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京都大学 国立 京都大学 2016年 第4問
$xyz$空間において,平面$y=z$の中で
\[ |x| \leqq \frac{e^y+e^{-y}}{2}-1,\quad 0 \leqq y \leqq \log a \]
で与えられる図形$D$を考える.ただし$a$は$1$より大きい定数とする.

この図形$D$を$y$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ.
北海道大学 国立 北海道大学 2016年 第5問
空間の$2$点$\mathrm{A}(0,\ 0,\ 2)$,$\mathrm{B}(0,\ 1,\ 3)$を通る直線を$\ell$とし,$2$点$\mathrm{C}(1,\ 0,\ 0)$,$\mathrm{D}(1,\ 0,\ 1)$を通る直線を$m$とする.$a$を定数として,$\ell$上にも$m$上にもない点$\mathrm{P}(s,\ t,\ a)$を考える.

(1)$\mathrm{P}$から$\ell$に下ろした垂線と$\ell$の交点を$\mathrm{Q}$とし,$\mathrm{P}$から$m$に下ろした垂線と$m$の交点を$\mathrm{R}$とする.$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$の座標をそれぞれ$s,\ t,\ a$を用いて表せ.
(2)$\mathrm{P}$を中心とし,$\ell$と$m$がともに接するような球面が存在するための条件を$s,\ t,\ a$の関係式で表せ.
(3)$s,\ t$と定数$a$が$(2)$の条件をみたすとき,平面上の点$(s,\ t)$の軌跡が放物線であることを示し,その焦点と準線を$a$を用いて表せ.
東北大学 国立 東北大学 2016年 第5問
空間内に,直線$\ell$で交わる$2$平面$\alpha,\ \beta$と交線$\ell$上の$1$点$\mathrm{O}$がある.さらに,平面$\alpha$上の直線$m$と平面$\beta$上の直線$n$を,どちらも点$\mathrm{O}$を通り$\ell$に垂直にとる.$m,\ n$上にそれぞれ点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$があり,
\[ \mathrm{OP}=\sqrt{3},\quad \mathrm{OQ}=2,\quad \mathrm{PQ}=1 \]
であるとする.線分$\mathrm{PQ}$上の動点$\mathrm{T}$について,$\mathrm{PT}=t$とおく.点$\mathrm{T}$を中心とした半径$\sqrt{2}$の球$S$を考える.このとき,以下の問いに答えよ.

(1)$S$の平面$\alpha$による切り口の面積を$t$を用いて表せ.
(2)$S$の平面$\alpha$による切り口の面積と$S$の平面$\beta$による切り口の面積の和を$f(t)$とおく.$\mathrm{T}$が線分$\mathrm{PQ}$上を動くとき,$f(t)$の最大値と,そのときの$t$の値を求めよ.
埼玉大学 国立 埼玉大学 2016年 第2問
$a,\ b,\ c$および$d$は実数で,$a>0$,$b<0$,$d \neq 0$とする.また
\[ f(x)=ax+b,\quad g(x)=x^2+cx+d \]
とおく.$xyz$空間内に$3$点$\mathrm{P}_0$,$\mathrm{P}_1$,$\mathrm{P}_2$があり,点$\mathrm{O}$は原点を表す.点$\mathrm{P}_0(-4,\ 0,\ 4 \sqrt{3})$は定点で,$\mathrm{P}_1$と$\mathrm{P}_2$はそれぞれ実数$t$の値に応じて定まる点$\mathrm{P}_1(-t,\ f(t),\ 2 \sqrt{3})$,$\mathrm{P}_2(t,\ g(t),\ 0)$である.この$3$点$\mathrm{P}_0$,$\mathrm{P}_1$,$\mathrm{P}_2$が次の$3$条件をみたしているとき,定数$a,\ b,\ c,\ d$の値をすべて求めなさい.


(i) $t=0$のとき,ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}_1$と$\overrightarrow{\mathrm{OP}}_2$のなす角は$\displaystyle \frac{\pi}{3}$である.
(ii) ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}_1$の長さの最小値は$\sqrt{14}$である.
(iii) 点$\mathrm{O}$,$\mathrm{P}_0$,$\mathrm{P}_1$,$\mathrm{P}_2$は,$t=1$および$t=-3$のとき,それぞれ同一平面上にある.
京都工芸繊維大学 国立 京都工芸繊維大学 2016年 第1問
空間内の平面$\alpha$上に平行四辺形$\mathrm{OABC}$があり,
\[ \mathrm{OA}=2,\quad \mathrm{OC}=3,\quad \angle \mathrm{AOC}=\frac{\pi}{3} \]
とする.点$\mathrm{C}$を通り$\alpha$に垂直な直線上に点$\mathrm{D}$があり,
\[ \mathrm{CD}=1 \]
とする.$3$点$\mathrm{O}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{D}$を通る平面を$\beta$とし,$\mathrm{C}$を通り$\beta$に垂直な直線と$\beta$との交点を$\mathrm{H}$とする.

(1)$\triangle \mathrm{OBD}$の面積を求めよ.
(2)線分$\mathrm{CH}$の長さを求めよ.
東京医科歯科大学 国立 東京医科歯科大学 2016年 第2問
$xyz$空間において連立不等式
\[ |x| \leqq 1,\quad |y| \leqq 1,\quad |z| \leqq 1 \]
の表す領域を$Q$とし,正の実数$r$に対して$x^2+y^2+z^2 \leqq r^2$の表す領域を$S$とする.また,$Q$と$S$のいずれか一方のみに含まれる点全体がなす領域を$R$とし,$R$の体積を$V(r)$とする.さらに

$x \geqq 1$の表す領域と$S$の共通部分を$S_x$
$y \geqq 1$の表す領域と$S$の共通部分を$S_y$
$z \geqq 1$の表す領域と$S$の共通部分を$S_z$

とし,

$S_x \neq \phi$を満たす$r$の最小値を$r_1$
$S_x \cap S_y \neq \phi$を満たす$r$の最小値を$r_2$
$S_x \cap S_y \cap S_z \neq \phi$を満たす$r$の最小値を$r_3$

とする.ただし,$\phi$は空集合を表す.このとき以下の各問いに答えよ.

(1)$\displaystyle r=\frac{\sqrt{10}}{3}$のとき,$R$の$xy$平面による断面を図示せよ.
(2)$r_1,\ r_2,\ r_3$および$V(r_1)$,$V_(r_3)$を求めよ.
(3)$r \geqq r_1$のとき,$S_x$の体積を$r$を用いて表せ.
(4)$0<r \leqq r_2$において,$V(r)$が最小となる$r$の値を求めよ.
東京医科歯科大学 国立 東京医科歯科大学 2016年 第2問
$xyz$空間において連立不等式
\[ |x| \leqq 1,\quad |y| \leqq 1,\quad |z| \leqq 1 \]
の表す領域を$Q$とし,正の実数$r$に対して$x^2+y^2+z^2 \leqq r^2$の表す領域を$S$とする.また,$Q$と$S$のいずれか一方のみに含まれる点全体がなす領域を$R$とし,$R$の体積を$V(r)$とする.さらに

$x \geqq 1$の表す領域と$S$の共通部分を$S_x$
$y \geqq 1$の表す領域と$S$の共通部分を$S_y$
$z \geqq 1$の表す領域と$S$の共通部分を$S_z$

とし,

$S_x \neq \phi$を満たす$r$の最小値を$r_1$
$S_x \cap S_y \neq \phi$を満たす$r$の最小値を$r_2$
$S_x \cap S_y \cap S_z \neq \phi$を満たす$r$の最小値を$r_3$

とする.ただし,$\phi$は空集合を表す.このとき以下の各問いに答えよ.

(1)$\displaystyle r=\frac{\sqrt{10}}{3}$のとき,$R$の$xy$平面による断面を図示せよ.
(2)$r_1,\ r_2,\ r_3$および$V(r_1)$,$V_(r_3)$を求めよ.
(3)$r \geqq r_1$のとき,$S_x$の体積を$r$を用いて表せ.
(4)$0<r \leqq r_2$において,$V(r)$が最小となる$r$の値を求めよ.
佐賀大学 国立 佐賀大学 2016年 第2問
空間に$3$点$\mathrm{A}(1,\ 2,\ 6)$,$\mathrm{B}(7,\ 0,\ 9)$,$\mathrm{C}(s,\ t,\ 0)$がある.ただし,$s,\ t$は実数とする.このとき,次の問に答えよ.

(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$を$s$と$t$を用いて表せ.
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{AB|}}=|\overrightarrow{\mathrm{AC|}}$となるとき,$s$と$t$の関係式を求めよ.
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$が$\angle \mathrm{BAC}={90}^\circ$の直角二等辺三角形となるとき,$s$と$t$の値を求めよ.
お茶の水女子大学 国立 お茶の水女子大学 2016年 第2問
空間に$5$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$,$\mathrm{A}(a,\ 0,\ 0)$,$\mathrm{B}(b,\ c,\ 0)$,$\mathrm{C}(d,\ e,\ 4)$,$\mathrm{T}(d,\ e,\ t)$があり,このうちの$4$点$\mathrm{O}$,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$が正四面体の頂点になっているとする.ただし,$a,\ b,\ c,\ d,\ e$はいずれも正の実数で,$0<t<4$とする.

(1)$a,\ b,\ c,\ d,\ e$の値を求めよ.
(2)$\cos \angle \mathrm{OTA}$を$t$を用いて表せ.
(3)$\angle \mathrm{OTC}=\angle \mathrm{OTA}$となるときの$t$の値を求めよ.また,そのときの$\cos \angle \mathrm{OTA}$の値と三角形$\mathrm{OTA}$の面積を求めよ.
お茶の水女子大学 国立 お茶の水女子大学 2016年 第1問
$a$を正の実数とする.

(1)平面上の点$(x,\ y)$は$x+y=a$,$x>0$,$y>0$の範囲を動くものとする.このとき,
\[ x \log x+y \log y \]
の最小値を求めよ.
(2)空間上の点$(x,\ y,\ z)$は$x+y+z=a$,$x>0$,$y>0$,$z>0$の範囲を動くものとする.このとき,
\[ x \log x+y \log y+z \log z \]
の最小値を求めよ.
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