「等式」について
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国立 鳥取大学 2012年 第2問$a,\ b,\ c$を正の整数とするとき，等式
\[ \left( 1+\frac{1}{a} \right) \left( 1+\frac{1}{b} \right) \left( 1+\frac{1}{c} \right)=2 \cdots (*) \]
について次の問いに答えよ．
(1)$c=1$のとき，等式$(*)$を満たす正の整数$a,\ b$は存在しないことを示せ．
(2)$c=2$のとき，等式$(*)$を満たす正の整数$a$と$b$の組で$a \geqq b$を満たすものをすべて求めよ．
(3)等式$(*)$を満たす正の整数の組$(a,\ b,\ c)$で$a \geqq b \geqq c$を満たすものをすべて求めよ．
\[ \left( 1+\frac{1}{a} \right) \left( 1+\frac{1}{b} \right) \left( 1+\frac{1}{c} \right)=2 \cdots (*) \]
について次の問いに答えよ．
(1)$c=1$のとき，等式$(*)$を満たす正の整数$a,\ b$は存在しないことを示せ．
(2)$c=2$のとき，等式$(*)$を満たす正の整数$a$と$b$の組で$a \geqq b$を満たすものをすべて求めよ．
(3)等式$(*)$を満たす正の整数の組$(a,\ b,\ c)$で$a \geqq b \geqq c$を満たすものをすべて求めよ．
私立 早稲田大学 2012年 第3問$x$-$y$平面上に$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\displaystyle \mathrm{A} \left( \frac{1}{\sqrt{2}},\ 0 \right)$，$\displaystyle \mathrm{B} \left( 0,\ \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$をとり，図のように，$\triangle \mathrm{OAB}$の各辺上または内部に，$\mathrm{DE} \para \mathrm{OB}$かつ$\angle \mathrm{DCE}$を直角とする二等辺三角形$\mathrm{CDE}$をとる．点$\mathrm{C}$，$\mathrm{E}$はそれぞれ$\mathrm{OB}$，$\mathrm{AB}$上の点とする．線分$\mathrm{CE}$の長さを$m (>0)$とおくとき，次の各問に答えよ．
(1)$m$の最大値を求めよ．
(2)$s,\ t$を正数とし，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OC}}+s \overrightarrow{\mathrm{CD}}+t \overrightarrow{\mathrm{CE}}$を$[ア] \overrightarrow{\mathrm{OA}}+[イ] \overrightarrow{\mathrm{OB}}$と表すとき，空欄$[ア]$，$[イ]$をそれぞれ$s,\ t$および$m$の式で表せ.
(3)等式$\overrightarrow{\mathrm{OC}}+s \overrightarrow{\mathrm{CD}}+t \overrightarrow{\mathrm{CE}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$をみたす$s$，$t$をそれぞれ$m$の式で表せ．
(4)(3)で求めた$s,\ t$を用いて，点$\mathrm{P}(x,\ y)$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$によって定める．このとき，$\displaystyle \frac{y}{x}$を$\displaystyle \frac{1}{m}$の式で表せ．
(5)(4)における点$\mathrm{P}(x,\ y)$の軌跡は$x,\ y$の方程式
\[ (x+[ウ])^2+(y-[エ])^2=[オ] \]
で表される．このとき，空欄$[ウ]$，$[エ]$，$[オ]$にあてはまる数値を求めよ．
（図は省略）
(1)$m$の最大値を求めよ．
(2)$s,\ t$を正数とし，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OC}}+s \overrightarrow{\mathrm{CD}}+t \overrightarrow{\mathrm{CE}}$を$[ア] \overrightarrow{\mathrm{OA}}+[イ] \overrightarrow{\mathrm{OB}}$と表すとき，空欄$[ア]$，$[イ]$をそれぞれ$s,\ t$および$m$の式で表せ.
(3)等式$\overrightarrow{\mathrm{OC}}+s \overrightarrow{\mathrm{CD}}+t \overrightarrow{\mathrm{CE}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$をみたす$s$，$t$をそれぞれ$m$の式で表せ．
(4)(3)で求めた$s,\ t$を用いて，点$\mathrm{P}(x,\ y)$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$によって定める．このとき，$\displaystyle \frac{y}{x}$を$\displaystyle \frac{1}{m}$の式で表せ．
(5)(4)における点$\mathrm{P}(x,\ y)$の軌跡は$x,\ y$の方程式
\[ (x+[ウ])^2+(y-[エ])^2=[オ] \]
で表される．このとき，空欄$[ウ]$，$[エ]$，$[オ]$にあてはまる数値を求めよ．
（図は省略）
私立 早稲田大学 2012年 第1問$[ア]$～$[エ]$にあてはまる数または式を解答用紙の所定欄に記入せよ．
(1)次の等式
\[ \log_3x - \frac{1}{\log_9x} = (-1)^x \]
を満たす正の整数$x$の値は$[ア]$である
(2)定数関数でない関数$f(x)$が
\[ f(x) = x^2 - \int_0^1 (f(t)+x)^2dt \]
を満たすとき，$f(x)=[イ]$である．
(3)$0<\theta \leqq 180^\circ$とする．数列$\{a_n\}$を次で定める．
\[ a_1 = \cos\theta, \quad a_{n+1}= a_n^2-1 \]
このとき，$a_4 = a_5$となる$\cos\theta$の最大値は$[ウ]$である．
(4)体積が$1$の正四面体の各辺の中点を頂点とする正八面体の体積は$[エ]$である．
(1)次の等式
\[ \log_3x - \frac{1}{\log_9x} = (-1)^x \]
を満たす正の整数$x$の値は$[ア]$である
(2)定数関数でない関数$f(x)$が
\[ f(x) = x^2 - \int_0^1 (f(t)+x)^2dt \]
を満たすとき，$f(x)=[イ]$である．
(3)$0<\theta \leqq 180^\circ$とする．数列$\{a_n\}$を次で定める．
\[ a_1 = \cos\theta, \quad a_{n+1}= a_n^2-1 \]
このとき，$a_4 = a_5$となる$\cos\theta$の最大値は$[ウ]$である．
(4)体積が$1$の正四面体の各辺の中点を頂点とする正八面体の体積は$[エ]$である．
私立 立教大学 2012年 第1問次の空欄$[ア]$から$[コ]$に当てはまる数または式を記入せよ．
(1)方程式$(x+3)|x-4|+2x+6=0$の解は$x=[ア]$である．
(2)曲線$y=x^3-3x^2+1$上の点$(1,\ -1)$における接線が，放物線$y=ax^2+a$と接するとき，$a=[イ]$である．ただし，$a>0$とする．
(3)$\displaystyle\frac{1}{2-i}+\frac{1}{3+i}=a+bi$となる実数$a,\ b$を求めると，$a=[ウ]$，$b=[エ]$である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(4)白玉$4$個と赤玉$2$個が入っている袋がある．この袋から同時に玉を$3$個とりだすとき，白玉の数がちょうど$2$個である確率は$[オ]$である．
(5)$\displaystyle\tan \theta=\frac{1}{2}$のとき，$\displaystyle\frac{\sin \theta}{1+\cos \theta} = [カ]$である．ただし，$\displaystyle 0 < \theta < \frac{\pi}{2}$とする．
(6)実数$x$が$x>1$の範囲を動くとき，$\log_3 x + 3\log_x 3$の最小値は$[キ]$である．
(7)関数$f(x)$が実数$a$に対して，等式$\displaystyle\int_a^x f(t)\, dt = x^3+x^2-6x-a^2-9$を満たすとき，$a$の値は$[ク]$である．
(8)$\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{D}$があり，$\triangle \mathrm{ABD}$と$\triangle \mathrm{ACD}$の面積の比が$3:2$であるとき，$\overrightarrow{\mathrm{AD}} = [ケ]\overrightarrow{\mathrm{AB}}+[コ]\overrightarrow{\mathrm{AC}}$である．
(1)方程式$(x+3)|x-4|+2x+6=0$の解は$x=[ア]$である．
(2)曲線$y=x^3-3x^2+1$上の点$(1,\ -1)$における接線が，放物線$y=ax^2+a$と接するとき，$a=[イ]$である．ただし，$a>0$とする．
(3)$\displaystyle\frac{1}{2-i}+\frac{1}{3+i}=a+bi$となる実数$a,\ b$を求めると，$a=[ウ]$，$b=[エ]$である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(4)白玉$4$個と赤玉$2$個が入っている袋がある．この袋から同時に玉を$3$個とりだすとき，白玉の数がちょうど$2$個である確率は$[オ]$である．
(5)$\displaystyle\tan \theta=\frac{1}{2}$のとき，$\displaystyle\frac{\sin \theta}{1+\cos \theta} = [カ]$である．ただし，$\displaystyle 0 < \theta < \frac{\pi}{2}$とする．
(6)実数$x$が$x>1$の範囲を動くとき，$\log_3 x + 3\log_x 3$の最小値は$[キ]$である．
(7)関数$f(x)$が実数$a$に対して，等式$\displaystyle\int_a^x f(t)\, dt = x^3+x^2-6x-a^2-9$を満たすとき，$a$の値は$[ク]$である．
(8)$\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{D}$があり，$\triangle \mathrm{ABD}$と$\triangle \mathrm{ACD}$の面積の比が$3:2$であるとき，$\overrightarrow{\mathrm{AD}} = [ケ]\overrightarrow{\mathrm{AB}}+[コ]\overrightarrow{\mathrm{AC}}$である．
私立 青森中央学院大学 2012年 第3問等式$\displaystyle \frac{4}{1-x^4} = \frac{A}{1-x} + \frac{B}{1+x} + \frac{C}{1+x^2}$が$x$についての恒等式となるように，定数$A,\ B,\ C$を定める．定数$C$の値を求めよ．
私立 立教大学 2012年 第1問次の空欄ア～ケに当てはまる数または式を記入せよ．
(1)$(x-2y)^8$の展開式における$x^5y^3$の係数は[ア]である．
(2)$\displaystyle \int_0^2 (x^2-ax+2)\, dx=0$の等式を満たす定数$a$の値は[イ]である．
(3)$1$から$200$までの整数で，$3$および$7$のいずれでも割りきれない数の個数は[ウ]個である．
(4)方程式$5x+3y+z=15$を満たす自然数$x,\ y,\ z$の組の個数は[エ]個である．
(5)原点$\mathrm{O}$から出発して数直線上を動く点$\mathrm{P}$がある．点$\mathrm{P}$は，サイコロを振って偶数の目が出るとその目の数に$+3$をかけた数だけ移動し，奇数の目が出るとその目の数に$-2$をかけた数だけ移動する．このサイコロを$1$回振るときの点$\mathrm{P}$の数直線上の位置の期待値は[オ]である．
(6)$a=\log_2 5,\ b=\log_2 9$とおく．$\log_4 150$を$a,\ b$を用いて表すと[カ]である．
(7)複素数$z$が$\displaystyle z=\frac{a}{1-3i}+\frac{bi}{1+3i}$で与えられたとき，$z=4i$となるような実数$a,\ b$を求めると，$a=[キ],\ b=[ク]$である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(8)$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に長さが等しいベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(2,\ 6)$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$がある．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$のなす角が$\displaystyle \frac{\pi}{3}$であるとき，点$\mathrm{Q}$の$x$座標は[ケ]である．ただし，点$\mathrm{Q}$の$x$座標は$2$より小さいとする．
(1)$(x-2y)^8$の展開式における$x^5y^3$の係数は[ア]である．
(2)$\displaystyle \int_0^2 (x^2-ax+2)\, dx=0$の等式を満たす定数$a$の値は[イ]である．
(3)$1$から$200$までの整数で，$3$および$7$のいずれでも割りきれない数の個数は[ウ]個である．
(4)方程式$5x+3y+z=15$を満たす自然数$x,\ y,\ z$の組の個数は[エ]個である．
(5)原点$\mathrm{O}$から出発して数直線上を動く点$\mathrm{P}$がある．点$\mathrm{P}$は，サイコロを振って偶数の目が出るとその目の数に$+3$をかけた数だけ移動し，奇数の目が出るとその目の数に$-2$をかけた数だけ移動する．このサイコロを$1$回振るときの点$\mathrm{P}$の数直線上の位置の期待値は[オ]である．
(6)$a=\log_2 5,\ b=\log_2 9$とおく．$\log_4 150$を$a,\ b$を用いて表すと[カ]である．
(7)複素数$z$が$\displaystyle z=\frac{a}{1-3i}+\frac{bi}{1+3i}$で与えられたとき，$z=4i$となるような実数$a,\ b$を求めると，$a=[キ],\ b=[ク]$である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(8)$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に長さが等しいベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(2,\ 6)$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$がある．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$のなす角が$\displaystyle \frac{\pi}{3}$であるとき，点$\mathrm{Q}$の$x$座標は[ケ]である．ただし，点$\mathrm{Q}$の$x$座標は$2$より小さいとする．
私立 倉敷芸術科学大学 2012年 第5問等式$\displaystyle f(x) = x^2+x \int_0^1 f(t) \, dt + \int_{-1}^1 f(t) \, dt$を満たす関数$f(x)$を求めよ．
私立 自治医科大学 2012年 第3問等式$\displaystyle \frac{4}{1-x^4}=\frac{A}{1-x}+\frac{B}{1+x}+\frac{C}{1+x^2}$が$x$についての恒等式となるように，定数$A$，$B$，$C$を定める．定数$C$の値を求めよ．
私立 甲南大学 2012年 第2問$a$を正の実数とする．空間内の$3$点$\mathrm{A}(0,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{B}(2,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 2)$を通る平面を$\alpha$とし，点$\mathrm{P}(0,\ 1-a,\ 0)$から平面$\alpha$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)等式$\overrightarrow{\mathrm{PH}}=\overrightarrow{\mathrm{PA}}+s \overrightarrow{\mathrm{AB}}+t \overrightarrow{\mathrm{AC}}$が成り立つように実数$s,\ t$の値を定めよ．
(2)線分$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とするとき，点$\mathrm{H}$は直線$\mathrm{AM}$上にあることを示せ．
(3)実数$a$が$0<a<3$の範囲を動くとき，四面体$\mathrm{BCHP}$の体積の最大値を求めよ．
(1)等式$\overrightarrow{\mathrm{PH}}=\overrightarrow{\mathrm{PA}}+s \overrightarrow{\mathrm{AB}}+t \overrightarrow{\mathrm{AC}}$が成り立つように実数$s,\ t$の値を定めよ．
(2)線分$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とするとき，点$\mathrm{H}$は直線$\mathrm{AM}$上にあることを示せ．
(3)実数$a$が$0<a<3$の範囲を動くとき，四面体$\mathrm{BCHP}$の体積の最大値を求めよ．
私立 甲南大学 2012年 第2問$a$を正の実数とする．空間内の$3$点$\mathrm{A}(0,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{B}(2,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 2)$を通る平面を$\alpha$とし，点$\mathrm{P}(0,\ 1-a,\ 0)$から平面$\alpha$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)等式$\overrightarrow{\mathrm{PH}}=\overrightarrow{\mathrm{PA}}+s \overrightarrow{\mathrm{AB}}+t \overrightarrow{\mathrm{AC}}$が成り立つように実数$s,\ t$の値を定めよ．
(2)線分$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とするとき，点$\mathrm{H}$は直線$\mathrm{AM}$上にあることを示せ．
(3)実数$a$が$0<a<3$の範囲を動くとき，四面体$\mathrm{BCHP}$の体積の最大値を求めよ．
(1)等式$\overrightarrow{\mathrm{PH}}=\overrightarrow{\mathrm{PA}}+s \overrightarrow{\mathrm{AB}}+t \overrightarrow{\mathrm{AC}}$が成り立つように実数$s,\ t$の値を定めよ．
(2)線分$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とするとき，点$\mathrm{H}$は直線$\mathrm{AM}$上にあることを示せ．
(3)実数$a$が$0<a<3$の範囲を動くとき，四面体$\mathrm{BCHP}$の体積の最大値を求めよ．