次の関数を考える．

$f_1(x)=x$，$f_2(x)=x+1$，$f_3(x)=x-1$，$f_4(x)=x^2-1 (x \leqq 0)$，
$\displaystyle f_5(x)=\frac{1}{1-x}$，$\displaystyle f_6(x)=\frac{x}{1-x}$，$\displaystyle f_7(x)=\frac{x}{x+1}$，$\displaystyle f_8(x)=\sqrt{x+1}$，
$f_9(x)=-\sqrt{x+1}$

(1)${f_4}^{-1}(x)=f_{[ア]}(x)$であり，${f_6}^{-1}(x)=f_{[イ]}(x)$である．
(2)$(f_2 \circ f_3)(x)=f_{[ウ]}(x)$，$(f_3 \circ f_5)(x)=f_{[エ]}(x)$であり，
$(f_2 \circ f_{[エ]})(x)=f_{[オ]}(x)$である．
(3)合成関数$y=(f_6 \circ f_9)(x)$の定義域は$x \geqq [カキ]$であり，値域は$[クケ]<y \leqq [コ]$である．

次の空所を埋めよ．

(1)$2$次方程式$x^2-4x+2=0$の解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\alpha+\beta=[ア]$であり，$\alpha^3+\beta^3=[イ]$である．
(2)関数$y=|x^2-2x|$のグラフと直線$y=x-1$の共有点の$x$座標は$[ウ]$と$[エ]$である．ただし，$[ウ]<[エ]$とする．
(3)$2$個のさいころを同時に投げるとき，$2$個の目がともに$5$となる確率は$[オ]$であり，少なくとも$1$個の目が$5$以上である確率は$[カ]$である．
(4)$a$を実数とするとき，$\displaystyle \int_0^2 (6x^2-2ax-a^2) \, dx \geqq 0$となるための必要十分条件は$[キ] \leqq a \leqq [ク]$である．

関数$\displaystyle F(x)=\int_0^{2x} (x-t) \cos 3t \, dt$を考える．

(1)$\displaystyle F^\prime(x)=\frac{[ク]}{[ケ]} \sin [コ]x-[サ] x \cos [シ]x$より$\displaystyle F^\prime \left( \frac{\pi}{6} \right)=\frac{[ス]}{[セ]}$である．
(2)$\displaystyle F^{\prime\prime}(x)=[ソタ] x \sin [チ] x$より$\displaystyle F^{\prime\prime} \left( \frac{\pi}{6} \right)=[ツ]$である．

原点$\mathrm{O}$を通り，曲線$y=2+2 \log x$に接する直線を$\ell$とし，その接点を$\mathrm{A}$とする．また，この曲線と直線$\ell$，および$x$軸で囲まれた図形を$D$とする．

(1)この曲線と$x$軸との交点の$x$座標は$\displaystyle \frac{[ア]}{e}$である．
(2)接点$\mathrm{A}$の座標は$([イ],\ [ウ])$である．
(3)図形$D$の面積は$\displaystyle [エ]-\frac{[オ]}{e}$である．
(4)図形$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積は$\displaystyle \frac{[カ]([キ]-e)}{[ク]e} \pi$である．

点$\mathrm{A}(0,\ -1)$とする．放物線$y=x^2$上の点$\mathrm{P}(a,\ a^2)$に対し，直線$\mathrm{AP}$と$x$軸との共有点を$\mathrm{M}(m,\ 0)$とし，$\mathrm{M}$を$\mathrm{P}$の対応点と呼ぶことにする．

(1)$m$を$a$で表すと$m=[$1$]$である．
(2)$m$の値のとり得る範囲は$[$2$]$である．
(3)$a \neq [$3$]$のとき，$\mathrm{P}(a,\ a^2)$と同じ対応点をもつ$\mathrm{P}$と異なる放物線$y=x^2$上の点$\mathrm{Q}$が存在し，$\mathrm{Q}$の座標は$[$4$]$である．

三角形$\mathrm{ABC}$において$\displaystyle \angle \mathrm{ABC}=\frac{\pi}{2}$，$\mathrm{AB}=c$，$\mathrm{CA}=b$，$\angle \mathrm{ACB}=\theta$とする．また辺$\mathrm{BC}$の延長上に点$\mathrm{D}$を$\mathrm{CD}=b$となるようにとり，$\angle \mathrm{ADB}=\alpha$とする．

(1)この$b,\ c$に対して$x+y=2b^2$，$xy=b^4-b^2c^2$を満足する$x,\ y$で$x>y$となるものを求めると，$(x,\ y)=[$5$]$である．
(2)線分$\mathrm{AD}$の長さの平方は$[$6$]$である．従って$\sin \alpha$の値を二重根号を用いずに，$b,\ c$で表せば$[$7$]$となり，さらにこれを$\sin \theta$で表せば$[$8$]$となる．

以下の$[　]$にあてはまる式または数値を記入せよ．

(1)連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x^2+x-2 \leqq 0 \displaystyle \phantom{\frac{1}{[　]}} \\
\displaystyle\frac{x-6}{7}>\frac{x-4}{5}
\end{array} \right. \]
を満たす$x$の値の範囲は$[　]$である．
(2)座標平面上の$3$点$\mathrm{A}(1,\ 1)$，$\mathrm{B}(3,\ 3)$，$\mathrm{C}(2,\ 6)$に対して，$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の内積は$[　]$である．
(3)$(x+2y)^6$の展開式における$x^2y^4$の係数は$[　]$である．
(4)$a$を実数とするとき，$x$の方程式$(\log_2 x)^2+(a+1) \log_2 x+1=0$が異なる$2$つの実数の解をもつような$a$の値の範囲は$[　]$である．
(5)$\triangle \mathrm{OAB}$において$\mathrm{OA}=3$，$\mathrm{OB}=4$，$\angle \mathrm{AOB}={15}^\circ$のとき，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積は$[　]$である．

以下の$[　]$にあてはまる式または数値を記入せよ．

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
2 & 0 \\
1 & 3
\end{array} \right)$の$n$乗を$A^n=\left( \begin{array}{cc}
a_n & 0 \\
b_n & c_n
\end{array} \right)$とおく．ただし，$n$は自然数とする．

(1)$a_2=[ア]$，$b_2=[イ]$，$c_2=[ウ]$である．
(2)$a_{n+1},\ b_{n+1},\ c_{n+1}$をそれぞれ$a_n,\ b_n,\ c_n$を用いて表すと，$a_{n+1}=[エ]$，$b_{n+1}=[オ]$，$c_{n+1}=[カ]$である．
(3)$c_n$を$n$の式で表すと$[キ]$である．
(4)$b_n$を$n$の式で表すと$[ク]$である．
(5)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{b_n}{a_n+c_n}=[ケ]$である．

次の$[　]$に答えを記入せよ．

(1)$2$個のさいころを振って，出た目の逆数の和が整数になる確率は$[ア]$である．また，$3$個のさいころを振って，出た目の逆数の和が$1$になる確率は$[イ]$である．
(2)座標平面で直線$y=3x$についての対称移動を$f$，原点を中心とした${60}^\circ$の回転移動を$g$とする．点$\mathrm{P}(2,\ -1)$の$f$による像を点$\mathrm{Q}$とし，点$\mathrm{Q}$の$g$による像を点$\mathrm{R}$とするとき，点$\mathrm{Q}$の$x$座標は$[ウ]$，点$\mathrm{R}$の$x$座標は$[エ]$である．

次の$[　]$内に答えを記入せよ．

(1)箱の中に赤玉$1$個と白玉$2$個が入っている．箱の中から玉を$1$個取り出し，その色を見てから箱の中へ戻す試行をくり返す．玉を取り出すごとに，それが赤ならばくじを$2$回，白ならばくじを$1$回引くものとする．この操作を$n$回くり返すとき，くじを引く総回数の期待値を$E(n)$とおく．そのとき，$E(1)=[ア]$，$E(3)=[イ]$である．
(2)$f(x)=x^3+ax^2+bx$とする．曲線$y=f(x)$上の$2$点$\mathrm{P}(1,\ f(1))$，$\mathrm{Q}(-1,\ f(-1))$における接線が直交し，点$\mathrm{P}$で接線の傾きが$10$のとき，$a=[ウ]$，$b=[エ]$である．