$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$S$，$\angle \mathrm{BAC}=\alpha$とし，辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$の長さをそれぞれ$a,\ b,\ c$とする．さらに，辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$を$1$辺とする正三角形の面積をそれぞれ$S_A,\ S_B,\ S_C$とする．ただし，$\alpha \neq {90}^\circ$とする．

(1)$a$を用いて$S_A$を表せ．
(2)次の等式が成り立つことを証明せよ．
\[ S_A=S_B+S_C-\frac{\sqrt{3}}{\tan \alpha}S \]

自然数の組$(x,\ y,\ z)$が等式$x^2+y^2=z^2$を満たすとする．

(1)すべての自然数$n$について，$n^2$を$4$で割ったときの余りは$0$か$1$のいずれかであることを示せ．
(2)$x$と$y$の少なくとも一方が偶数であることを示せ．
(3)$x$が偶数，$y$が奇数であるとする．このとき，$x$が$4$の倍数であることを示せ．

$f=(x \quad y) \left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & a
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)$とする．このとき，以下の問いに答えよ．ただし，$a$，$b$，$c$，$x$，$y$は実数とする．

(1)次の等式を満たす$d,\ e$を$a,\ b,\ c$を用いて表せ．
\[ \left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & a
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc}
a & d \\
d & a
\end{array} \right)+\left( \begin{array}{cc}
0 & e \\
-e & 0
\end{array} \right) \]
(2)$b=c=0$のとき，$x=y=0$を除くすべての$x,\ y$に対して$f>0$となる$a$の条件を求めよ．
(3)$P=\left( \begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right)$とし，$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$とする．このとき，次の等式を満たす$z$，$w$，$\theta$を求めよ．ただし，$b \neq 0$とする．
\[ P^{-1} \left( \begin{array}{cc}
a & b \\
b & a
\end{array} \right) P=\left( \begin{array}{cc}
z & 0 \\
0 & w
\end{array} \right) \]
(4)(1)と(3)の結果を利用して，$x=y=0$を除くすべての$x,\ y$に対して$f>0$となる$a$の条件を$b,\ c$を用いて求めよ．

$n$を自然数とするとき，次の等式が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明せよ．
\[ 1^3+2^3+3^3+\cdots +n^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4} \]

$\displaystyle f(x)=\frac{6x^2+4x+1}{(x+1)(2x^2+1)}$とおく．以下の問いに答えよ．

(1)等式$\displaystyle f(x)=\frac{a}{x+1}+\frac{bx+c}{2x^2+1}$が$x$についての恒等式となるように，定数$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx$を求めよ．

次の空欄$[ア]$から$[サ]$にあてはまる数や式を書きなさい．

(1)次の等式を満たす自然数$n$の値を求めたい．
\[ \log_5 \left( \comb{n}{n-2} \right) =\frac{1}{2} \log_5 784 \]
$784=[ア]^2 \times [イ]^2$（ただし，$[ア]$，$[イ]$は$1<[ア]<[イ]<10$を満たす自然数とする．）だから，
\[ \log_5 \left( \comb{n}{n-2} \right) =\log_5 [ウ] \]
ゆえに，$\displaystyle \frac{[エ]}{2 \cdot 1}=[ウ]$である．$n$は自然数だから，$n=[オ]$である．
(2)$2$次関数$y=-x^2+2mx+3m^2$を平方完成すれば，
\[ y=-\left( x-[カ] \right)^2+[キ] \quad \cdots\cdots① \]
となる．したがって，$①$の頂点の軌跡は，放物線
\[ y=[ク]x^2 \quad \cdots\cdots② \]
上にある．
$2$つの放物線$①$と$②$の交点の$x$座標を$m$を用いて表せば，
\[ x=[ケ] \quad \text{または} \quad x=[コ] \text{である．} \]
また，$2$つの放物線$①$と$②$で囲まれた部分の面積が$\displaystyle \frac{5}{6}$のとき，
\[ m=[サ] \quad \text{（ただし，} m>0 \text{とする．）である．} \]

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
3 & 1 \\
1 & 2
\end{array} \right)$について，以下の問いに答えよ．ただし，$E$と$O$はそれぞれ$2$次の単位行列と零行列である．答えを導く過程も示すこと．

(1)行列$A$に対して，等式$A^2-5A+5E=O$が成り立つことを示せ．
(2)行列$B$について，$B=A^4-3A^3-3A^2+2A+9E$のとき，行列$B$を求めよ．
(3)行列$A$の表す$1$次変換によって，直線$2x-y+1=0$上の点を移す．このとき，像を表す図形の方程式を求めよ．

次の等式が$x$の恒等式になるような$a,\ b$を求めよ．
\[ \cos x+\cos (a+x)+\cos (b+x)=0 \]
ただし，$0 \leqq a \leqq \pi \leqq b \leqq 2\pi$とする．

以下の問いに答えよ．

(1)座標平面において原点のまわりに角$\theta \ (0<\theta<\pi)$だけ回転する移動を表す行列を$A$とする．$A$が等式$A^2-A+E=O$を満たすとき，$\theta$と$A$を求めよ．ただし，$E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right),\ O=\left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \right)$である．
(2)直線$y=\sqrt{3}x$に関する対称移動を表す行列$B$を求めよ．
(3)直線$y=kx$に関する対称移動を表す行列$C$とする．(1)，(2)において求めた行列$A,\ B$に対して$BC=A$が成り立つとき，$k$を求めよ．

$a,\ b,\ c$を正の整数とするとき，等式
\[ \left( 1+\frac{1}{a} \right) \left( 1+\frac{1}{b} \right) \left( 1+\frac{1}{c} \right)=2 \cdots (*) \]
について次の問いに答えよ．

(1)$c=1$のとき，等式$(*)$を満たす正の整数$a,\ b$は存在しないことを示せ．
(2)$c=2$のとき，等式$(*)$を満たす正の整数$a$と$b$の組で$a \geqq b$を満たすものをすべて求めよ．
(3)等式$(*)$を満たす正の整数の組$(a,\ b,\ c)$で$a \geqq b \geqq c$を満たすものをすべて求めよ．