原点$\mathrm{O}$の座標平面上で点$\mathrm{A}(a,\ 0)$が与えられている．ただし$0<a<1$とする．また，点$\mathrm{P}$は曲線$x^2+y^2=1 (y>0)$上を以下の条件をみたしながら動くものとする．

（条件）三角形$\mathrm{OAP}$の外心$\mathrm{Q}$は$x^2+y^2 \leqq 1$をみたす領域内にある．

点$\mathrm{Q}$の$y$座標を$q$とする．このとき，以下の各問に答えよ．

(1)$q$の取りうる範囲を$a$を用いて表せ．
(2)$q$が最大となるときの点$\mathrm{P}$の座標を$a$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{P}$が条件をみたしながら動くとき，三角形$\mathrm{OAP}$が通過する領域の面積を$a$を用いて表せ．

次の問いに答えよ．

(1)$x=1+\sqrt{2}$のとき，次の式の値を求めよ．

(i) $x^2-2x-1$
(ii) $x^4-4x^3+7x^2-6x+2$

(2)$A=\{ x \;|\; 2<x \leqq 9 \}$，$B=\{ x \;|\; k-4 \leqq x \leqq k+6 \}$（$k$は定数）とするとき，$A \subset B$となる$k$の値の範囲を求めよ．
(3)実数$x,\ y$が$(x+1)^2+(y-2)^2=2$を満たすとき，$x+y$の最小値と最大値，およびそのときの$x,\ y$の値を求めよ．

関数$f(x)=x^3-12x$について，次の各問に答えよ．

(1)$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)$0 \leqq x \leqq 5$の範囲で，$f(x)$の最大値とそのときの$x$の値，および最小値とそのときの$x$の値を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$上の点$(1,\ f(1))$における曲線の接線の方程式を求めよ．
(4)$x \geqq 0$の表す領域において，曲線$y=f(x)$，$y$軸，および$(3)$で求めた接線で囲まれた部分の面積を求めよ．

関数$f(x)=x+2 \cos x$を$0 \leqq x \leqq 2\pi$の範囲で考える．

(1)関数$y=f(x)$の極値と変曲点を求め，グラフの概形を描け．
(2)関数$y=f(x)$の二つの変曲点を通る直線を$\ell$とする．曲線$y=f(x)$と直線$\ell$とで囲まれる図形を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

$2$次関数
\[ y=-x^2+2x+2 \cdots\cdots① \]
のグラフの頂点の座標は$([ア],\ [イ])$である．また
\[ y=f(x) \]
は$x$の$2$次関数で，そのグラフは，$①$のグラフを$x$軸方向に$p$，$y$軸方向に$q$だけ平行移動したものであるとする．

(1)下の$[ウ],\ [オ]$には，次の$\nagamarurei$～$\nagamarushi$のうちから当てはまるものを一つずつ選べ．ただし，同じものを繰り返し選んでもよい．
\[ \nagamarurei > \qquad \nagamaruichi < \qquad \nagamaruni \geqq \qquad \nagamarusan \leqq \qquad \nagamarushi \neq \]
$2 \leqq x \leqq 4$における$f(x)$の最大値が$f(2)$になるような$p$の値の範囲は
\[ p [ウ] [エ] \]
であり，最小値が$f(2)$になるような$p$の値の範囲は
\[ p [オ] [カ] \]
である．

(2)$2$次不等式$f(x)>0$の解が$-2<x<3$になるのは
\[ p=\frac{[キク]}{[ケ]},\quad q=\frac{[コサ]}{[シ]} \]
のときである．

$\kagiichi$ \ 条件$p_1,\ p_2,\ q_1,\ q_2$の否定をそれぞれ$\overline{p_1},\ \overline{p_2},\ \overline{q_1},\ \overline{q_2}$と書く．

(1)次の$[ア]$に当てはまるものを，下の$\nagamarurei$～$\nagamarusan$のうちから一つ選べ．

命題「（$p_1$かつ$p_2$） $\Longrightarrow$ （$q_1$かつ$q_2$）」の対偶は$[ア]$である．

$\nagamarurei$ （$\overline{p_1}$または$\overline{p_2}$） $\Longrightarrow$ （$\overline{q_1}$または$\overline{q_2}$）
$\nagamaruichi$ （$\overline{q_1}$または$\overline{q_2}$） $\Longrightarrow$ （$\overline{p_1}$または$\overline{p_2}$）
$\nagamaruni$ （$\overline{q_1}$かつ$\overline{q_2}$） $\Longrightarrow$ （$\overline{p_1}$かつ$\overline{p_2}$）
$\nagamarusan$ （$\overline{p_1}$かつ$\overline{p_2}$） $\Longrightarrow$ （$\overline{q_1}$かつ$\overline{q_2}$）
(2)自然数$n$に対する条件$p_1,\ p_2,\ q_1,\ q_2$を次のように定める．
\[\begin{array}{ll}
p_1:n \text{は素数である} & p_2:n+2 \text{は素数である} \\
q_1:n+1 \text{は} 5 \text{の倍数である} & q_2:n+1 \text{は}6 \text{の倍数である}
\end{array} \]
$30$以下の自然数$n$のなかで$[イ]$と$[ウエ]$は
命題「（$p_1$かつ$p_2$） $\Longrightarrow$ （$\overline{q_1}$かつ$q_2$）」
の反例となる．
\mon[$\kagini$] $\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{BC}=5$，$\angle \mathrm{ABC}={120}^\circ$とする．

このとき，$\mathrm{AC}=[オ]$，$\displaystyle \sin \angle \mathrm{ABC}=\frac{\sqrt{[カ]}}{[キ]}$であり，
$\displaystyle \sin \angle \mathrm{BCA}=\frac{[ク] \sqrt{[ケ]}}{[コサ]}$である．

直線$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{D}$を，$\mathrm{AD}=3 \sqrt{3}$かつ$\angle \mathrm{ADC}$が鋭角，となるようにとる．点$\mathrm{P}$を線分$\mathrm{BD}$上の点とし，$\triangle \mathrm{APC}$の外接円の半径を$R$とすると，$R$のとり得る値の範囲は$\displaystyle \frac{[シ]}{[ス]} \leqq R \leqq [セ]$である．

座標平面上の$2$点$\mathrm{A}(-1,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ -1)$を考える．また，$\mathrm{P}$を座標平面上の点とし，その$x$座標の絶対値は$1$以下であるとする．次の条件$(ⅰ)$または$(ⅱ)$をみたす点$\mathrm{P}$の範囲を図示し，その面積を求めよ．

(i) 頂点の$x$座標の絶対値が$1$以上の$2$次関数のグラフで，点$\mathrm{A}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{B}$をすべて通るものがある．
(ii) 点$\mathrm{A}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{B}$は同一直線上にある．

$2$つの放物線
\[ C_1:y=x^2,\quad C_2:y=-(x-1)^2 \]
がある．$a$は$0$でない実数とし，$C_1$上の$2$点$\mathrm{P}(a,\ a^2)$，$\mathrm{Q}(-2a,\ 4a^2)$を通る直線と平行な$C_1$の接線を$\ell$とする．

(1)$\ell$の方程式を$a$で表せ．
(2)$C_2$と$\ell$が異なる$2$つの共有点をもつような$a$の値の範囲を求めよ．
(3)$C_2$と$\ell$が異なる$2$つの共有点$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$をもつとする．線分$\mathrm{PQ}$の長さと線分$\mathrm{RS}$の長さが等しくなるとき，$a$の値を求めよ．

直線$y=px+q$が，$y=x^2-x$のグラフとは交わるが，$y=|x|+|x-1|+1$のグラフとは交わらないような$(p,\ q)$の範囲を図示し，その面積を求めよ．

$xyz$空間の中で，$(0,\ 0,\ 1)$を中心とする半径$1$の球面$S$を考える．点$\mathrm{Q}$が$(0,\ 0,\ 2)$以外の$S$上の点を動くとき，点$\mathrm{Q}$と点$\mathrm{P}(1,\ 0,\ 2)$の$2$点を通る直線$\ell$と平面$z=0$との交点を$\mathrm{R}$とおく．$\mathrm{R}$の動く範囲を求め，図示せよ．