以下の問いに答えなさい．

(1)次の定積分を求めなさい．ただし，$a$は正の定数とする．
\[ 1) \quad \int_0^a te^{-t} \, dt \qquad\qquad 2) \quad \int_0^a t^2 e^{-t} \, dt \]
(2)以下の空欄$[$1$]$～$[$5$]$に適切な値を答えなさい．

$x \geqq 0$で定義された関数$f(x)=(\sqrt{x}-1)e^{-\sqrt{x}}$に対して，$y=f(x)$の表す曲線を$C$とおく．$C$は$x=[$1$]$で極大値$[$2$]$をとる．$C$上の点$(t,\ f(t))$での接線が原点を通るのは$t=[$3$]$のときである．このときの接線を$\ell$とおくと，$\ell$の傾きは$[$4$]$となる．また，$C$，$\ell$と$y$軸で囲まれた部分の面積は$[$5$]$である．

次の問いに答えよ．

(1)${10}^{a+1}=45,\ {10}^{b+2}=75$のとき，$\log_{10}5$を$a,\ b$を用いて表すと，$\displaystyle \log_{10}5=\frac{-a+[ア]b+[イ]}{[ウ]}$である．
(2)次の連立不等式を満たす整数$x$をすべて加えると$[エ][オ]$である．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x^2-12x+10<0 \\
x^2-6x-1>0 \phantom{\frac{[　]}{2}}
\end{array} \right. \]
(3)区別のつかない$8$個の球を$4$人で分配する方法は$[カ][キ][ク]$通りである．ただし，$1$個も配分されない人がいる場合も含めて考えることにする．
(4)$\displaystyle \tan (\alpha-\beta)=2,\ \alpha+\beta=\frac{\pi}{2},\ 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$のとき，$\tan \alpha=[ケ]+\sqrt{[コ]}$，$\tan \beta=[サ][シ]+\sqrt{[ス]}$である．
(5)点$\mathrm{A}(6,\ 0,\ 5)$，$\mathrm{B}(0,\ -7,\ 3)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 1)$に対して，直線$\mathrm{AB}$と$xy$平面の交点を$\mathrm{P}$，直線$\mathrm{AC}$と$xy$平面の交点を$\mathrm{Q}$とする．直線$\mathrm{PQ}$の方程式は
\[ y=\frac{[セ]}{[ソ]}x+\frac{[タ]}{[チ]},\quad z=0 \]
である．
(6)$\displaystyle \sum_{k=1}^n k \cdot 3^k=\frac{[ツ]}{[テ]} \{([ト]n-1)3^n+1 \}$である．

$a$と$b$を定数とし，$2$次関数$y=-x^2+ax+a+b$のグラフを$F$とする．次の問いに答えよ．

(1)グラフ$F$の軸を求めよ．
(2)グラフ$F$と$x$軸が異なる$2$点を共有するとき，$a$と$b$の関係を求めよ．
(3)グラフ$F$と$x$軸が異なる$2$点を共有し，そのうち$1$つの$x$座標が$3$であるとする．このとき，$b$を$a$で表すと$b=[　]$である．また，もう$1$つの共有点の$x$座標は$[　]$である．
(4)$(3)$で求めた$x$座標が，区間$-3 \leqq x \leqq 0$に含まれるとき，$a$の範囲は$[　]$である．また，このとき，グラフ$F$の頂点の$y$座標の最大値は$[　]$，最小値は$[　]$である．

数列$\{a_n\}$は$a_1=0$，$a_{n+1}=2a_n+2n-1 (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$をみたすとする．このとき，$a_2=[ア]$，$a_3=[イ]$である．

$\{a_n\}$の一般項を求めたい．$b_n=a_n+cn+d$が漸化式
\[ b_{n+1}=2b_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
をみたすように定数$c$と$d$を定めると，$c=[ウ]$，$d=[エ]$となる．
したがって，$a_n=[オ] \cdot [カ]^{n-1}-[ウ]n-[エ]$となる．

次の$[　]$にあてはまる数または式を記入せよ．

(1)$2$次関数$f(x)=ax^2+bx+2a^2$は，$x=-1$で最大値をとり，$f(1)=14$を満たす．このとき，$a=[ア]$，$b=[イ]$で，$f(x)$の最大値は$[ウ]$である．
(2)$1$つのさいころを$1$の目が出るまで投げ続ける．ただし，投げる回数は最大$100$回とする．このとき，ちょうど$n$回（$n<100$）投げてやめる確率は$[エ]$で，投げる回数が$n$回以下（$n<100$）でやめる確率は$[オ]$である．また，$1$の目が$2$回出るまで投げ続けるとき（最大$100$回），投げる回数が$n$回以下（$n<100$）でやめる確率は$[カ]$である．
(3)平面上の$\triangle \mathrm{OAB}$において，$\mathrm{OA}=4$，$\mathrm{OB}=3$，$\displaystyle \cos \angle \mathrm{AOB}=\frac{2}{3}$が成立しているとする．このとき，$\mathrm{AB}=[キ]$である．また，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と表し，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\frac{5}{2} \overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b}$を満たす点$\mathrm{C}$をとれば，$\mathrm{AC}=[ク]$，$\cos \angle \mathrm{BAC}=[ケ]$が成立する．
(4)不等式$\sin 2\theta+\sin 4\theta>\sin 3\theta$を満たす$\theta$の範囲は$[コ]<\theta<[サ]$および$[シ]<\theta<[ス]$である．ただし，$0<\theta<\pi$とする．
(5)ある正の数$a$を底としたときの，$2$と$5$の対数の近似値がそれぞれ$\log_a 2=0.693$，$\log_a 5=1.609$であるとする．また，$\sqrt[4]{10}=1.778$とする．指数関数$y=pa^{-qx}$（$p,\ q$は正の数）において，$x=1$のとき$y=10$，$x=5$のとき$y=1$となるならば，$p=[セ]$，$q=[ソ]$である．また，$y$がちょうど$p$の半分となるときの$x$の値は$[タ]$である．なお，解答は小数点以下$2$桁で示すこと（必要ならば小数第$3$位を四捨五入せよ）．

次の$[　]$にあてはまる数を記入せよ．

座標平面上に$4$点$\mathrm{A}(6,\ 6)$，$\mathrm{B}(-3,\ 3)$，$\mathrm{C}(2,\ -2)$，$\mathrm{D}(-6,\ -6)$がある．

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の外心の座標は$([ア],\ [イ])$であり，外接円の半径は$[ウ]$である．この円を$C$とする．
(2)円$C$上を動く点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{D}$に対して，線分$\mathrm{DP}$を$1:2$に内分する点の軌跡は円になる．この円の中心の座標は$([エ],\ [オ])$であり，半径は$[カ]$である．
(3)点$\mathrm{A}$での円$C$の接線を$\ell_1$とする．接線$\ell_1$の方程式は$y=[キ]x+[ク]$であり，$\ell_1$と$x$軸との交点$\mathrm{E}$の座標は$([ケ],\ 0)$である．
(4)点$\mathrm{E}$を通り，円$C$に接する直線は$2$本ある．$\ell_1$と異なる接線を$\ell_2$とし，$\ell_2$は点$\mathrm{F}$で円$C$に接するとする．点$\mathrm{F}$の座標は$([コ],\ [サ])$であり，$\ell_2$の方程式は$y=[シ]x+[ス]$である．

次の$[　]$にあてはまる数または式を記入せよ．なお，$k>0$として，解答はすべて数あるいは$k$を用いた式で示すこと．

(1)$2$次関数$f(x)=-x^2+(k-1)x+k$を考える．放物線$y=f(x)$の頂点の座標は$([ア],\ [イ])$となり，この放物線上の点$(0,\ f(0))$における接線を$\ell$とすると，$\ell$の方程式は$y=([ウ])x+[エ]$となる．
(2)次に$2$次関数$g(x)=x^2+ax+b$（$a,\ b$は定数）を考える．放物線$y=g(x)$が点$(k,\ 0)$において放物線$y=f(x)$と接線を共有するとき，$a,\ b$の値はそれぞれ$[オ]$，$[カ]$であり，$\ell$と放物線$y=g(x)$との交点の$x$座標はそれぞれ$[キ]$，$[ク]$となる（ただし$[キ]<[ク]$とする）．
(3)さらに$\ell$と放物線$y=g(x)$とで囲まれた部分の面積を$S$とするとき，$S$を$k$で表すと$[ケ]$となる．また，$\ell$は$k=[コ]$のとき放物線$y=g(x)$と$x$軸上で交わり，そのときの$S$は$[サ]$となる．

$2$次関数$y=2x^2-4x+a^2+a$のグラフが$x$軸に接するとき，定数$a$の値は$-[ア]$，$[イ]$であり，このとき，この関数の$0 \leqq x \leqq 3$における最大値は$[ウ]$である．

$x$についての方程式$\log_{\sqrt{2}}x+\log_x 16=k$は$|k|>[ア] \sqrt{2}$のとき異なる$2$つの実数解$x_1,\ x_2$をもつ．このとき，$\displaystyle \log_2 x_1+\log_2 x_2=\frac{k}{[イ]}$，$x_1^{\log_{\sqrt{2}}x_2}=[ウエ]$である．

整式$P(x)$を$x^2+3x+2$で割った余りが$3x+1$，$x^2-2x+1$で割った余りが$4x-6$であるとき，$P(x)$を$x+1$で割った余りは$-[ア]$，$x-1$で割った余りは$-[イ]$，$x^2-1$で割った余りを$ax+b$とおくと$a=[ウ]$，$b=-[エ]$である．