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国立 岩手大学 2016年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$2$次関数$y=x^2-2ax+a+2$の最小値が負であるような定数$a$の範囲を求めよ．
(2)$\mathrm{A}$チームと$\mathrm{B}$チームがサッカーの試合を$7$回行う．どの試合でも，$\mathrm{A}$チームが勝つ確率は$\displaystyle \frac{1}{2}$，$\mathrm{B}$チームが勝つ確率は$\displaystyle \frac{1}{6}$，引き分けとなる確率は$\displaystyle \frac{1}{3}$であるとして，$\mathrm{A}$チームの試合結果が$3$勝$2$敗$2$引き分けとなる確率を求めよ．
(3)四面体$\mathrm{OABC}$において，
$\mathrm{BC}=30$，$\mathrm{CA}=26$，$\displaystyle \cos \angle \mathrm{BAC}=\frac{5}{13}$，
$\mathrm{OA}=18$，$\angle \mathrm{OAB}=\angle \mathrm{OAC}={90}^\circ$
であるとき，辺$\mathrm{AB}$の長さおよび四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．
(1)$2$次関数$y=x^2-2ax+a+2$の最小値が負であるような定数$a$の範囲を求めよ．
(2)$\mathrm{A}$チームと$\mathrm{B}$チームがサッカーの試合を$7$回行う．どの試合でも，$\mathrm{A}$チームが勝つ確率は$\displaystyle \frac{1}{2}$，$\mathrm{B}$チームが勝つ確率は$\displaystyle \frac{1}{6}$，引き分けとなる確率は$\displaystyle \frac{1}{3}$であるとして，$\mathrm{A}$チームの試合結果が$3$勝$2$敗$2$引き分けとなる確率を求めよ．
(3)四面体$\mathrm{OABC}$において，
$\mathrm{BC}=30$，$\mathrm{CA}=26$，$\displaystyle \cos \angle \mathrm{BAC}=\frac{5}{13}$，
$\mathrm{OA}=18$，$\angle \mathrm{OAB}=\angle \mathrm{OAC}={90}^\circ$
であるとき，辺$\mathrm{AB}$の長さおよび四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．
国立 岩手大学 2016年 第4問曲線$y=-x^3+3x^2+x-3$を$C$とし，曲線$C$上の点$(3,\ 0)$における接線を$\ell$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$p$を実数とし，点$(p,\ q_1)$は接線$\ell$上にあり，点$(p,\ q_2)$は曲線$C$上にあるとする．$p<3$の範囲を$p$が動くとき，$q_1-q_2$の最大値を求めよ．
(3)接線$\ell$と曲線$C$で囲まれた図形は，$y$軸によって$2$つの部分に分けられるが，それらの面積のうち小さい方を$S$，大きい方を$T$とするとき，$\displaystyle \frac{T}{S}$の値を求めよ．
(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$p$を実数とし，点$(p,\ q_1)$は接線$\ell$上にあり，点$(p,\ q_2)$は曲線$C$上にあるとする．$p<3$の範囲を$p$が動くとき，$q_1-q_2$の最大値を求めよ．
(3)接線$\ell$と曲線$C$で囲まれた図形は，$y$軸によって$2$つの部分に分けられるが，それらの面積のうち小さい方を$S$，大きい方を$T$とするとき，$\displaystyle \frac{T}{S}$の値を求めよ．
国立 鳥取大学 2016年 第1問$3$辺の長さが$x$，$x+1$，$x+2$である三角形が鈍角三角形となるような$x$の値の範囲を求めよ．
国立 鳥取大学 2016年 第4問$xy$平面上に$2$点$\mathrm{A}(0,\ 1)$，$\mathrm{B}(-2,\ 0)$と円$C:x^2+y^2-2y=0$，および直線$\ell:y=kx+2k$がある．ただし，$k$は実数とする．
(1)点$\mathrm{A}$と直線$\ell$の距離を$k$を用いて表せ．
(2)直線$\ell$と円$C$が異なる$2$点で交わるように，$k$の値の範囲を求めよ．
(3)直線$\ell$と円$C$が異なる$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で交わるとする．線分$\mathrm{PQ}$について，$\mathrm{PQ}=2 \sqrt{k}$が成り立つとき，$k$の値を求めよ．
(4)$(3)$で求めた$k$に対する直線$\ell$と直線$\mathrm{AB}$のなす角を$\theta$とする．このとき，$\tan \theta$の値を求めよ．ただし，$\displaystyle 0 \leqq \theta<\frac{\pi}{4}$とする．
(1)点$\mathrm{A}$と直線$\ell$の距離を$k$を用いて表せ．
(2)直線$\ell$と円$C$が異なる$2$点で交わるように，$k$の値の範囲を求めよ．
(3)直線$\ell$と円$C$が異なる$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で交わるとする．線分$\mathrm{PQ}$について，$\mathrm{PQ}=2 \sqrt{k}$が成り立つとき，$k$の値を求めよ．
(4)$(3)$で求めた$k$に対する直線$\ell$と直線$\mathrm{AB}$のなす角を$\theta$とする．このとき，$\tan \theta$の値を求めよ．ただし，$\displaystyle 0 \leqq \theta<\frac{\pi}{4}$とする．
国立 電気通信大学 2016年 第3問座標空間に$3$点$\mathrm{A}(-1,\ -1,\ 2)$，$\mathrm{B}(1,\ 1,\ 2)$，$\mathrm{C}(1,\ -1,\ -2)$をとる．線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とし，原点$\mathrm{O}$を中心として$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る球面を$S$とするとき，以下の問いに答えよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$，$\overrightarrow{\mathrm{CM}}$をそれぞれ成分で表せ．
(2)$\angle \mathrm{AMC}$の大きさ$\theta$を$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(4)原点$\mathrm{O}$から三角形$\mathrm{ABC}$に垂線$\mathrm{OH}$を下ろす．線分$\mathrm{OH}$の長さを求めよ．
(5)点$\mathrm{P}$が球面$S$上を動くとき，四面体$\mathrm{ABCP}$の体積の最大値を求めよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$，$\overrightarrow{\mathrm{CM}}$をそれぞれ成分で表せ．
(2)$\angle \mathrm{AMC}$の大きさ$\theta$を$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(4)原点$\mathrm{O}$から三角形$\mathrm{ABC}$に垂線$\mathrm{OH}$を下ろす．線分$\mathrm{OH}$の長さを求めよ．
(5)点$\mathrm{P}$が球面$S$上を動くとき，四面体$\mathrm{ABCP}$の体積の最大値を求めよ．
国立 福井大学 2016年 第2問原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に，$\mathrm{F}(5,\ 0)$を焦点の$1$つとし，直線$\ell:y=kx$と$\ell^\prime:y=-kx$とを漸近線にもつ双曲線$C$がある．ただし，$k>0$とする．$C$上の点$\mathrm{Q}(a,\ b)$を通り，$2$本の漸近線に平行な$2$直線のうち，傾きが正のものを$m$，傾きが負のものを$m^\prime$とする．$\ell$と$m^\prime$との交点を$\mathrm{P}$，$\ell^\prime$と$m$との交点を$\mathrm{R}$とし，四角形$\mathrm{OPQR}$の面積を$S$とおくとき，以下の問いに答えよ．
(1)双曲線$C$の方程式を$k$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$，$\mathrm{R}$の座標を，$a,\ b,\ k$を用いて表せ．
(3)$S$は点$\mathrm{Q}$のとり方によらないことを証明せよ．
(4)$k$が$k>0$の範囲を動くとき，$S$の最大値とそのときの$k$の値を求めよ．
(1)双曲線$C$の方程式を$k$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$，$\mathrm{R}$の座標を，$a,\ b,\ k$を用いて表せ．
(3)$S$は点$\mathrm{Q}$のとり方によらないことを証明せよ．
(4)$k$が$k>0$の範囲を動くとき，$S$の最大値とそのときの$k$の値を求めよ．
国立 東京海洋大学 2016年 第5問$t$が$0 \leqq t \leqq 1$の範囲を動くとき，$xy$平面上の$2$点$\mathrm{P}(t,\ t)$，$\mathrm{Q}(t-1,\ 1-t)$を結ぶ線分$\mathrm{PQ}$の通過する領域を$D$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$D$を図示せよ．
(2)$D$の面積を求めよ．
(1)$D$を図示せよ．
(2)$D$の面積を求めよ．
私立 日本医科大学 2016年 第3問座標平面上の$2$点$\mathrm{P}(t,\ t^2)$，$\mathrm{Q}(t-5,\ t^2-4t+2)$に対して，$t$が$1 \leqq t \leqq 3$の範囲を動くとき，以下の各問いに答えよ．
(1)線分$\mathrm{PQ}$を表す直線の方程式および定義域を，$t$を用いて表せ（答えのみでよい）．
(2)線分$\mathrm{PQ}$が通過する範囲$D$を求め，図示せよ．
(1)線分$\mathrm{PQ}$を表す直線の方程式および定義域を，$t$を用いて表せ（答えのみでよい）．
(2)線分$\mathrm{PQ}$が通過する範囲$D$を求め，図示せよ．
私立 同志社大学 2016年 第4問$n$を自然数，$k$を$0$以上の整数とする．また，$f(x)=|x \sin (nx)|$，$\displaystyle x_k=\frac{k \pi}{n}$，$\displaystyle \alpha_k=\frac{x_k+x_{k+1}}{2}$とする．次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle T_k=\int_{x_k}^{\alpha_k} f(x) \, dx$とする．$T_k$を$n,\ k$を用いて表し，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n T_k$を求めよ．
(2)$x_k \leqq x \leqq x_{k+1}$の範囲で，関数$f(x)$が最大値をとるときの$x$の値を$\beta_k$とする．$\displaystyle U_k=\int_{x_k}^{\beta_k} f(x) \, dx$とおくと，ある定数$b$を用いて$\displaystyle U_k=\frac{k \pi+b |\sin (n \beta_k)|}{n^2}$と表される．定数$b$の値を求めよ．また，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n U_k$を求めよ．
(3)$x_k \leqq x \leqq \alpha_k$の範囲で，関数$g(x)=|x \cos (nx)|$が最大値をとるときの$x$の値を$\gamma_k$とする．この$\gamma_k$と$(2)$の$\beta_k$に対して，$\displaystyle V_k=\int_{\gamma_k}^{\beta_k} f(x) \, dx$とおく．極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n V_k$を求めよ．
(1)$\displaystyle T_k=\int_{x_k}^{\alpha_k} f(x) \, dx$とする．$T_k$を$n,\ k$を用いて表し，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n T_k$を求めよ．
(2)$x_k \leqq x \leqq x_{k+1}$の範囲で，関数$f(x)$が最大値をとるときの$x$の値を$\beta_k$とする．$\displaystyle U_k=\int_{x_k}^{\beta_k} f(x) \, dx$とおくと，ある定数$b$を用いて$\displaystyle U_k=\frac{k \pi+b |\sin (n \beta_k)|}{n^2}$と表される．定数$b$の値を求めよ．また，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n U_k$を求めよ．
(3)$x_k \leqq x \leqq \alpha_k$の範囲で，関数$g(x)=|x \cos (nx)|$が最大値をとるときの$x$の値を$\gamma_k$とする．この$\gamma_k$と$(2)$の$\beta_k$に対して，$\displaystyle V_k=\int_{\gamma_k}^{\beta_k} f(x) \, dx$とおく．極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n V_k$を求めよ．
私立 南山大学 2016年 第1問$[ ]$の中に答を入れよ．
(1)$2$つの関数$f(x)=|x|$，$g(x)=ax+a^2+3a+1$がある．$g(0)>f(0)$となるとき，$a$のとりうる値の範囲は$[ア]$である．また，$y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフが$2$つの交点をもつとき，$a$のとりうる値の範囲は$[イ]$である．
(2)次のデータは，$5$個の乾電池について，ある実験で用いたときの持続時間$x$を調べたものである．
\[ 103, 93, 98, 88, 108 \text{（時間）} \]
$x$の平均値は$[ウ]$時間であり，$x$の分散を求めると$[エ]$である．
(3)$a_1=99$，$a_{n+1}=2a_n-100 (n=1,\ 2,\ \cdots)$で定義される数列$\{a_n\}$について，一般項$a_n$を$n$の式で表すと$a_n=[オ]$であり，$a_n<0$を満たす最小の自然数$n$の値を求めると$n=[カ]$である．
(4)$x$と$y$は$0<x<y$，$\log_2 x+2 \log_4 y=1$，$(\log_2 x)(\log_4 y)=-6$を満たす．$s=\log_2 x$，$t=\log_2 y$とおき$s+t$と$st$の値を求めると$(s+t,\ st)=[キ]$である．また，$x$と$y$の値を求めると$(x,\ y)=[ク]$である．
(1)$2$つの関数$f(x)=|x|$，$g(x)=ax+a^2+3a+1$がある．$g(0)>f(0)$となるとき，$a$のとりうる値の範囲は$[ア]$である．また，$y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフが$2$つの交点をもつとき，$a$のとりうる値の範囲は$[イ]$である．
(2)次のデータは，$5$個の乾電池について，ある実験で用いたときの持続時間$x$を調べたものである．
\[ 103, 93, 98, 88, 108 \text{（時間）} \]
$x$の平均値は$[ウ]$時間であり，$x$の分散を求めると$[エ]$である．
(3)$a_1=99$，$a_{n+1}=2a_n-100 (n=1,\ 2,\ \cdots)$で定義される数列$\{a_n\}$について，一般項$a_n$を$n$の式で表すと$a_n=[オ]$であり，$a_n<0$を満たす最小の自然数$n$の値を求めると$n=[カ]$である．
(4)$x$と$y$は$0<x<y$，$\log_2 x+2 \log_4 y=1$，$(\log_2 x)(\log_4 y)=-6$を満たす．$s=\log_2 x$，$t=\log_2 y$とおき$s+t$と$st$の値を求めると$(s+t,\ st)=[キ]$である．また，$x$と$y$の値を求めると$(x,\ y)=[ク]$である．