$a_1,\ a_2,\ c_1,\ c_2,\ c_3$を実数とする．$xyz$空間で，正四面体$\mathrm{OABC}$の座標が，$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(a_1,\ a_2,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 6,\ 0)$，$\mathrm{C}(c_1,\ c_2,\ c_3)$であり，$a_1>0$，$c_3>0$であるとする．動点$\mathrm{P}$は，$\mathrm{O}$を出発して辺$\mathrm{OC}$上を一定の速さで動き，$2$秒かかって$\mathrm{C}$に到着する．動点$\mathrm{Q}$は，$\mathrm{P}$が出発してから最初の$1$秒間は$\mathrm{B}$に静止しており，その後，一定の速さで辺$\mathrm{BA}$上を動き，$1$秒かかって$\mathrm{A}$に到着する．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$a_1,\ a_2$の値を求めよ．
(2)$c_1,\ c_2,\ c_3$の値を求めよ．
(3)$\mathrm{P}$が出発してから$t$秒後（$0 \leqq t \leqq 2$）における$|\overrightarrow{\mathrm{PQ|}}$の最小値を求めよ．

次の問に答えよ．

(1)空間上の$3$点を$\mathrm{A}(0,\ 1,\ 3)$，$\mathrm{B}(-1,\ 3,\ 2)$，$\mathrm{C}(1,\ 2,\ -1)$とする．この$3$点を通る平面上に$\mathrm{D}(a,\ b,\ -1)$があるとき，$a$と$b$の関係式を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$は
\[ a_1=a>0,\quad a_{n+1}=16{a_n}^3 \quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
をみたすものとする．

(i) 数列$\{b_n\}$を$b_n=\log_2 a_n$とするとき，$\{b_n\}$の一般項を$a$と$n$を用いて表せ．
(ii) 数列$\{a_n\}$の一般項を$a$と$n$を用いて表せ．
(iii) すべての$n$について$a_n=a$をみたすような$a$の値を求めよ．

(3)複素数平面において，等式$2 |z-4|=3 |z-3i|$をみたす点$z$の全体はどのような図形を表すか．ただし$i$は虚数単位とする．

空間内の$3$点$\mathrm{A}(0,\ -1,\ 2)$，$\mathrm{B}(-3,\ -2,\ 4)$，$\mathrm{C}(1,\ 1,\ 3)$を通る平面を$\alpha$とする．次の問いに答えなさい．

(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$と$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めなさい．
(2)原点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に垂線を下ろし，$\alpha$との交点を$\mathrm{H}$とする．点$\mathrm{H}$の座標を求めなさい．
(3)直線$\mathrm{AH}$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，線分$\mathrm{AH}$と$\mathrm{AD}$の長さの比を求めなさい．

$xyz$空間の中で，$(0,\ 0,\ 1)$を中心とする半径$1$の球面$S$を考える．点$\mathrm{Q}$が$(0,\ 0,\ 2)$以外の$S$上の点を動くとき，点$\mathrm{Q}$と点$\mathrm{P}(1,\ 0,\ 2)$の$2$点を通る直線$\ell$と平面$z=0$との交点を$\mathrm{R}$とおく．$\mathrm{R}$の動く範囲を求め，図示せよ．

座標空間の$x$軸上に動点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$がある．$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$は時刻$0$において，原点を出発する．$\mathrm{P}$は$x$軸の正の方向に，$\mathrm{Q}$は$x$軸の負の方向に，ともに速さ$1$で動く．その後，ともに時刻$1$で停止する．点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を中心とする半径$1$の球をそれぞれ$A,\ B$とし，空間で$x \geqq -1$の部分を$C$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)時刻$t (0 \leqq t \leqq 1)$における立体$(A \cup B) \cap C$の体積$V(t)$を求めよ．
(2)$V(t)$の最大値を求めよ．

空間の$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(1,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{B}(-1,\ 1,\ 1)$の定める平面を$\alpha$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおく．$\alpha$上の点$\mathrm{C}$があり，その$x$座標が正であるとする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$が$\overrightarrow{a}$に垂直で，大きさが$1$であるとする．$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．

(1)$\mathrm{C}$の座標を求めよ．
(2)$\overrightarrow{b}=s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{c}$をみたす実数$s,\ t$を求めよ．
(3)$\alpha$上にない点$\mathrm{P}(x,\ y,\ z)$から$\alpha$に垂線を下ろし，$\alpha$との交点を$\mathrm{H}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=k \overrightarrow{a}+l \overrightarrow{c}$をみたす実数$k,\ l$を$x,\ y,\ z$で表せ．

$xyz$空間において，原点を中心とする$xy$平面上の半径$1$の円周上を点$\mathrm{P}$が動き，点$(0,\ 0,\ \sqrt{3})$を中心とする$xz$平面上の半径$1$の円周上を点$\mathrm{Q}$が動く．

(1)線分$\mathrm{PQ}$の長さの最小値と，そのときの点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)線分$\mathrm{PQ}$の長さの最大値と，そのときの点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

$a$を実数とする．空間内の$4$点$\mathrm{A}(a,\ 1,\ 2)$，$\mathrm{B}(2,\ -3,\ 1)$，$\mathrm{C}(1,\ -2,\ 0)$，$\mathrm{D}(1,\ -1,\ -1)$に対し，線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{P}$，線分$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{Q}$，線分$\mathrm{CD}$の中点を$\mathrm{R}$，線分$\mathrm{BD}$の中点を$\mathrm{S}$とする．このとき次の問に答えよ．

(1)線分$\mathrm{QR}$の長さを$a$を用いて表せ．
(2)$\cos \angle \mathrm{PQR}$の値を$a$を用いて表せ．
(3)$a$が実数全体を動くとき，四角形$\mathrm{PQRS}$の面積の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．

$\mathrm{O}$を原点とする$xyz$空間内の$2$点を$\mathrm{A}(3,\ -1,\ 2)$，$\mathrm{B}(0,\ 5,\ 8)$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=3 \overrightarrow{\mathrm{AP}}$を満たす点$\mathrm{P}$を通り，直線$\mathrm{AB}$に垂直な平面$\alpha$を考える．このとき，以下の各問に答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(2)平面$\alpha$が$x$軸，$y$軸，$z$軸と交わる点をそれぞれ$\mathrm{L}$，$\mathrm{M}$，$\mathrm{N}$とするとき，四面体$\mathrm{OLMN}$の体積を求めよ．

空間に$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ -1)$がある．

(1)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面$\alpha$の方程式を求めなさい．
(2)平面$\alpha$に垂直になるように原点$\mathrm{O}$から直線を引いたとき，平面$\alpha$との交点$\mathrm{T}$の座標を求めなさい．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めなさい．
(4)四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めなさい．