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公立 三重県立看護大学 2015年 第1問次の$[$1$]$から$[$10$]$に適する答えを書きなさい．
(1)$-2z-xy^2+2xyz-x+x^2y+y$を因数分解すると$[$1$]$となる．
(2)$p>0$のとき，$\displaystyle p+\frac{1}{p}$は$[$2$]$で最小値$[$3$]$となる．
(3)サイコロを$4$つ投げるとき，すべての目が異なる確率は$[$4$]$であり，少なくとも$2$つのサイコロの目が同じである確率は$[$5$]$である．
(4)$\overrightarrow{a}=(3,\ -2)$，$\overrightarrow{b}=(-2,\ -1)$のとき，$|\overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}|$を最小にする$t$の値は$t=[$6$]$，そのときの最小値は$[$7$]$となる．
(5)$\log_2 (x-1)+\log_2 (6-x)=2$を解くと，解は小さい方から順に$[$8$]$，$[$9$]$となる．
(6)数列$1 \cdot 3 \cdot 5,\ 3 \cdot 5 \cdot 7,\ 5 \cdot 7 \cdot 9,\ \cdots$の一般項$a_n=[$10$]$である．
(1)$-2z-xy^2+2xyz-x+x^2y+y$を因数分解すると$[$1$]$となる．
(2)$p>0$のとき，$\displaystyle p+\frac{1}{p}$は$[$2$]$で最小値$[$3$]$となる．
(3)サイコロを$4$つ投げるとき，すべての目が異なる確率は$[$4$]$であり，少なくとも$2$つのサイコロの目が同じである確率は$[$5$]$である．
(4)$\overrightarrow{a}=(3,\ -2)$，$\overrightarrow{b}=(-2,\ -1)$のとき，$|\overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}|$を最小にする$t$の値は$t=[$6$]$，そのときの最小値は$[$7$]$となる．
(5)$\log_2 (x-1)+\log_2 (6-x)=2$を解くと，解は小さい方から順に$[$8$]$，$[$9$]$となる．
(6)数列$1 \cdot 3 \cdot 5,\ 3 \cdot 5 \cdot 7,\ 5 \cdot 7 \cdot 9,\ \cdots$の一般項$a_n=[$10$]$である．
公立 北九州市立大学 2015年 第1問以下の問いの空欄$[ア]$～$[ケ]$に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．
(1)$x$および$y$は実数とする．点$(x,\ y)$が$x^2+2y^2=2$を満たすとき，$\displaystyle \frac{1}{2}x+y^2$の最大値は$[ア]$，最小値は$[イ]$となる．
(2)半径$r$の円に内接する正$12$角形を考える．この正$12$角形の$1$辺の長さを$1$とすると，円の半径$r$の値は$[ウ]$，正$12$角形の面積は$[エ]$である．
(3)大きさの異なる$3$種類の無地のタイルがある．タイルは長方形で，縦と横の長さがそれぞれ$2 \, \mathrm{cm} \times 9.5 \, \mathrm{cm}$，$3 \, \mathrm{cm} \times 9.5 \, \mathrm{cm}$，$5 \, \mathrm{cm} \times 9.5 \, \mathrm{cm}$である．$15 \, \mathrm{cm} \times 9.5 \, \mathrm{cm}$の長方形の壁にタイルを隙間なく，はみ出ないように貼り付けるとき，$[オ]$通りの貼り付け方が存在する．必ずしも$3$種類すべてのタイルを使わなくてもよいものとする．また，タイルは切断できないものとする．
(4)$\displaystyle x=\frac{2}{\sqrt{5}+1},\ y=\frac{2}{\sqrt{5}-1}$のとき，$x^3+x^2y+xy^2+y^3$の値は$[カ]$，$x^6+y^6$の値は$[キ]$となる．
(5)赤玉が$3$個，白玉が$5$個入っている袋から同時に$4$個の玉を取り出す．このとき，取り出された玉がすべて白玉となる確率は$[ク]$である．少なくとも$2$個の赤玉が取り出される確率は$[ケ]$である．
(1)$x$および$y$は実数とする．点$(x,\ y)$が$x^2+2y^2=2$を満たすとき，$\displaystyle \frac{1}{2}x+y^2$の最大値は$[ア]$，最小値は$[イ]$となる．
(2)半径$r$の円に内接する正$12$角形を考える．この正$12$角形の$1$辺の長さを$1$とすると，円の半径$r$の値は$[ウ]$，正$12$角形の面積は$[エ]$である．
(3)大きさの異なる$3$種類の無地のタイルがある．タイルは長方形で，縦と横の長さがそれぞれ$2 \, \mathrm{cm} \times 9.5 \, \mathrm{cm}$，$3 \, \mathrm{cm} \times 9.5 \, \mathrm{cm}$，$5 \, \mathrm{cm} \times 9.5 \, \mathrm{cm}$である．$15 \, \mathrm{cm} \times 9.5 \, \mathrm{cm}$の長方形の壁にタイルを隙間なく，はみ出ないように貼り付けるとき，$[オ]$通りの貼り付け方が存在する．必ずしも$3$種類すべてのタイルを使わなくてもよいものとする．また，タイルは切断できないものとする．
(4)$\displaystyle x=\frac{2}{\sqrt{5}+1},\ y=\frac{2}{\sqrt{5}-1}$のとき，$x^3+x^2y+xy^2+y^3$の値は$[カ]$，$x^6+y^6$の値は$[キ]$となる．
(5)赤玉が$3$個，白玉が$5$個入っている袋から同時に$4$個の玉を取り出す．このとき，取り出された玉がすべて白玉となる確率は$[ク]$である．少なくとも$2$個の赤玉が取り出される確率は$[ケ]$である．
公立 北九州市立大学 2015年 第2問以下の問いの空欄$[サ]$～$[ヌ]$に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．
(1)整式$P(x)$を$x^2-1$で割ると$1$余り，$x^2+4x+4$で割ると$x+6$余る．$P(x)$を$x^2+x-2$で割ったときの余りを$ax+b$とする．このとき，定数$a,\ b$の値は$a=[サ]$，$b=[シ]$となる．
(2)点$(1,\ 2)$に関して，円$x^2+y^2-8x+10y+k=0$と対称な円が原点を通るように定数$k$を定めると，$k=[ス]$となり，対称な円の中心は$([セ],\ [ソ])$となる．
(3)$\displaystyle \sin \theta-\cos \theta=\frac{1}{2}$のとき，$\sin 2\theta$の値は$[タ]$となり，$\cos^3 \theta-\sin^3 \theta$の値は$[チ]$となる．
(4)$3 \leqq x \leqq 81$のとき，関数$y=(\log_3 x)^2-\log_3 x^4+5$の最大値と最小値を求めると，$x=[ツ]$のときに最大値$[テ]$をとり，$x=[ト]$のときに最小値$[ナ]$をとる．
(5)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が，$S_n=n^2+8n$で表されるとき，初項$a_1$は$[ニ]$であり，一般項$a_n$は$[ヌ]$である．
(1)整式$P(x)$を$x^2-1$で割ると$1$余り，$x^2+4x+4$で割ると$x+6$余る．$P(x)$を$x^2+x-2$で割ったときの余りを$ax+b$とする．このとき，定数$a,\ b$の値は$a=[サ]$，$b=[シ]$となる．
(2)点$(1,\ 2)$に関して，円$x^2+y^2-8x+10y+k=0$と対称な円が原点を通るように定数$k$を定めると，$k=[ス]$となり，対称な円の中心は$([セ],\ [ソ])$となる．
(3)$\displaystyle \sin \theta-\cos \theta=\frac{1}{2}$のとき，$\sin 2\theta$の値は$[タ]$となり，$\cos^3 \theta-\sin^3 \theta$の値は$[チ]$となる．
(4)$3 \leqq x \leqq 81$のとき，関数$y=(\log_3 x)^2-\log_3 x^4+5$の最大値と最小値を求めると，$x=[ツ]$のときに最大値$[テ]$をとり，$x=[ト]$のときに最小値$[ナ]$をとる．
(5)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が，$S_n=n^2+8n$で表されるとき，初項$a_1$は$[ニ]$であり，一般項$a_n$は$[ヌ]$である．
国立 小樽商科大学 2014年 第3問次の$[ ]$の中を適当に補いなさい．
(1)$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$とするとき，$\sin^2 \theta+2 \sin \theta \cos \theta+3 \cos^2 \theta$の最大値$M$，最小値$m$を求めると$(M,\ m)=[ ]$．
(2)$\displaystyle 2014+\frac{2}{4}+\frac{3}{4^2}+\frac{4}{4^3}+\cdots +\frac{n}{4^{n-1}} (n \geqq 2)$の値を求めると$[ ]$．
(3)$0 \leqq a \leqq 3$とするとき，$\displaystyle \int_{-3}^3 |x(x-a)| \, dx$の最大値$M$と，それを与える$a$の値を求めると$(M,\ a)=[ ]$．
(1)$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$とするとき，$\sin^2 \theta+2 \sin \theta \cos \theta+3 \cos^2 \theta$の最大値$M$，最小値$m$を求めると$(M,\ m)=[ ]$．
(2)$\displaystyle 2014+\frac{2}{4}+\frac{3}{4^2}+\frac{4}{4^3}+\cdots +\frac{n}{4^{n-1}} (n \geqq 2)$の値を求めると$[ ]$．
(3)$0 \leqq a \leqq 3$とするとき，$\displaystyle \int_{-3}^3 |x(x-a)| \, dx$の最大値$M$と，それを与える$a$の値を求めると$(M,\ a)=[ ]$．
国立 小樽商科大学 2014年 第1問次の$[ ]$の中を適当に補いなさい．
(1)$1$回の操作で溶液の不純物の$25 \, \%$を除去出来る装置で不純物を除去するとき，この操作を複数回行い，元の不純物の$98 \, \%$以上を除去するには，最低何回以上この操作をする必要があるかを求めると$[ ]$回以上．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(2)中心が$(0,\ 1)$で半径$1$の円がある．下図のように，この円の直径$\mathrm{AB}$と原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$と，$x$軸上の点$\mathrm{C}(1,\ 0)$をとる．$\angle \mathrm{AOC}={60}^\circ$とする．点$\mathrm{A}$の$x$座標を$t$（ただし$t>0$）とし，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$S$とするとき，$t$と$S$を求めると$(t,\ S)=[ ]$．
（図は省略）
(3)$4$桁の正の整数$n$に対し，千の位，百の位，十の位，一の位の数字をそれぞれ$a,\ b,\ c,\ d$とする．$a>b>c>d$を満たす$n$は全部で$p$個あり，$a>c$かつ$b>d$を満たす$n$は全部で$q$個ある．このとき，$p$と$q$を求めると$(p,\ q)=[ ]$．
(1)$1$回の操作で溶液の不純物の$25 \, \%$を除去出来る装置で不純物を除去するとき，この操作を複数回行い，元の不純物の$98 \, \%$以上を除去するには，最低何回以上この操作をする必要があるかを求めると$[ ]$回以上．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(2)中心が$(0,\ 1)$で半径$1$の円がある．下図のように，この円の直径$\mathrm{AB}$と原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$と，$x$軸上の点$\mathrm{C}(1,\ 0)$をとる．$\angle \mathrm{AOC}={60}^\circ$とする．点$\mathrm{A}$の$x$座標を$t$（ただし$t>0$）とし，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$S$とするとき，$t$と$S$を求めると$(t,\ S)=[ ]$．
（図は省略）
(3)$4$桁の正の整数$n$に対し，千の位，百の位，十の位，一の位の数字をそれぞれ$a,\ b,\ c,\ d$とする．$a>b>c>d$を満たす$n$は全部で$p$個あり，$a>c$かつ$b>d$を満たす$n$は全部で$q$個ある．このとき，$p$と$q$を求めると$(p,\ q)=[ ]$．
国立 九州工業大学 2014年 第4問点$\mathrm{P}$は次の$①$，$②$，$③$の規則に従って数直線上を動く．
\mon[$①$] 時刻$0$で，$\mathrm{P}$は整数座標点$0$から$10$のいずれかの位置$i (0 \leqq i \leqq 10)$にある．
\mon[$②$] 時刻$t (t=0,\ 1,\ 2,\ \cdots)$に位置$i (1 \leqq i \leqq 9)$にある$\mathrm{P}$は，$t+1$には確率$\displaystyle p \left( 0<p<\frac{1}{2} \right)$で位置$i+1$に，確率$1-p$で位置$i-1$に移動する．
\mon[$③$] 時刻$t$に位置$0$または$10$にある$\mathrm{P}$は，$t+1$にもその位置に留まる．
以下の問いに答えよ．
(1)$\mathrm{P}$が時刻$0$で位置$2$にあるとき，時刻$3$で位置$0$にある確率を求めよ．
(2)$\mathrm{P}$が時刻$0$で位置$1$にあるとき，時刻$3$で位置$0$にある確率を求めよ．
時刻$0$で位置$i$にある$\mathrm{P}$が，いずれかの時刻で位置$0$に到達する確率を$q_i$とする．ただし，$q_0=1$，$q_{10}=0$である．$1 \leqq i \leqq 9$のとき，$q_{i+1}$，$q_i$，$q_{i-1}$の間には$q_i=pq_{i+1}+(1-p)q_{i-1}$の関係が成り立つ．
(3)$q_{i+1}-q_i=[ ](q_i-q_{i-1})$である．空欄に入る適切な数または式を求めよ．
(4)$q_i$を$q_1$と$p$を用いて表せ．
(5)$q_1$を求め，$q_i$を$p$を用いて表せ．
\mon[$①$] 時刻$0$で，$\mathrm{P}$は整数座標点$0$から$10$のいずれかの位置$i (0 \leqq i \leqq 10)$にある．
\mon[$②$] 時刻$t (t=0,\ 1,\ 2,\ \cdots)$に位置$i (1 \leqq i \leqq 9)$にある$\mathrm{P}$は，$t+1$には確率$\displaystyle p \left( 0<p<\frac{1}{2} \right)$で位置$i+1$に，確率$1-p$で位置$i-1$に移動する．
\mon[$③$] 時刻$t$に位置$0$または$10$にある$\mathrm{P}$は，$t+1$にもその位置に留まる．
以下の問いに答えよ．
(1)$\mathrm{P}$が時刻$0$で位置$2$にあるとき，時刻$3$で位置$0$にある確率を求めよ．
(2)$\mathrm{P}$が時刻$0$で位置$1$にあるとき，時刻$3$で位置$0$にある確率を求めよ．
時刻$0$で位置$i$にある$\mathrm{P}$が，いずれかの時刻で位置$0$に到達する確率を$q_i$とする．ただし，$q_0=1$，$q_{10}=0$である．$1 \leqq i \leqq 9$のとき，$q_{i+1}$，$q_i$，$q_{i-1}$の間には$q_i=pq_{i+1}+(1-p)q_{i-1}$の関係が成り立つ．
(3)$q_{i+1}-q_i=[ ](q_i-q_{i-1})$である．空欄に入る適切な数または式を求めよ．
(4)$q_i$を$q_1$と$p$を用いて表せ．
(5)$q_1$を求め，$q_i$を$p$を用いて表せ．
私立 慶應義塾大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)座標平面上の$3$点$\mathrm{A}(4,\ 8)$，$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{C}(12,\ 0)$を頂点とする三角形$\triangle \mathrm{AOC}$に接する正方形を，一辺が$\mathrm{OC}$上にあり，$2$頂点が三角形の他の辺上にあるようにとる．このとき正方形の一辺の長さは
\[ \frac{[$1$][$2$]}{[$3$][$4$]} \]
である．
(2)$u,\ v$を$0<u<2$，$0<v$なる実数とするとき
\[ (u-v)^2+\left( \sqrt{4-u^2}-\frac{18}{v} \right)^2 \]
は
\[ u=\sqrt{[$5$]},\quad v=[$6$] \sqrt{[$7$]} \]
のとき，最小値$[$8$][$9$]$をとる．（ヒント：平面上の$2$点の距離を考える．）
(1)座標平面上の$3$点$\mathrm{A}(4,\ 8)$，$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{C}(12,\ 0)$を頂点とする三角形$\triangle \mathrm{AOC}$に接する正方形を，一辺が$\mathrm{OC}$上にあり，$2$頂点が三角形の他の辺上にあるようにとる．このとき正方形の一辺の長さは
\[ \frac{[$1$][$2$]}{[$3$][$4$]} \]
である．
(2)$u,\ v$を$0<u<2$，$0<v$なる実数とするとき
\[ (u-v)^2+\left( \sqrt{4-u^2}-\frac{18}{v} \right)^2 \]
は
\[ u=\sqrt{[$5$]},\quad v=[$6$] \sqrt{[$7$]} \]
のとき，最小値$[$8$][$9$]$をとる．（ヒント：平面上の$2$点の距離を考える．）
私立 慶應義塾大学 2014年 第3問下図のように，等しい辺の長さが$a$，その挟む角（頂角）が$2 \theta$である二等辺三角形を$4$つ使って四面体を作る．$x=\cos^2 \theta$とおけば，四面体の体積$V$は
\[ V=\frac{[$24$][$25$]}{[$26$][$27$]} (1-[$28$]x) \sqrt{[$29$]x-1} a^3 \]
となる．このように作られる四面体のなかで最大の四面体の体積は
\[ \frac{[$30$] \sqrt{[$31$]}}{[$32$][$33$]}a^3 \]
である．
（図は省略）
\[ V=\frac{[$24$][$25$]}{[$26$][$27$]} (1-[$28$]x) \sqrt{[$29$]x-1} a^3 \]
となる．このように作られる四面体のなかで最大の四面体の体積は
\[ \frac{[$30$] \sqrt{[$31$]}}{[$32$][$33$]}a^3 \]
である．
（図は省略）
私立 慶應義塾大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$x,\ y,\ z$は実数で$xyz \neq 0$とする．もし
\[ 2^x=3^y=[$1$][$2$]^z \]
ならば
\[ \frac{3}{x}+\frac{2}{y}=\frac{1}{z} \]
である．
(2)関数$f(x)=x^2-2$に対して，$g(x)=f(f(x))$とおく．このとき，方程式$g(x)=x$の解は
\[ [$3$][$4$],\quad [$5$][$6$],\quad \frac{[$7$][$8$] \pm \sqrt{[$9$][$10$]}}{[$11$][$12$]} \]
である．ただし，最初の数は$2$番目の数より小とする．
(3)直線$y=-3x$上の点$\mathrm{P}$と，曲線$xy=2 (x>0)$上の点$\mathrm{Q}$の間の距離の最小値は
\[ \frac{[$13$] \sqrt{[$14$][$15$]}}{[$16$][$17$]} \]
である．
(1)$x,\ y,\ z$は実数で$xyz \neq 0$とする．もし
\[ 2^x=3^y=[$1$][$2$]^z \]
ならば
\[ \frac{3}{x}+\frac{2}{y}=\frac{1}{z} \]
である．
(2)関数$f(x)=x^2-2$に対して，$g(x)=f(f(x))$とおく．このとき，方程式$g(x)=x$の解は
\[ [$3$][$4$],\quad [$5$][$6$],\quad \frac{[$7$][$8$] \pm \sqrt{[$9$][$10$]}}{[$11$][$12$]} \]
である．ただし，最初の数は$2$番目の数より小とする．
(3)直線$y=-3x$上の点$\mathrm{P}$と，曲線$xy=2 (x>0)$上の点$\mathrm{Q}$の間の距離の最小値は
\[ \frac{[$13$] \sqrt{[$14$][$15$]}}{[$16$][$17$]} \]
である．
私立 慶應義塾大学 2014年 第4問座標空間内の$3$点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{B}(0,\ 2,\ 3)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 3)$と原点$\mathrm{O}$を頂点とする四面体$\mathrm{OABC}$について考える．
四面体$\mathrm{OABC}$を平面$z=t (0<t<3)$で切ったときの切り口の面積を$f(t)$とする．$0<t \leqq 1$のとき$f(t)=[ソ]$である．また，$1<t<3$のとき平面$z=t$と辺$\mathrm{AB}$の交点の座標は$[タ]$となり，$f(t)=[チ]$となる．
次に，四面体$\mathrm{OABC}$において，$2$つの平面$z=t$と$z=t+2 (0<t<1)$の間にはさまれた部分の体積を$g(t)$とすると，その導関数は$g^\prime(t)=[ツ]$であり，$g(t)$は$t=[テ]$のとき最大値をとる．
四面体$\mathrm{OABC}$を平面$z=t (0<t<3)$で切ったときの切り口の面積を$f(t)$とする．$0<t \leqq 1$のとき$f(t)=[ソ]$である．また，$1<t<3$のとき平面$z=t$と辺$\mathrm{AB}$の交点の座標は$[タ]$となり，$f(t)=[チ]$となる．
次に，四面体$\mathrm{OABC}$において，$2$つの平面$z=t$と$z=t+2 (0<t<1)$の間にはさまれた部分の体積を$g(t)$とすると，その導関数は$g^\prime(t)=[ツ]$であり，$g(t)$は$t=[テ]$のとき最大値をとる．