$x$は実数で，関数$f(x)$は$x>0$において$f(x)=(x^x-1)(\log_e x+1)$と定義されている．

(1)$f(x)=0$となる$x$の値は，$[$10$]$である．
(2)$x^x$の導関数は$[$11$]$となる．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸とで囲まれた部分の面積は$[$12$]$である．

ある疾病に罹患しているか否かを検査する試薬がある．無作為に選ばれた被験者にこの試薬を試したところ，陽性と判定された被験者の$25 \, \%$が間違いであった（疾病に罹患していなかった）．この試薬は$10 \, \%$の割合で誤った判定をすることが判っているとする．

(1)この疾病に罹患しているのは，被験者全体の$[$13$] \, \%$である．
(2)陰性と判定されたが実際には疾病に罹患していたのは，陰性と判定された被験者の$[$14$] \, \%$である．

$n$回サイコロを振り，$1$回でも$6$が出ると$0$点，$1$回だけ$6$以外の偶数が出ると$2n$点，それ以外の場合は$n$点とする試行を行う．

(1)得点が$0$となる確率は$[$15$]$である．
(2)$n=3$のとき，得点が$6$になる確率は$[$16$]$である．
(3)得点が$n$になる確率は$[$17$]$となる．

$1$辺の長さが$2$である正$5$角形$\mathrm{ABCDE}$において，対角線の長さを$t$，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{p}$，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}=\overrightarrow{q}$とする．

(1)対角線の長さは$t=[$18$]$である．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{ED}}$を$\overrightarrow{p}$と$\overrightarrow{q}$で表すと，$\overrightarrow{\mathrm{ED}}=[$19$]$である．
(3)内積$\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{q}$の値を計算すると$[$20$]$となる．

下図のように太陽が雲間から見えた．観察された太陽を半径$r$の円と仮定し，図のように見えた太陽の円周上の$2$点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とし，線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{C}$，円周上に一点$\mathrm{D}$を線分$\mathrm{CD}$と$\mathrm{AB}$が互いに直交するようにとる．$\mathrm{AB}=a$，$\mathrm{CD}=c$とおくとき，$r$と$a,\ c$の関係を式で表わすと$[$8$]$となる．このとき$r$の最小値を$c$を用いて表わすと，$[$9$]$である．また$c<r$の場合，観察された太陽の中心を$\mathrm{O}$とする．この円を$\mathrm{OD}$を通る直径を軸に回転させてできる球において$\mathrm{AB}$を通り$\mathrm{OD}$に垂直な平面で$2$つの図形に分けたとき，点$\mathrm{D}$を含む部分の体積を$a,\ c$を用いて表すと$[$10$]$である．
（図は省略）

$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，関数$F_n(x)$を
\[ F_1(x)=\frac{1}{1+x},\quad F_{n+1}(x)=\frac{1}{1+F_n(x)} \]
で定義する．

(1)$F_3(x)$を求めると，$[$11$]$である．次に$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，数列$\{p_n\}$を
\[ p_1=1,\quad p_2=1,\quad p_{n+2}=p_{n+1}+p_n \]
で定義する．
(2)$\displaystyle F_n(x)=\frac{a_n+b_n x}{c_n+d_n x}$で与えられるとき，$n \geqq 2$に対して$a_n,\ b_n,\ c_n,\ d_n$を数列$\{p_n\}$を用いて表すと$(a_n,\ b_n,\ c_n,\ d_n)=[$12$]$である．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{p_{n+1}}{p_n}$が存在することを用いて$\displaystyle \lim_{n \to \infty}F_n(0)$の値を求めると$[$13$]$である．

以下の各問いに答えなさい．

(1)以下の不等式を解きなさい．

(i) $-x<6$
(ii) $-3x+1<x<5x-8$

(2)$(x-3)(x+3)(x^2+9)(x^4+81)$を展開しなさい．
(3)以下の数を有理数，無理数，整数，自然数，実数に分類し解答欄に記入しなさい．
\[ 0.5 \qquad \sqrt{2} \qquad 4 \qquad -18 \qquad 0 \qquad 0.\dot{3} \]
解答欄

\begin{tabular}{|p{22mm}|p{22mm}|p{22mm}|p{22mm}|p{22mm}|}
\hline
有理数 & 無理数 & 整数 & 自然数 & 実数 \\ \hline
& $\phantom{\displaystyle\frac{[　]}{[　]}}$ & & & \\ \hline
\end{tabular}

数列$\{a_n\}$およびその階差数列$\{b_n\}$を次のように定める．

$a_1=1$
$a_{n+1}=2a_n+n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
$b_n=a_{n+1}-a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$

このとき，以下の空欄をうめよ．

(1)$b_1=[イ]$であり，$b_{n+1}$を$b_n$の式で表すと，$b_{n+1}=[ロ]$である．
(2)$b_n$を$n$の式で表すと，$b_n=[ハ]$である．
(3)$a_n$を$n$の式で表すと，$a_n=[ニ]$である．

座標空間の$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(1,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{B}(-1,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{C}(-1,\ 1,\ -1)$を頂点とする四面体がある．辺$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{AC}$上の点$\mathrm{Q}$が，
\[ \mathrm{AP}:\mathrm{PB}=\mathrm{CQ}:\mathrm{QA}=t:(1-t),\quad 0 \leqq t \leqq 1 \]
をみたすとき，以下の空欄をうめよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$t$を用いて表すと
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=[イ] \]
である．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$は，$t=[ロ]$のとき，最大値$[ハ]$をとる．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \perp \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$のとき，$t=[ニ]$である．

次の空欄をうめよ．

(1)次の積分を求めよ．

(i) $\displaystyle \int_0^1 \log (2x+1) \, dx=[イ]$

(ii) $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^3 x \, dx=[ロ]$

(iii) $\displaystyle \int_0^\pi |\sin 2x| \, dx=[ハ]$

(2)次の極限を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{1 \cdot 3}+\frac{1}{2 \cdot 4}+\frac{1}{3 \cdot 5}+\cdots +\frac{1}{n(n+2)} \right)=[ニ] \]
(3)方程式$\displaystyle \log_2 (x-10)=3+\log_2 \frac{3}{x}$の解は$x=[ホ]$である．
(4)$0 \leqq x<2\pi$において，$-\sin x+\sqrt{3} \cos x$は$x=[ヘ]$のとき，最大値$[ト]$をとる．
(5)以下の文章に「必要条件である」，「十分条件である」，「必要十分条件である」，「必要条件でも十分条件でもない」のうち最も適するものを入れよ．ただし，$n$は自然数とする．

(i) $n$が$6$の倍数であることは，$n$が$3$の倍数であるための$[チ]$．
(ii) $n$が奇数であることは，$n^2$が奇数であるための$[リ]$．