タグ「等比数列」の検索結果

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お茶の水女子大学 国立 お茶の水女子大学 2016年 第1問
$n$を自然数,$0<a<b$とする.$n+2$個の正の実数
\[ a,\ c_1,\ c_2,\ \cdots,\ c_n,\ b \]
がこの順に等差数列であり,$n+2$個の正の実数
\[ a,\ e_1,\ e_2,\ \cdots,\ e_n,\ b \]
がこの順に等比数列であるとする.

(1)$c_1c_n$と$e_1e_n$のどちらが大きいか理由とともに答えよ.
(2)$c_1+c_n$と$e_1+e_n$のどちらが大きいか理由とともに答えよ.
(3)$i=1,\ \cdots,\ n$について,$c_i$と$e_i$のどちらが大きいか理由とともに答えよ.
お茶の水女子大学 国立 お茶の水女子大学 2016年 第1問
$n$を自然数,$0<a<b$とする.$n+2$個の正の実数
\[ a,\ c_1,\ c_2,\ \cdots,\ c_n,\ b \]
がこの順に等差数列であり,$n+2$個の正の実数
\[ a,\ e_1,\ e_2,\ \cdots,\ e_n,\ b \]
がこの順に等比数列であるとする.

(1)$c_1c_n$と$e_1e_n$のどちらが大きいか理由とともに答えよ.
(2)$c_1+c_n$と$e_1+e_n$のどちらが大きいか理由とともに答えよ.
(3)$i=1,\ \cdots,\ n$について,$c_i$と$e_i$のどちらが大きいか理由とともに答えよ.
お茶の水女子大学 国立 お茶の水女子大学 2016年 第1問
$n$を自然数,$0<a<b$とする.$n+2$個の正の実数
\[ a,\ c_1,\ c_2,\ \cdots,\ c_n,\ b \]
がこの順に等差数列であり,$n+2$個の正の実数
\[ a,\ e_1,\ e_2,\ \cdots,\ e_n,\ b \]
がこの順に等比数列であるとする.

(1)$c_1c_n$と$e_1e_n$のどちらが大きいか理由とともに答えよ.
(2)$c_1+c_n$と$e_1+e_n$のどちらが大きいか理由とともに答えよ.
(3)$i=1,\ \cdots,\ n$について,$c_i$と$e_i$のどちらが大きいか理由とともに答えよ.
大分大学 国立 大分大学 2016年 第4問
初項$3$の数列$\{a_n\}$がある.$b_n=a_{n+1}-3a_n$とするとき,数列$\{b_n\}$は初項$6$,公比$3$の等比数列である.

(1)$\displaystyle c_n=\frac{a_n}{3^n}$とするとき,$c_{n+1}-c_n$を求めなさい.
(2)$a_n$を$n$の式で表しなさい.
(3)$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n a_k$とするとき,$S_n$を$n$の式で表しなさい.
九州工業大学 国立 九州工業大学 2016年 第2問
$s>0$,$t>0$とする.正の数からなる$2$つの数列$\{a_n\}$,$\{b_n\}$は初項と第$2$項が$a_1=b_1=s$,$a_2=b_2=t$であり,すべての自然数$n$に対して
\[ a_{n+2}=\frac{a_{n+1}+a_n}{2},\quad b_{n+2}=\sqrt{b_{n+1}b_n} \]
をみたすとする.次に答えよ.

(1)$a_3,\ b_3,\ a_4,\ b_4$を$s,\ t$を用いて表せ.
(2)自然数$n$に対して,$c_n=a_{n+1}-a_n$とおく.数列$\{c_n\}$は等比数列であることを示し,一般項を求めよ.さらに,数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ.
(3)自然数$n$に対して,$d_n=\log b_n$とおく.数列$\{d_n\}$の一般項を求めよ.さらに,数列$\{b_n\}$の一般項を$s$の累乗と$t$の累乗を用いて表せ.ただし,対数は自然対数とする.
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$と$\displaystyle \lim_{n \to \infty}b_n$を求めよ.
(5)$t=s$は$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=\lim_{n \to \infty}b_n$であるための必要十分条件であることを示せ.
電気通信大学 国立 電気通信大学 2016年 第2問
等比数列$\{a_n\}$と等差数列$\{b_n\}$を次の通りとする.
\[ a_n=\left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^{n-3},\quad b_n=\frac{3 \pi (n-1)}{4} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
これらを用いて,座標平面上の点$\mathrm{P}_n$を
\[ \mathrm{P}_n (a_n \cos b_n,\ a_n \sin b_n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める.このとき,以下の問いに答えよ.

(1)点$\mathrm{P}_4$が線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$の中点であることを示せ.
(2)線分$\mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1}$の長さ$l_n$を$n$の式で表せ.
(3)極限値$\displaystyle L=\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n l_k$を求めよ.
(4)座標平面上の曲線$C$が媒介変数$t$と定数$\alpha,\ \beta$を用いて,
\[ x=2^{\alpha t+\beta} \cos t,\quad y=2^{\alpha t+\beta} \sin t \]
と表されるとする.曲線$C$が$t=0$で点$\mathrm{P}_1$を通り,$\displaystyle t=\frac{3 \pi}{4}$で点$\mathrm{P}_2$を通るとき,$\alpha,\ \beta$の値を求めよ.
(5)$(4)$で求めた$\alpha,\ \beta$の値に対し,曲線$C$がすべての点$\mathrm{P}_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を通ることを示せ.
慶應義塾大学 私立 慶應義塾大学 2016年 第3問
数列$\{a_n\}$,$\{b_n\}$はそれぞれ公比を$r_a,\ r_b$とする等比数列である.$a_2-a_1=2+\sqrt{5}$であり,$a_3-a_1$は$a_2+a_1$の$\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}$倍である.$\{b_n\}$は,$\displaystyle b_n=\left( \frac{7-3 \sqrt{5}}{2} \right)^n a_n$とする.また,数列$\{c_n\}$は,$\displaystyle c_n=\frac{1}{r_a-r_b}(a_n-b_n)$とする.ただし,$n$は自然数とする.このとき,

(1)$\displaystyle r_a=\frac{[$32$]+\sqrt{[$33$]}}{[$34$]}$である.

(2)$c_4=[$35$][$36$]$である.

(3)$\displaystyle \frac{c_{16}}{c_8}=\kakkofour{$37$}{$38$}{$39$}{$40$}$である.
自治医科大学 私立 自治医科大学 2016年 第16問
数列$\{a_n\}$は,初項が$1$,公比$2$の等比数列であるとする.$\displaystyle S=\sum_{n=1}^{101}a_n$としたとき,$S+1$は,$(30+b)$桁の整数になる.$b$の値を求めよ.ただし,$\log_{10}2=0.3010$とする.
慶應義塾大学 私立 慶應義塾大学 2016年 第1問
以下の問いに答えよ.

(1)$k$を自然数とする.数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とするとき,$\{S_n\}$が初項$k$,公比$k$の等比数列であるとする.
\begin{itemize}
$k=3$の場合,$a_n \geqq 5000$を満たすのは$n \geqq [$1$]$のときである.
$a_n$が$100$の倍数となる$n$が存在するような$10$以下の自然数$k$は$[$2$]$つあり,このとき,$a_n$が$100$の倍数となるのは$n \geqq [$3$]$のときである.
\end{itemize}
(2)$\alpha$を$0 \leqq \alpha<2\pi$を満たす定数とする.実数$t$が$0 \leqq t \leqq 2\pi$の範囲で変化するとき,座標平面上の点$\mathrm{P}(\sin t,\ \sin (t+\alpha))$の軌跡を$\mathrm{T}$とする.
\begin{itemize}
$\mathrm{T}$が線分となるような$\alpha$の値をすべて記せ.
$\mathrm{T}$が原点を中心とする円となるような$\alpha$の値をすべて記せ.
\end{itemize}
神戸薬科大学 私立 神戸薬科大学 2016年 第3問
実数$a,\ b,\ c$がこの順で等比数列をなし,公比$r>1$であった.$a+b+c=21$,$abc=216$であるとき,$a,\ b,\ c$と$r$の値を求めると,$a=[サ]$,$b=[シ]$,$c=[ス]$,$r=[セ]$である.
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「等比数列」とは・・・

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