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私立 大阪工業大学 2014年 第2問円$C:x^2+y^2=20$と直線$y=2x$の第$1$象限にある共有点を$\mathrm{P}$とし，$x$軸に関して点$\mathrm{P}$と対称な点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，次の空所を埋めよ．
(1)点$\mathrm{P}$の座標は$([ア],\ [イ])$であり，点$\mathrm{Q}$の座標は$([ウ],\ [エ])$である．
(2)円$C$の点$\mathrm{P}$における接線$\ell$の方程式は$[オ]$である．
(3)$(2)$で求めた接線$\ell$と$x$軸の共有点$\mathrm{M}$の$x$座標は$[カ]$である．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{MP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{MQ}}=[キ]$であり，$|\overrightarrow{\mathrm{MP}}|=[ク]$である．また，$\cos \angle \mathrm{PMQ}=[ケ]$である．
(1)点$\mathrm{P}$の座標は$([ア],\ [イ])$であり，点$\mathrm{Q}$の座標は$([ウ],\ [エ])$である．
(2)円$C$の点$\mathrm{P}$における接線$\ell$の方程式は$[オ]$である．
(3)$(2)$で求めた接線$\ell$と$x$軸の共有点$\mathrm{M}$の$x$座標は$[カ]$である．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{MP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{MQ}}=[キ]$であり，$|\overrightarrow{\mathrm{MP}}|=[ク]$である．また，$\cos \angle \mathrm{PMQ}=[ケ]$である．
私立 大阪工業大学 2014年 第3問数列$\{a_n\}$が$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n(a_n+2) (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定義されるとき，次の空所を埋めよ．
(1)$b_n=a_n+1$とおくと，$b_1=[ア]$であり，$b_3=[イ]$である．また，$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表すと，$b_{n+1}=[ウ]$となる．
(2)$c_n=\log_2b_n$とおくと，数列$\{c_n\}$は初項$[エ]$，公比$[オ]$の等比数列である．
(3)$c_8=[カ]$だから，$a_8$は$[キ]$桁の整数である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
(1)$b_n=a_n+1$とおくと，$b_1=[ア]$であり，$b_3=[イ]$である．また，$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表すと，$b_{n+1}=[ウ]$となる．
(2)$c_n=\log_2b_n$とおくと，数列$\{c_n\}$は初項$[エ]$，公比$[オ]$の等比数列である．
(3)$c_8=[カ]$だから，$a_8$は$[キ]$桁の整数である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
私立 大阪工業大学 2014年 第2問円$C:x^2+y^2=20$と直線$y=2x$の第$1$象限にある共有点を$\mathrm{P}$とし，$x$軸に関して点$\mathrm{P}$と対称な点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，次の空所を埋めよ．
(1)点$\mathrm{P}$の座標は$([ア],\ [イ])$であり，点$\mathrm{Q}$の座標は$([ウ],\ [エ])$である．
(2)円$C$の点$\mathrm{P}$における接線$\ell$の方程式は$[オ]$である．
(3)$(2)$で求めた接線$\ell$と$x$軸の共有点$\mathrm{M}$の$x$座標は$[カ]$である．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{MP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{MQ}}=[キ]$であり，$|\overrightarrow{\mathrm{MP}}|=[ク]$である．また，$\cos \angle \mathrm{PMQ}=[ケ]$である．
(1)点$\mathrm{P}$の座標は$([ア],\ [イ])$であり，点$\mathrm{Q}$の座標は$([ウ],\ [エ])$である．
(2)円$C$の点$\mathrm{P}$における接線$\ell$の方程式は$[オ]$である．
(3)$(2)$で求めた接線$\ell$と$x$軸の共有点$\mathrm{M}$の$x$座標は$[カ]$である．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{MP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{MQ}}=[キ]$であり，$|\overrightarrow{\mathrm{MP}}|=[ク]$である．また，$\cos \angle \mathrm{PMQ}=[ケ]$である．
私立 金沢工業大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$p=(\sqrt{3}+\sqrt{5})^2$，$q=(\sqrt{3}-\sqrt{5})^2$のとき$p+q=[アイ]$，$pq=[ウ]$，$p^2+q^2=[エオカ]$である．
(2)連立不等式$\left\{ \begin{array}{r}
|2x-9| \leqq 5 \\
9-2x \leqq 4
\end{array} \right.$の解は$\displaystyle \frac{[キ]}{[ク]} \leqq x \leqq [ケ]$である．
(3)$(2x-1)^5(y-2)^4$の展開式における$x^2y^3$の項の係数は$[コサシ]$である．
(4)${0}^\circ<\theta<{90}^\circ$で，$\displaystyle \tan \theta=\frac{4}{3}$のとき，
\[ \frac{\sin (\theta+{90}^\circ)+\tan (\theta+{90}^\circ)}{\sin ({180}^\circ-\theta)+\tan ({180}^\circ-\theta)}=\frac{[ス]}{[セソ]} \]
である．
(5)$p,\ q$を定数とし，$q<0$とする．$2$次関数$y=px^2+qx+2q$のグラフの頂点の座標が$(-4q,\ -40)$のとき，$\displaystyle p=\frac{[タ]}{[チ]}$，$q=[ツテ]$である．
(6)赤玉が$5$個，白玉が$3$個入っている袋がある．この袋の中から玉を同時に$2$個取り出すとき，少なくとも$1$個が白玉である確率は$\displaystyle \frac{[ト]}{[ナニ]}$である．
(7)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$個のさいころを同時に投げて，それぞれの出る目を$a,\ b,\ c$とする．このとき，積$abc$が奇数になる組$(a,\ b,\ c)$は$[ヌネ]$組あり，偶数になる組$(a,\ b,\ c)$は$[ノハヒ]$組ある．
(8)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AP}:\mathrm{PB}=\mathrm{AQ}:\mathrm{QC}=1:3$となるように点$\mathrm{P}$を辺$\mathrm{AB}$上に，点$\mathrm{Q}$を辺$\mathrm{AC}$上にとる．線分$\mathrm{BQ}$と線分$\mathrm{CP}$の交点を$\mathrm{R}$とすると，$\displaystyle \triangle \mathrm{PQR}=\frac{[フ]}{[ヘホ]} \triangle \mathrm{BCR}$である．
(1)$p=(\sqrt{3}+\sqrt{5})^2$，$q=(\sqrt{3}-\sqrt{5})^2$のとき$p+q=[アイ]$，$pq=[ウ]$，$p^2+q^2=[エオカ]$である．
(2)連立不等式$\left\{ \begin{array}{r}
|2x-9| \leqq 5 \\
9-2x \leqq 4
\end{array} \right.$の解は$\displaystyle \frac{[キ]}{[ク]} \leqq x \leqq [ケ]$である．
(3)$(2x-1)^5(y-2)^4$の展開式における$x^2y^3$の項の係数は$[コサシ]$である．
(4)${0}^\circ<\theta<{90}^\circ$で，$\displaystyle \tan \theta=\frac{4}{3}$のとき，
\[ \frac{\sin (\theta+{90}^\circ)+\tan (\theta+{90}^\circ)}{\sin ({180}^\circ-\theta)+\tan ({180}^\circ-\theta)}=\frac{[ス]}{[セソ]} \]
である．
(5)$p,\ q$を定数とし，$q<0$とする．$2$次関数$y=px^2+qx+2q$のグラフの頂点の座標が$(-4q,\ -40)$のとき，$\displaystyle p=\frac{[タ]}{[チ]}$，$q=[ツテ]$である．
(6)赤玉が$5$個，白玉が$3$個入っている袋がある．この袋の中から玉を同時に$2$個取り出すとき，少なくとも$1$個が白玉である確率は$\displaystyle \frac{[ト]}{[ナニ]}$である．
(7)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$個のさいころを同時に投げて，それぞれの出る目を$a,\ b,\ c$とする．このとき，積$abc$が奇数になる組$(a,\ b,\ c)$は$[ヌネ]$組あり，偶数になる組$(a,\ b,\ c)$は$[ノハヒ]$組ある．
(8)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AP}:\mathrm{PB}=\mathrm{AQ}:\mathrm{QC}=1:3$となるように点$\mathrm{P}$を辺$\mathrm{AB}$上に，点$\mathrm{Q}$を辺$\mathrm{AC}$上にとる．線分$\mathrm{BQ}$と線分$\mathrm{CP}$の交点を$\mathrm{R}$とすると，$\displaystyle \triangle \mathrm{PQR}=\frac{[フ]}{[ヘホ]} \triangle \mathrm{BCR}$である．
私立 近畿大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \sin \theta \cos \theta=\frac{1}{8}$とする．ただし$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$とする．
(i) $\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=\frac{\sqrt{[ア]}}{[イ]}$，$\displaystyle \sin \theta-\cos \theta=-\frac{\sqrt{[ウ]}}{[エ]}$である．
(ii) $\displaystyle \cos 2\theta=\frac{\sqrt{[オカ]}}{[キ]}$，$\tan \theta=[ク]-\sqrt{[ケコ]}$である．
(2)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$の$5$チームがあり，それぞれのチームは他のチームと$1$回ずつ試合をする．$2$つのチームが対戦するときの勝敗の確率は$\displaystyle \frac{1}{2}$とし，引き分けはないものとする．
(i) 試合は全部で$[サシ]$試合行われる．
(ii) $4$敗のチームが現れる確率は$\displaystyle \frac{[ス]}{[セソ]}$である．
(iii) $3$勝$1$敗のチームがちょうど$3$チーム現れる確率は$\displaystyle \frac{[タ]}{[チツテ]}$である．
(1)$\displaystyle \sin \theta \cos \theta=\frac{1}{8}$とする．ただし$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$とする．
(i) $\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=\frac{\sqrt{[ア]}}{[イ]}$，$\displaystyle \sin \theta-\cos \theta=-\frac{\sqrt{[ウ]}}{[エ]}$である．
(ii) $\displaystyle \cos 2\theta=\frac{\sqrt{[オカ]}}{[キ]}$，$\tan \theta=[ク]-\sqrt{[ケコ]}$である．
(2)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$の$5$チームがあり，それぞれのチームは他のチームと$1$回ずつ試合をする．$2$つのチームが対戦するときの勝敗の確率は$\displaystyle \frac{1}{2}$とし，引き分けはないものとする．
(i) 試合は全部で$[サシ]$試合行われる．
(ii) $4$敗のチームが現れる確率は$\displaystyle \frac{[ス]}{[セソ]}$である．
(iii) $3$勝$1$敗のチームがちょうど$3$チーム現れる確率は$\displaystyle \frac{[タ]}{[チツテ]}$である．
私立 近畿大学 2014年 第3問$a,\ b$を正の定数とし，関数
\[ f(x)=\frac{1}{e^{\frac{x-a}{b}}+2} \quad (x>0) \]
を考える．
(1)$x>a$のとき，$\displaystyle \lim_{b \to +0}f(x)=[ア]$であり，$x<a$のとき，$\displaystyle \lim_{b \to +0}f(x)=\frac{[イ]}{[ウ]}$である．
(2)曲線$y=f(x)$の点$(a,\ f(a))$における接線の方程式は，$\displaystyle y=\frac{[エオ]}{[カ]b}x+\frac{a+[キ]b}{[ク]b}$である．
(3)$\displaystyle b=\frac{1}{3}$とする．$t=e^{3(x-a)}$とおくと，$\displaystyle \frac{dx}{dt}=\frac{1}{[ケ]t}$であり，正の定数$c$に対して，
\[ \int_a^{a+c}f(x) \, dx=\frac{1}{[コ]} \log \left( \frac{[サ]e^{3c}}{e^{3c}+[シ]} \right) \]
となる．また，正の定数$p,\ q$が，$\displaystyle \int_{a-q}^{a+p} f(x) \, dx=\frac{4}{3}p$を満たすとき，
\[ q=\frac{1}{[ス]} \log \left( \frac{e^{[セ]p}+[ソ]e^{[タ]p}-1}{[チ]} \right) \]
となる．
\[ f(x)=\frac{1}{e^{\frac{x-a}{b}}+2} \quad (x>0) \]
を考える．
(1)$x>a$のとき，$\displaystyle \lim_{b \to +0}f(x)=[ア]$であり，$x<a$のとき，$\displaystyle \lim_{b \to +0}f(x)=\frac{[イ]}{[ウ]}$である．
(2)曲線$y=f(x)$の点$(a,\ f(a))$における接線の方程式は，$\displaystyle y=\frac{[エオ]}{[カ]b}x+\frac{a+[キ]b}{[ク]b}$である．
(3)$\displaystyle b=\frac{1}{3}$とする．$t=e^{3(x-a)}$とおくと，$\displaystyle \frac{dx}{dt}=\frac{1}{[ケ]t}$であり，正の定数$c$に対して，
\[ \int_a^{a+c}f(x) \, dx=\frac{1}{[コ]} \log \left( \frac{[サ]e^{3c}}{e^{3c}+[シ]} \right) \]
となる．また，正の定数$p,\ q$が，$\displaystyle \int_{a-q}^{a+p} f(x) \, dx=\frac{4}{3}p$を満たすとき，
\[ q=\frac{1}{[ス]} \log \left( \frac{e^{[セ]p}+[ソ]e^{[タ]p}-1}{[チ]} \right) \]
となる．
私立 産業医科大学 2014年 第1問空欄にあてはまる適切な数，式，記号などを記入しなさい．
(1)実数$x$の関数$f(x)=|\sin 2x+2 \sin x+2 \cos x|$の最大値は$[ア]$である．
(2)行列$A=\left( \begin{array}{cc}
\cos \theta & -2 \sin \theta \\
\displaystyle\frac{1}{2} \sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right)$が$0<\theta<\pi$の範囲で$A^5=A^2$を満たすとき，実数$\theta$の値は$[イ]$である．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^{-1} \frac{x^2-1}{x^2+1} \, dx$の値は$[ウ]$である．
(4)$n$をある自然数とする．実数$x$に対して，方程式$7 \sin^{8n} x+x=0$の解の個数は$[エ]$である．
(5)$\displaystyle 0<a<\frac{1}{4}$とする．座標平面において，方程式$\displaystyle -4ax+\sqrt{(x+a)^2+y^2}=\frac{1}{4}$で表される曲線が囲む図形の面積は$[オ]$である．
(6)$x+y+z+w=20$を満たす正の整数$x,\ y,\ z,\ w$の組は全部で$[カ]$個である．
(7)$7$つの実数$\displaystyle \frac{1}{2}$，$\sqrt{\pi}$，$\sqrt{3}$，$\displaystyle \frac{\pi^2}{8}$，$\displaystyle \sin \frac{\pi}{8}$，$\displaystyle \cos \frac{\pi}{8}$，$\displaystyle \tan \frac{\pi}{8}$を小さい方から順に並べたものを$A<B<C<D<E<F<G$とする．このとき実数$A^2$の値は$[キ]$であり，$E^2-F^2+G^2$の値は$[ク]$である．
(1)実数$x$の関数$f(x)=|\sin 2x+2 \sin x+2 \cos x|$の最大値は$[ア]$である．
(2)行列$A=\left( \begin{array}{cc}
\cos \theta & -2 \sin \theta \\
\displaystyle\frac{1}{2} \sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right)$が$0<\theta<\pi$の範囲で$A^5=A^2$を満たすとき，実数$\theta$の値は$[イ]$である．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^{-1} \frac{x^2-1}{x^2+1} \, dx$の値は$[ウ]$である．
(4)$n$をある自然数とする．実数$x$に対して，方程式$7 \sin^{8n} x+x=0$の解の個数は$[エ]$である．
(5)$\displaystyle 0<a<\frac{1}{4}$とする．座標平面において，方程式$\displaystyle -4ax+\sqrt{(x+a)^2+y^2}=\frac{1}{4}$で表される曲線が囲む図形の面積は$[オ]$である．
(6)$x+y+z+w=20$を満たす正の整数$x,\ y,\ z,\ w$の組は全部で$[カ]$個である．
(7)$7$つの実数$\displaystyle \frac{1}{2}$，$\sqrt{\pi}$，$\sqrt{3}$，$\displaystyle \frac{\pi^2}{8}$，$\displaystyle \sin \frac{\pi}{8}$，$\displaystyle \cos \frac{\pi}{8}$，$\displaystyle \tan \frac{\pi}{8}$を小さい方から順に並べたものを$A<B<C<D<E<F<G$とする．このとき実数$A^2$の値は$[キ]$であり，$E^2-F^2+G^2$の値は$[ク]$である．
私立 京都薬科大学 2014年 第1問次の$[ ]$にあてはまる数または式を記入せよ．
(1)$a$を実数の定数として，放物線$y=2x^2-(a+3)x+a+1$のグラフの頂点は$([ア],\ [イ])$で，この点は$a$の値にかかわらず，放物線$y=[ウ]x^2+[エ]x-[オ]$上にある．
(2)平面上の直線$y=2x+1$と点$(0,\ 1)$において${45}^\circ$の角度で交わる直線は$2$つあり，これらの直線の方程式は，$[カ]$と$[キ]$である．
(3)$5$つの数$\sqrt[3]{4}$，$1$，$16^{\frac{1}{5}}$，$\log_43$，$\log_32$を小さいほうから順に並べると
\[ [ク]<[ケ]<[コ]<[サ]<[シ] \]
となる．
(4)方程式$7x+19y=2014$を満たす自然数の組$(x,\ y)$は$[ス]$個ある．
(1)$a$を実数の定数として，放物線$y=2x^2-(a+3)x+a+1$のグラフの頂点は$([ア],\ [イ])$で，この点は$a$の値にかかわらず，放物線$y=[ウ]x^2+[エ]x-[オ]$上にある．
(2)平面上の直線$y=2x+1$と点$(0,\ 1)$において${45}^\circ$の角度で交わる直線は$2$つあり，これらの直線の方程式は，$[カ]$と$[キ]$である．
(3)$5$つの数$\sqrt[3]{4}$，$1$，$16^{\frac{1}{5}}$，$\log_43$，$\log_32$を小さいほうから順に並べると
\[ [ク]<[ケ]<[コ]<[サ]<[シ] \]
となる．
(4)方程式$7x+19y=2014$を満たす自然数の組$(x,\ y)$は$[ス]$個ある．
私立 近畿大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \sin \theta \cos \theta=\frac{1}{8}$とする．ただし$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$とする．
(i) $\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=\frac{\sqrt{[ア]}}{[イ]}$，$\displaystyle \sin \theta-\cos \theta=-\frac{\sqrt{[ウ]}}{[エ]}$である．
(ii) $\displaystyle \cos 2\theta=\frac{\sqrt{[オカ]}}{[キ]}$，$\tan \theta=[ク]-\sqrt{[ケコ]}$である．
(2)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$の$5$チームがあり，それぞれのチームは他のチームと$1$回ずつ試合をする．$2$つのチームが対戦するときの勝敗の確率は$\displaystyle \frac{1}{2}$とし，引き分けはないものとする．
(i) 試合は全部で$[サシ]$試合行われる．
(ii) $4$敗のチームが現れる確率は$\displaystyle \frac{[ス]}{[セソ]}$である．
(iii) $3$勝$1$敗のチームがちょうど$3$チーム現れる確率は$\displaystyle \frac{[タ]}{[チツテ]}$である．
(1)$\displaystyle \sin \theta \cos \theta=\frac{1}{8}$とする．ただし$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$とする．
(i) $\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=\frac{\sqrt{[ア]}}{[イ]}$，$\displaystyle \sin \theta-\cos \theta=-\frac{\sqrt{[ウ]}}{[エ]}$である．
(ii) $\displaystyle \cos 2\theta=\frac{\sqrt{[オカ]}}{[キ]}$，$\tan \theta=[ク]-\sqrt{[ケコ]}$である．
(2)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$の$5$チームがあり，それぞれのチームは他のチームと$1$回ずつ試合をする．$2$つのチームが対戦するときの勝敗の確率は$\displaystyle \frac{1}{2}$とし，引き分けはないものとする．
(i) 試合は全部で$[サシ]$試合行われる．
(ii) $4$敗のチームが現れる確率は$\displaystyle \frac{[ス]}{[セソ]}$である．
(iii) $3$勝$1$敗のチームがちょうど$3$チーム現れる確率は$\displaystyle \frac{[タ]}{[チツテ]}$である．
私立 近畿大学 2014年 第3問一般項が
\[ a_n=\frac{1}{\sqrt{13}} \left\{ \left( \frac{1+\sqrt{13}}{2} \right)^n-\left( \frac{1-\sqrt{13}}{2} \right)^n \right\} \]
で与えられた数列$\{a_n\}$を考える．
(1)この数列の初項$a_1$の値は$[ア]$，第$2$項$a_2$の値は$[イ]$である．
(2)この数列は，漸化式$a_{n+2}=a_{n+1}+[ウ]a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を満たす．
(3)この数列の第$7$項$a_7$の値は$[エオ]$である．
(4)この数列の初項から第$n$項までの和を$S_n$で表す．このとき
\[ a_{n+2}=[カ]+[キ]S_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
が成り立つ．
(5)この数列には，$1$桁の素数$[ク]$の倍数は現れない．
(6)$(4)$で与えられた$S_n$が$10000$以上となるような最小の$n$の値は$[ケコ]$である．
\[ a_n=\frac{1}{\sqrt{13}} \left\{ \left( \frac{1+\sqrt{13}}{2} \right)^n-\left( \frac{1-\sqrt{13}}{2} \right)^n \right\} \]
で与えられた数列$\{a_n\}$を考える．
(1)この数列の初項$a_1$の値は$[ア]$，第$2$項$a_2$の値は$[イ]$である．
(2)この数列は，漸化式$a_{n+2}=a_{n+1}+[ウ]a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を満たす．
(3)この数列の第$7$項$a_7$の値は$[エオ]$である．
(4)この数列の初項から第$n$項までの和を$S_n$で表す．このとき
\[ a_{n+2}=[カ]+[キ]S_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
が成り立つ．
(5)この数列には，$1$桁の素数$[ク]$の倍数は現れない．
(6)$(4)$で与えられた$S_n$が$10000$以上となるような最小の$n$の値は$[ケコ]$である．