次の問いに答えなさい．

(1)「自然数$m$を$4$で割ったときの余りが$r$であるならば，$m(m+1)$を$4$で割ったときの余りは$r(3-r)$と等しい」ことを$r=0,\ 1,\ 2,\ 3$のそれぞれの場合について$[う]$で示しなさい．ただし，自然数$m$が整数$q,\ r$を用いて
\[ m=4q+r \quad (0 \leqq r<4) \]
と表されるとき，$r$を，$m$を$4$で割ったときの余りという．
(2)$n$を自然数とする．数列$\{a_n\}$は，初項$a_1$が$2$，公差が$2$の等差数列であり，数列$\{b_n\}$は次の条件
\[ b_1=1,\quad b_{n+1}-b_n=\frac{a_{n+1}}{2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められている．

(i) 一般項$a_n,\ b_n$は，$n$を用いて表すとそれぞれ$a_n=[$\mathrm{I]$}$，$b_n=[$\mathrm{J]$}$である．
(ii) $2$つの集合$A,\ B$を
\[ A=\{a_n \;|\; n \text{は}39 \text{以下の自然数} \},\quad B=\{b_n \;|\; n \text{は}12 \text{以下の自然数} \} \]
とする．このとき，$A$と$B$の共通部分$A \cap B$の要素の個数を$s$とすると，$s=[$\mathrm{K]$}$である．
(iii) $t$を自然数の定数とする．$2$つの集合$C,\ D$を
\[ C=\{a_n \;|\; n \text{は} 100 \text{以下の自然数}\},\quad D=\{b_n \;|\; n \text{は} t \text{以下の自然数}\} \]
とする．このとき，$C$と$D$の和集合$C \cup D$の要素の個数が$111$であるならば，$t$の値は$t=[$\mathrm{L]$}$である．

数列$\{a_n\}$を$\displaystyle a_1=\frac{1}{2}$，$\displaystyle a_{n+1}=\frac{ka_n}{1+3a_n} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定める．ただし，$k$は正の定数とする．このとき，次の空所を埋めよ．

(1)$k=1$のとき，$\displaystyle b_n=\frac{1}{a_n}$とおくと，数列$\{b_n\}$は初項$[ア]$，公差$[イ]$の等差数列となり，数列$\{a_n\}$の一般項は，$a_n=[ウ] (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$である．
(2)$k \neq 1$のとき，$\displaystyle c_n=\frac{1}{a_n}-\frac{3}{k-1}$とおくと，数列$\{c_n\}$は初項$[エ]$，公比$[オ]$の等比数列となり，数列$\{a_n\}$の一般項は，$\displaystyle a_n=\frac{k-1}{3+[カ]} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$である．
特に，$k=[キ]$のとき，すべての自然数$n$について$a_n$は一定の値である．

以下の$(1)$～$(4)$の$[$1$]$～$[$4$]$に適切な値を答えなさい．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(1)$A=e^2$とするとき，
\[ 8 \left( 1+\cos^3 \frac{\pi}{18} \right) \log_A e-\frac{3}{2} \left( 1+\cos \frac{\pi}{18} \right) \log_e A=[$1$] \]
である．
(2)$b$を正の定数，$x$を正の実数とする．方程式$\log_e x=bx$が異なる$2$つの実数解をもつのは$0<b<[$2$]$のときである．
(3)数列$\{c_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を，初項$1$，公差$2$の等差数列とする．数列$\{c_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$に対して$T_n=\log_e S_n$，$U_n=e^{T_n}$と定義する．数列$\{U_n\}$の初項から第$24$項までの和の値は$[$3$]$となる．

(4)定積分$\displaystyle \int_0^D \frac{2e^x}{2e^x+3} \, dx$の値は$[$4$]$である．ただし，$D=\log_e 3$とする．

次の各問に答えよ．

(1)$1$個のさいころを振る試行を繰り返す．出た目の和が$6$以上になったら，この試行を終了する．

(i) $3$回目に和がちょうど$6$になってこの試行を終了する確率を求めよ．
(ii) この試行が$3$回以内に終了する確率を求めよ．

(2)等差数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$の一般項が，それぞれ$a_n=3n-2$，$b_n=7n+4$であるとき，この$2$つの数列に共通な項を小さい方から順に並べてできる数列を$\{c_n\}$とする．次の各問に答えよ．

(i) 数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．
(ii) 数列$\{c_n\}$の項のうち，$4$の倍数でかつ$3$桁の整数となる項の数とその総和を求めよ．

$\{a_n\}$を初項$a_1=A$，公差$d$の等差数列とする．自然数$j$と$k$に対して
\[ S(j,\ k)=\sum_{i=j}^k a_i=a_j+a_{j+1}+a_{j+2}+\cdots +a_k \]
とおく．$S(1,\ 10)=800$，$S(11,\ 20)=200$が成り立つとき，次の問いに答えよ．ただし，$j<k$とする．

(1)定数$A$と$d$の値を求めよ．

(2)$\displaystyle \frac{S(n+1,\ n^2)}{n(n-1)}=\alpha n^2+\beta n+\gamma$をみたす定数$\alpha,\ \beta,\ \gamma$の値を求めよ．

(3)$S(n+1,\ n^2)<0$となる$n$の最小値$N$の値を求めよ．

(4)$\displaystyle T_n=\sum_{i=1}^n a_{5i}$とおくとき，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{(T_n)^2}{S(n+1,\ n^2)}$の値を求めよ．

$a_1,\ a_2,\ a_3$は定数で，$a_1>0$とする．放物線$C:y=a_1x^2+a_2x+a_3$上の点$\mathrm{P}(2,\ 4a_1+2a_2+a_3)$における接線を$\ell$とし，$\ell$と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}(q,\ 0)$，$\ell$と$y$軸との交点を$\mathrm{R}(0,\ a_4)$とする．$a_1$，$a_2$，$a_3$，$a_4$がこの順に等差数列であるとき，次の問いに答えよ．

(1)$a_2,\ a_3,\ a_4$を$a_1$を用いて表せ．
(2)$q$の値を求めよ．
(3)放物線$C$，接線$\ell$，および$y$軸で囲まれた部分の面積を$S$とする．$S=q$となるとき，$a_1$を求めよ．

$p$を素数とする．初項，公差がともに$5p$の等差数列を$\{a_n\}$とする．数列$\{b_n\}$は公差が$p$の等差数列で$\displaystyle \sum_{n=1}^p a_n=a_1+a_p+5 \sum_{n=1}^p b_n$を満たす．

(1)$b_1$を求めよ．
(2)$p=2$のとき，$\displaystyle \frac{a_n}{b_n}$の値が自然数となるような$n$をすべて求めよ．
(3)$p \geqq 3$とする．$\displaystyle \frac{a_n}{b_n}$の値が自然数となるような$p$と$n$の組$(p,\ n)$をすべて求めよ．

$k$を自然数とする．数列$\{a_n\}$において，初めの$k$項の和を$T_1$，次の$k$項の和を$T_2$，その次の$k$項の和を$T_3$とし，以下同様に$T_4,\ T_5,\ \cdots$を定めるとき，次の問いに答えよ．

(1)$\{a_n\}$が等比数列で$k=4$とする．$T_1=5$，$T_2=80$のとき，$\{a_n\}$の一般項を求めよ．ただし，公比は実数とする．
(2)$\{a_n\}$が等差数列ならば$\{T_n\}$も等差数列であることを証明せよ．

$\{a_n\},\ \{b_n\}$を${a_n}^2-b_n \geqq 0 (n=1,\ 2,\ \cdots)$となる数列とし，$3$次関数
\[ y=x^3+3a_nx^2+3b_nx+1 \]
のグラフの接線の傾きが$0$となる接点の$x$座標のうち小さくない方を$c_n$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\{a_n\},\ \{b_n\}$が$a_n=n$，$b_n=n^2$で与えられる数列のとき，$\{c_n\}$を求めよ．
(2)$\{b_n\}$を初項も公差も$0$である等差数列とする．このとき，$c_n=b_n (n=1,\ 2,\ \cdots)$となるための条件を求めよ．
(3)$\{a_n\},\ \{b_n\}$をそれぞれ公比が$r$，$r^2$の等比数列とする．このとき，$\{c_n\}$が等比数列になるための条件を求めよ．
(4)$\{a_n\}$が初項$100$，公差$-3$の等差数列で，$\{b_n\}$は初項$396$，公差$-12$の等差数列のとき，$\{c_n\}$を求めよ．

次の$[　]$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．

(1)等差数列$\{a_n\}$は，初項から第$5$項までの和は$50$で，$a_5=16$であるとする．このとき，一般項$a_n$は，$a_n=[ア]$となり，初項から第$n$項までの和$S_n$は$S_n=[イ]$となる．
(2)$(x+1)^8 (x-1)^4$を展開したとき，$x^{10}$の項の係数は$[ウ]$である．また，$(x^2+x+1)^6$を展開したとき，$x^{10}$の項の係数は$[エ]$である．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}=60^\circ$，$\mathrm{AB}=6$，$\mathrm{AC}=7$のとき，三角形$\mathrm{ABC}$の面積$S$は$S=[オ]$，辺$\mathrm{BC}$の長さは$\mathrm{BC}=[カ]$，三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の半径$R$は$R=[キ]$である．
(4)$12^n$の正の約数の個数が$28$個となるような自然数$n$は，$n=[ク]$である．