた範囲$D$を動くとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$の最大値を求め，そのときの$\mathrm{P}$の座標を求めよ．