「等比数列」について
タグ「等比数列」の検索結果
（2ページ目：全103問中11問～20問を表示）
私立 慶應義塾大学 2016年 第2問以下の条件で定められる数列$\{a_n\}$がある．
\[ a_1=\frac{1}{10},\quad a_{n+1}=\frac{1}{100}a_n+\frac{1}{10} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
(1)$\{a_n\}$の階差数列$\{b_n\}$を$b_n=a_{n+1}-a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定める．$\{b_n\}$は等比数列で，初項を$\displaystyle \frac{1}{{10}^p}$，公比を$\displaystyle \frac{1}{{10}^q}$とおくと，$p=[$13$]$，$q=[$14$]$となる．ゆえに，$\{b_n\}$の第$n$項を
\[ b_n=\frac{1}{{10}^{rn+s}} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
とおくと，$r=[$15$]$，$s=[$16$]$となる．さらに，$\{a_n\}$の第$n$項は，
\[ a_n=a_1+\sum_{k=[$17$]}^{n+[$18$][$19$]} b_k=\frac{\displaystyle\frac{1}{{10}^t} \left( 1-\frac{1}{{10}^{un}} \right)}{1-\displaystyle\frac{1}{{10}^v}} \quad (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots) \]
と求められる．ここで，$t=[$20$]$，$u=[$21$]$，$v=[$22$]$である．
(2)$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{{10}^{2k} a_k a_{k+1}} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく．関係式
\[ \frac{b_k}{a_k a_{k+1}}=\frac{[$23$][$24$]}{a_k}+\frac{[$25$][$26$]}{a_{k+1}} \quad (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を用いて計算すると，
\[ S_n=\frac{{10}^w \left( 1-\displaystyle\frac{1}{{10}^{xn}} \right)}{1-\displaystyle\frac{1}{{10}^{yn+z}}} \]
となる．ここで，$w=[$27$]$，$x=[$28$]$，$y=[$29$]$，$z=[$30$]$である．
(3)$({100}^{n+1}-1)S_n$は$[$31$]n+[$32$][$33$]$桁の整数になる．
\[ a_1=\frac{1}{10},\quad a_{n+1}=\frac{1}{100}a_n+\frac{1}{10} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
(1)$\{a_n\}$の階差数列$\{b_n\}$を$b_n=a_{n+1}-a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定める．$\{b_n\}$は等比数列で，初項を$\displaystyle \frac{1}{{10}^p}$，公比を$\displaystyle \frac{1}{{10}^q}$とおくと，$p=[$13$]$，$q=[$14$]$となる．ゆえに，$\{b_n\}$の第$n$項を
\[ b_n=\frac{1}{{10}^{rn+s}} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
とおくと，$r=[$15$]$，$s=[$16$]$となる．さらに，$\{a_n\}$の第$n$項は，
\[ a_n=a_1+\sum_{k=[$17$]}^{n+[$18$][$19$]} b_k=\frac{\displaystyle\frac{1}{{10}^t} \left( 1-\frac{1}{{10}^{un}} \right)}{1-\displaystyle\frac{1}{{10}^v}} \quad (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots) \]
と求められる．ここで，$t=[$20$]$，$u=[$21$]$，$v=[$22$]$である．
(2)$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{{10}^{2k} a_k a_{k+1}} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく．関係式
\[ \frac{b_k}{a_k a_{k+1}}=\frac{[$23$][$24$]}{a_k}+\frac{[$25$][$26$]}{a_{k+1}} \quad (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を用いて計算すると，
\[ S_n=\frac{{10}^w \left( 1-\displaystyle\frac{1}{{10}^{xn}} \right)}{1-\displaystyle\frac{1}{{10}^{yn+z}}} \]
となる．ここで，$w=[$27$]$，$x=[$28$]$，$y=[$29$]$，$z=[$30$]$である．
(3)$({100}^{n+1}-1)S_n$は$[$31$]n+[$32$][$33$]$桁の整数になる．
私立 立教大学 2016年 第3問実数$c$を$\displaystyle c<\frac{3}{2}$とし，$f(x)=(x-4)(x^2-3x-c^2+3c)$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)曲線$y=f(x)$と$x$軸が異なる$3$点で交わり，それら$3$つの交点の$x$座標がすべて正となるときの$c$の値の範囲を求めよ．
(2)$(1)$の$3$つの交点の$x$座標を小さい順に並べると等差数列となるときの$c$の値を求めよ．また，このときの交点の$x$座標をすべて求めよ．
(3)$(1)$の$3$つの交点の$x$座標を小さい順に並べると等比数列となるときの$c$の値を求めよ．また，このときの交点の$x$座標をすべて求めよ．
(4)$(2)$の場合の曲線$y=f(x)$を$C_1$とし，$(2)$の場合の曲線$y=f(x)$を$C_2$とする．曲線$C_1,\ C_2$と，$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．
(1)曲線$y=f(x)$と$x$軸が異なる$3$点で交わり，それら$3$つの交点の$x$座標がすべて正となるときの$c$の値の範囲を求めよ．
(2)$(1)$の$3$つの交点の$x$座標を小さい順に並べると等差数列となるときの$c$の値を求めよ．また，このときの交点の$x$座標をすべて求めよ．
(3)$(1)$の$3$つの交点の$x$座標を小さい順に並べると等比数列となるときの$c$の値を求めよ．また，このときの交点の$x$座標をすべて求めよ．
(4)$(2)$の場合の曲線$y=f(x)$を$C_1$とし，$(2)$の場合の曲線$y=f(x)$を$C_2$とする．曲線$C_1,\ C_2$と，$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．
私立 広島工業大学 2016年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$a,\ b$は実数とする．$3$次方程式$x^3+x^2+ax+b=0$が$1+i$を解にもつとき，$a,\ b$の値を求めよ．また他の解を求めよ．
(2)関数$y=\cos^2 \theta-4 \sin \theta+7$の最大値と最小値を求めよ．ただし，$0 \leqq \theta \leqq \pi$とする．
(3)初項$\displaystyle \frac{2}{3}$，公比$\displaystyle \frac{1}{3}$の等比数列$\{a_n\}$を考える．初項から第$n$項までの和$S_n$が$0.998$を超える最小の自然数$n$を求めよ．
(1)$a,\ b$は実数とする．$3$次方程式$x^3+x^2+ax+b=0$が$1+i$を解にもつとき，$a,\ b$の値を求めよ．また他の解を求めよ．
(2)関数$y=\cos^2 \theta-4 \sin \theta+7$の最大値と最小値を求めよ．ただし，$0 \leqq \theta \leqq \pi$とする．
(3)初項$\displaystyle \frac{2}{3}$，公比$\displaystyle \frac{1}{3}$の等比数列$\{a_n\}$を考える．初項から第$n$項までの和$S_n$が$0.998$を超える最小の自然数$n$を求めよ．
私立 埼玉工業大学 2016年 第1問次の$[ ]$にあてはまるものを記入せよ．
(1)整式$P(x)$を$(x+1)^3$で割ったときの余りが$x^2-x+1$のとき，$P(x)$を$(x+1)^2$で割った余りは，$[アイ]x$である．
(2)無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \left\{ \left( \frac{1}{2} \right)^n+\left( \frac{1}{3} \right)^n \right\}$の和は，$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エ]}$である．
(3)正の整数$a,\ b$について，$a$を$5$で割ると余りが$2$，$b$を$5$で割ると余りが$3$である．積$ab$を$5$で割ったとき，余りは$[オ]$となる．
(4)$3$つの数$4,\ a,\ b$は，この順に等差数列をなし，$a,\ b,\ 4$は，この順に等比数列をなす．このとき$a=[カ]$，$b=[キク]$である．ただし，$a$と$b$は等しくないとする．
(1)整式$P(x)$を$(x+1)^3$で割ったときの余りが$x^2-x+1$のとき，$P(x)$を$(x+1)^2$で割った余りは，$[アイ]x$である．
(2)無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \left\{ \left( \frac{1}{2} \right)^n+\left( \frac{1}{3} \right)^n \right\}$の和は，$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エ]}$である．
(3)正の整数$a,\ b$について，$a$を$5$で割ると余りが$2$，$b$を$5$で割ると余りが$3$である．積$ab$を$5$で割ったとき，余りは$[オ]$となる．
(4)$3$つの数$4,\ a,\ b$は，この順に等差数列をなし，$a,\ b,\ 4$は，この順に等比数列をなす．このとき$a=[カ]$，$b=[キク]$である．ただし，$a$と$b$は等しくないとする．
公立 九州歯科大学 2016年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$5 \sin \theta \cos \theta=2$のとき，$\displaystyle A=\tan \theta+\frac{1}{\tan \theta}$，$B=(\sin \theta)^4+(\cos \theta)^4$，$C=(\sin \theta)^8+(\cos \theta)^8$の値を求めよ．
(2)等比数列$\{a_n\}$の初項を$a_1=\alpha$，公比を$r$とする．自然数$n$に対して，$b_n=\log_3 a_n$とおく．数列$\{b_n\}$が初項$b_1=4$，公差$d=-2$の等差数列となるとき，$\alpha$と$r$の値を求めよ．また，$\displaystyle \beta=8 \sum_{n=1}^{\infty} a_n$の値を求めよ．ただし，$\alpha>0$，$r>0$とする．
(3)定積分$\displaystyle I=\int_{-2}^3 (3 \sqrt{x^4-6x^2+9}-4x) \, dx$の値を求めよ．
(1)$5 \sin \theta \cos \theta=2$のとき，$\displaystyle A=\tan \theta+\frac{1}{\tan \theta}$，$B=(\sin \theta)^4+(\cos \theta)^4$，$C=(\sin \theta)^8+(\cos \theta)^8$の値を求めよ．
(2)等比数列$\{a_n\}$の初項を$a_1=\alpha$，公比を$r$とする．自然数$n$に対して，$b_n=\log_3 a_n$とおく．数列$\{b_n\}$が初項$b_1=4$，公差$d=-2$の等差数列となるとき，$\alpha$と$r$の値を求めよ．また，$\displaystyle \beta=8 \sum_{n=1}^{\infty} a_n$の値を求めよ．ただし，$\alpha>0$，$r>0$とする．
(3)定積分$\displaystyle I=\int_{-2}^3 (3 \sqrt{x^4-6x^2+9}-4x) \, dx$の値を求めよ．
公立 県立広島大学 2016年 第1問数列$\{a_n\}$の初項を$a \neq 0$とし，初項から第$n$項までの和を
\[ S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n \]
とする．また，数列$\{b_n\}$を
\[ b_n=2a_n+\frac{3}{2}a-S_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．このとき，次の問いに答えよ．
(1)数列$\{b_n\}$の初項$b$を$a$を用いて表せ．
(2)数列$\{a_n\}$が公比$\displaystyle \frac{1}{3}$の等比数列ならば，数列$\{b_n\}$も等比数列になることを示せ．
(3)数列$\{b_n\}$が公比$\displaystyle \frac{1}{3}$の等比数列ならば，数列$\{a_n\}$も等比数列になることを示せ．
\[ S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n \]
とする．また，数列$\{b_n\}$を
\[ b_n=2a_n+\frac{3}{2}a-S_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．このとき，次の問いに答えよ．
(1)数列$\{b_n\}$の初項$b$を$a$を用いて表せ．
(2)数列$\{a_n\}$が公比$\displaystyle \frac{1}{3}$の等比数列ならば，数列$\{b_n\}$も等比数列になることを示せ．
(3)数列$\{b_n\}$が公比$\displaystyle \frac{1}{3}$の等比数列ならば，数列$\{a_n\}$も等比数列になることを示せ．
国立 埼玉大学 2015年 第3問数列$\{a_n\}$は初項が$4$で，$A,\ B$をある定数として
\[ a_{n+1}=\frac{Aa_n+B}{a_n+2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で与えられている．数列$\{b_n\}$は等比数列であり，関係式
\[ a_nb_n-a_n+b_n+3=0 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
をみたす．このとき下記の設問に答えよ．
(1)$A,\ B$を求めよ．
(2)数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
\[ a_{n+1}=\frac{Aa_n+B}{a_n+2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で与えられている．数列$\{b_n\}$は等比数列であり，関係式
\[ a_nb_n-a_n+b_n+3=0 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
をみたす．このとき下記の設問に答えよ．
(1)$A,\ B$を求めよ．
(2)数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
国立 埼玉大学 2015年 第1問$c$は実数とする．数列$a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots$は$a_1=1$，$a_2=c$であり，さらに漸化式
\[ a_{n+2}=a_{n+1}+a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たすとする．次の問いに答えよ．
(1)$a_3={a_2}^2$が成り立つような$c$の値を求めよ．
(2)$c$が$(1)$で求めた値のとき，数列$a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots$が等比数列であることを数学的帰納法を用いて示せ．
(3)$(1)$で求めた$c$の値のうち，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=0$となるものを求めよ．
(4)$c$が$(3)$で求めた値のとき，$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$を求めよ．
\[ a_{n+2}=a_{n+1}+a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たすとする．次の問いに答えよ．
(1)$a_3={a_2}^2$が成り立つような$c$の値を求めよ．
(2)$c$が$(1)$で求めた値のとき，数列$a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots$が等比数列であることを数学的帰納法を用いて示せ．
(3)$(1)$で求めた$c$の値のうち，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=0$となるものを求めよ．
(4)$c$が$(3)$で求めた値のとき，$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$を求めよ．
国立 愛媛大学 2015年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^3$からその整数部分を引いた値を$a$とするとき，$a^2+4a+5$の値を求めよ．
(2)次の連立方程式を解け．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
\log_2x-\log_2y=1 \\
x \log_2 x-y \log_2 y=0
\end{array} \right. \]
(3)$s,\ t$を実数とする．座標空間内の同一平面上にある$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(4,\ s,\ t)$，$\mathrm{B}(2,\ 3,\ 2)$，$\mathrm{C}(0,\ 5,\ 1)$が$\angle \mathrm{AOB}={90}^\circ$をみたすとき，$s,\ t$の値を求めよ．
(4)初項が$3$，公比が$4$である等比数列の第$k$項を$a_k$とする．このとき，$\displaystyle \sum_{k=n}^{n^2}a_k$を求めよ．
(1)$\displaystyle \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^3$からその整数部分を引いた値を$a$とするとき，$a^2+4a+5$の値を求めよ．
(2)次の連立方程式を解け．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
\log_2x-\log_2y=1 \\
x \log_2 x-y \log_2 y=0
\end{array} \right. \]
(3)$s,\ t$を実数とする．座標空間内の同一平面上にある$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(4,\ s,\ t)$，$\mathrm{B}(2,\ 3,\ 2)$，$\mathrm{C}(0,\ 5,\ 1)$が$\angle \mathrm{AOB}={90}^\circ$をみたすとき，$s,\ t$の値を求めよ．
(4)初項が$3$，公比が$4$である等比数列の第$k$項を$a_k$とする．このとき，$\displaystyle \sum_{k=n}^{n^2}a_k$を求めよ．
国立 群馬大学 2015年 第5問$p$は素数とし，$m,\ n$は整数で$m \neq 0$とする．$n,\ p-m,\ m+n$がこの順で等差数列になり，$p-m,\ n,\ p+m$がこの順で等比数列になるとき，$p,\ m,\ n$を求めよ．