空欄$[$1$]$から$[$11$]$にあてはまる数値または式を記入せよ．

(1)方程式$x^2+4x-5=0$の解は$[$1$]$である．また，不等式$x^2+4x-5>0$の解は$[$2$]$である．
(2)整式$f(x)$を$(x-3)(x+2)$で割った余りは$4x-3$である．このとき，$f(x)$を$x+2$で割った余りは$[$3$]$である．
(3)$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，関数$y=2 \cos^2 \theta+2 \sqrt{2} \sin \theta$の最大値は$[$4$]$，最小値は$[$5$]$である．
(4)$3$点$\mathrm{A}(5,\ -1)$，$\mathrm{B}(2,\ 2)$，$\mathrm{C}$を頂点とする三角形の重心の座標が$\displaystyle \left( \frac{7}{3},\ -\frac{5}{3} \right)$であるとき，点$\mathrm{C}$の座標は$[$6$]$である．このとき，点$\mathrm{C}$を通り直線$\mathrm{AB}$に平行な直線の方程式は$[$7$]$であり，$\cos B$の値は$[$8$]$である．
(5)白の碁石が$5$個，黒の碁石が$5$個，合わせて$10$個の碁石から$8$個の碁石を選んで一列に並べるとき，並べ方は$[$9$]$通りある．このうち，同じ色の碁石が連続して$5$個並ぶ並べ方は$[$10$]$通りあり，また白の碁石が連続して$4$個以上並ぶ並べ方は$[$11$]$通りある．

空欄$[$1$]$から$[$11$]$にあてはまる数値または式を記入せよ．

(1)$1$次不等式$\displaystyle \frac{7+4x}{3} \geqq \frac{x+1}{2}-x$の解は$[$1$]$である．
(2)$\displaystyle \frac{1}{2+\sqrt{3}-\sqrt{5}}$の分母を有理化すると$[$2$]$となる．
(3)$A,\ B,\ C$を定数とする．$\displaystyle \frac{x^2+2x+17}{x^3-x^2-5x-3}=\frac{A}{(x+1)^2}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{x-3}$が$x$についての恒等式であるとき，$A=[$3$]$，$B=[$4$]$，$C=[$5$]$である．
(4)実数$a$に対して，$a$以下の整数で最大のものを$[a]$で表す．このとき，$[\log_2 7]=[$6$]$，$\displaystyle [\log_3 \frac{1}{25}]=[$7$]$である．
(5)大小$2$個のさいころを同時に投げる．このとき，目の和が$9$以下になる確率は$[$8$]$であり，目の積が$9$以下になる確率は$[$9$]$である．
(6)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{CA}=5$とし，頂点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に垂線$\mathrm{AH}$を下ろすとする．このとき，線分$\mathrm{AH}$の長さは$[$10$]$であり，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[$11$]$である．

$3$つの直線$\ell:ax-y=0$，$m:x-2y-2=0$，$n:x+y-5=0$があり，直線$\ell$と直線$m$の交点を$\mathrm{A}$，直線$\ell$と直線$n$の交点を$\mathrm{B}$，直線$m$と直線$n$の交点を$\mathrm{C}$とし，$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$のすべてを通る円を$D$とする．ただし，$a$は実数で$\displaystyle a>\frac{1}{2}$とする．

(1)$\mathrm{BC}$が円$D$の直径となるとき点$\mathrm{A}$の座標は$[$7$]$である．
(2)三角形$\triangle \mathrm{ABC}$の面積が$\displaystyle \frac{15}{2}$，かつ$\angle \mathrm{A}$が鋭角であるとき，$a=[$8$]$であり，円$D$の方程式は$[$9$]$となる．

$2$つの曲線$y=6 \sin x$と$y=4-2 \cos 2x$は$x=[$10$]$で共通点を持つ．また，この$2$つの曲線で囲まれた部分の面積は$[$11$]$である．ただし，$0 \leqq x \leqq \pi$とする．

半径$1$の円に内接する正$n$角形を$N_1^{(n)}$，$N_1^{(n)}$に内接する円を$C_1^{(n)}$とし，さらに$C_1^{(n)}$に内接する正$n$角形を$N_2^{(n)}$，$N_2^{(n)}$に内接する円を$C_2^{(n)}$とする．同様にして$N_3^{(n)}$，$C_3^{(n)}$，$N_4^{(n)}$，$C_4^{(n)}$，$\cdots$，$N_k^{(n)}$，$C_k^{(n)}$を定義する．このとき，円$C_k^{(n)}$の半径$R_k^{(n)}$と正$n$角形$N_k^{(n)}$の面積$S_k^{(n)}$は，それぞれ$n$と$k$を用いて$R_k^{(n)}=[$12$]$，$S_k^{(n)}=[$13$]$と表すことができる．また，$\displaystyle S_m=\sum_{k=1}^m S_k^{(n)}$とおいたとき，$\displaystyle \lim_{m \to \infty}S_m=[$14$]$である．ここで，$n,\ k$は正の整数とする．

点$(p,\ 0)$を通り，楕円$4x^2+y^2=4$に接する直線の方程式は$y=[$15$]$および$y=[$16$]$で，接点の$x$座標は$x=[$17$]$である．また，$p=[$18$]$のとき，$2$つの接線は直交する．ここで，$p$は実数で$p>2$とする．

$[ア]$～$[エ]$にあてはまる数または式を記入せよ．

(1)$x$についての多項式$P(x)$を$x^2+x+1$で割った余りが$x+1$，$x^2-x+1$で割った余りが$x-1$のとき，$P(x)$を$(x^2+x+1)(x^2-x+1)$で割った余りは$[ア]$である．
(2)関数$f(x)$が次の条件を満たすとき，$f(x)=[イ]$である．
任意の実数$x$に対して，$\displaystyle \int_0^x f(t) \, dt-3 \int_{-x}^0 f(t) \, dt=x^3$
(3)次の等式を満たす最大の整数$a$は$a=[ウ]$である．
\[ \left[ \frac{a}{2} \right]+\left[ \frac{2a}{3} \right]=a \]
ただし，実数$x$に対して，$[x]$は$x$以下の最大の整数を表す．
(4)四面体$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AC}=\mathrm{BD}=7$，$\mathrm{AB}=\mathrm{CD}=6$，$\mathrm{BC}=\mathrm{DA}=5$である．$4$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$を，それぞれ辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CD}$，$\mathrm{DA}$上の点とするとき，$\mathrm{PQ}+\mathrm{QR}+\mathrm{RS}+\mathrm{SP}$の最小値は$[エ]$である．

下図のように，$1$辺の長さ$5$の正方形$\mathrm{ABCD}$が，$1$辺の長さ$1$の正方形からなる格子で区画されている．点$\mathrm{P}$は，$\mathrm{A}$から出発して次のルールに従って格子の上を動くものとする．$\mathrm{X}$と記したカードと，$\mathrm{Y}$と記したカード$5$枚ずつを，よくシャッフルして上から順にカードをめくる．$\mathrm{X}$と記したカードが出た場合は図の$\mathrm{X}$方向，$\mathrm{Y}$と記したカードが出た場合は図の$\mathrm{Y}$方向に$1$だけ動く．すべてのカードがめくり終わると，点$\mathrm{P}$は$\mathrm{C}$に到達していることになる．このとき，点$\mathrm{P}$の動いた経路と，線分$\mathrm{AB}$，線分$\mathrm{BC}$で囲まれる部分の面積を$S_1$，点$\mathrm{P}$の動いた経路と，線分$\mathrm{AD}$，線分$\mathrm{DC}$で囲まれる部分の面積を$S_2$とする．以下の問に答えよ．

(1)カードが$\mathrm{YXYXXYYYXX}$の順に出たとき
\[ S_1=[ア],\quad S_2=[イ] \]
である．
(2)$|S_1-S_2| \geqq 19$となる確率は$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エ]}$である．
（図は省略）

下図のように，$1$辺の長さ$5$の正方形$\mathrm{ABCD}$が，$1$辺の長さ$1$の正方形からなる格子で区画されている．点$\mathrm{P}$は，$\mathrm{A}$から出発して次のルールに従って格子の上を動くものとする．$\mathrm{X}$と記したカードと，$\mathrm{Y}$と記したカード$5$枚ずつを，よくシャッフルして上から順にカードをめくる．$\mathrm{X}$と記したカードが出た場合は図の$\mathrm{X}$方向，$\mathrm{Y}$と記したカードが出た場合は図の$\mathrm{Y}$方向に$1$だけ動く．すべてのカードがめくり終わると，点$\mathrm{P}$は$\mathrm{C}$に到達していることになる．このとき，点$\mathrm{P}$の動いた経路と，線分$\mathrm{AB}$，線分$\mathrm{BC}$で囲まれる部分の面積を$S_1$，点$\mathrm{P}$の動いた経路と，線分$\mathrm{AD}$，線分$\mathrm{DC}$で囲まれる部分の面積を$S_2$とする．以下の問に答えよ．

(1)カードが$\mathrm{YXYXXYYYXX}$の順に出たとき
\[ S_1=[ア],\quad S_2=[イ] \]
である．
(2)$|S_1-S_2| \geqq 19$となる確率は$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エ]}$である．
（図は省略）

連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
y \leqq - \ {\left( \log_{\frac{1}{3}} x \right)}^2+\displaystyle\frac{4}{\log_x 3} \quad \cdots (*) \\
y \geqq \log_3 x \phantom{\displaystyle\frac{[　]}{2}}
\end{array} \right. \]
の表す領域を$D$とする．

(1)$\log_3 x=t$とおくとき，不等式$(*)$を$t$と$y$で表すと，$y \leqq [サ]t^2+[シ]t$となる．
(2)領域$D$において，$y$のとりうる値の範囲を表す不等式は，次の$①$から$④$の中の$[ス]$の形であり，$a=[セ]$，$b=[ソ]$である．ただし，$[ス]$は$1$から$4$の数をマークして答えること．
\[ ① a \leqq y \leqq b \qquad ② a \leqq y<b \qquad ③ a<y \leqq b \qquad ④ a<y<b \]
(3)$x,\ y$がともに整数である点$(x,\ y)$が領域$D$内を動くとき，$x-y$の最大値は$[タ]$である．