棚に包装された製品が$n$個（$n \geqq 4$）並んでいるが，そのうち$2$個が不良品だということがわかっている．$n$個の製品はすでに包装されているため，外見からはどれが不良品かどうかを区別することはできない．今，どの$2$個が不良品かを見つけるために，$n$個の製品のうち$1$個を取り出し，包装を解き，中身をチェックする．中身が不良品だった場合は，別に置いてあったすでに包装された良品と交換し，もとにあった場所に戻す．中身が不良品でなかった場合は，製品を包装し直した上でもとにあった場所に戻す．$1$個目の製品のチェックが終わったら，棚の別の製品も同様にチェックし，この作業を$2$個の不良品が見つかるまで繰り返し，$2$個目の不良品を交換した時点で終了する．包装された良品と交換する費用は製品$1$個につき$1000$円，製品を包装し直す費用は製品$1$個につき$100$円である．

(1)$n=4$のとき，この作業全体の費用が$2200$円になる確率は$[セ]$である．
(2)$n=4$のとき，この作業全体の費用の期待値は$\displaystyle \left( 2000+[ソ] \right)$円である．
(3)この作業全体の費用の期待値を$n$の関数で表すと$\displaystyle \left( 2000+[タ] \right)$円である．

次の$[　]$をうめよ．

(1)$x^4+3x^3+5x^2+2x+1$を$(x+1)(x+2)$で割ったときの余りを求めると$[　]$である．また，$\displaystyle \frac{a}{3}=\frac{b}{7}$のとき$\displaystyle \frac{7a^3-5a^2b-3ab^2+9b^3}{3ab(3a+b)}$の値を求めると$[　]$である．
(2)方程式$3^{2x}+6^x=3^{x+2}+9 \times 2^x$の解は$[　]$であり，$4x+9^{\log_3 (x-1)}=5$の解は$[　]$である．
(3)正$10$角形の$3$個の頂点を結んで$3$角形を作る．正$10$角形と$1$辺だけを共有する$3$角形は$[　]$通りある．また，正$10$角形と辺を共有しない$3$角形は$[　]$通りある．

次の空欄$[ア]$～$[ク]$に当てはまる数または式を記入せよ．

(1)ベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$が，$|\overrightarrow{a}|=5$，$|\overrightarrow{b}|=2$，$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\sqrt{13}$，$|\overrightarrow{c}|=|\overrightarrow{a}-t \overrightarrow{b}|$の関係を満たすとき，$|\overrightarrow{c}|$の最小値は$[ア]$である．ただし，$t$は実数とする．
(2)整式$f(x)$を$x+5$で割ると余りが$-11$，$(x+2)^2$で割ると余りが$x+3$となる．このとき，$f(x)$を$(x+5)(x+2)^2$で割ると余りは$[イ]$である．
(3)全体集合$U=\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9\}$の部分集合$A,\ B$について，$\overline{A} \cap \overline{B}=\{1,\ 3\}$，$A \cup \overline{B}=\{1,\ 2,\ 3,\ 6,\ 7,\ 8\}$であるとき，集合$A=[ウ]$である．ただし，$\overline{A}$は$A$の補集合，$\overline{B}$は$B$の補集合とする．
(4)さいころを$4$回投げるとき，偶数の目がちょうど$2$回出る確率は$[エ]$である．
(5)ある細菌は$1$時間毎に分裂して個数が$2$倍になる．最初に$10$個あるとき，$100$万個を初めて超えるのは$[オ]$時間後である．ただし，$\log_{10}2=0.301$とし，整数で答えよ．
(6)複素数$z=a+i$について，$z^4$が実数となるとき，$z^4$のとりうる値は$[カ]$である．ただし，$a$は実数であり，$i$は虚数単位とする．
(7)関数$f(x)$が$f^\prime(x)=3x+2$と$\displaystyle \int_0^2 f(x) \, dx=4$をともに満たすとき，$f(x)=[キ]$である．
(8)$\displaystyle \sum_{k=1}^{25} (2k-1)^2$の値は$[ク]$である．

次の空欄$[ア]$～$[シ]$に当てはまる数または式を記入せよ．

(1)式$(2x+3y+z)(x+2y+3z)(3x+y+2z)$を展開したときの$xyz$の係数は$[ア]$である．
(2)実数$x,\ y$が$\displaystyle \frac{i}{1+xi}+\frac{x+2}{y+i}=0$を満たすとき，$x=[イ]$，$y=[ウ]$である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(3)定積分$\displaystyle \int_{-2}^2 x |x-1| \, dx$を求めると$[エ]$である．
(4)$2^{\frac{1}{2}},\ 3^{\frac{1}{3}},\ 5^{\frac{1}{5}}$の大小関係は$[オ]<[カ]<[キ]$である．
(5)不等式$\displaystyle (\log_2 x)^2+\log_2 \frac{x}{2}<1$を満たす$x$の範囲は$[ク]$である．
(6)半径$1$の円に内接する正$n$角形の周の長さは$[ケ]$である．
(7)座標空間における$3$点$\mathrm{A}(1,\ -1,\ 5)$，$\mathrm{B}(4,\ 5,\ 2)$，$\mathrm{C}(a,\ b,\ 0)$が一直線上にあるとき，$a=[コ]$，$b=[サ]$である．
(8)円$x^2+y^2=1$と直線$y=kx+2 (k>0)$が接するとき，その接点の座標は$[シ]$である．

$f(x)=2x^2-x$，$g(x)=x^2+3x+a$とする．$-1 \leqq x \leqq 1$のすべての$x$に対して$f(x)>g(x)$となるような$a$の値の範囲は$[　]$である．また，$-1 \leqq x \leqq 1$の少なくとも$1$つの$x$に対して$f(x)>g(x)$となるような$a$の値の範囲は$[　]$である．

$\theta$が$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲を動くとき，$t=\sqrt{3} \sin \theta+\cos \theta$のとりうる値の範囲は$[　]$であり，また，$K=2 \sin^2 \theta+2 \sqrt{3} \sin \theta \cos \theta+2 \sqrt{3} \sin \theta+2 \cos \theta-5$のとりうる値の範囲は$[　]$である．

曲線$y=e^{-x^2}$上の$3$点$\mathrm{P}(0,\ 1)$，$\mathrm{Q}(t,\ e^{-t^2})$，$\mathrm{R}(-t,\ e^{-t^2})$を通る円を$C$とする．円$C$の半径$r$を$t$の関数とみて$r(t)$と表すと，$r(t)=[　]$である．また，極限$\displaystyle \lim_{t \to 0} r(t)$の値は$[　]$である．ただし，$e$は自然対数の底とする．

袋の中に白玉$3$個，黒玉$2$個，赤玉$5$個が入っている．この袋から，玉を$1$個取り出して袋に戻す試行を$4$回繰り返したとき，黒玉が少なくとも$2$回取り出される確率は$[　]$である．また，この袋から$4$個の玉を同時に取り出すとき，赤玉が少なくとも$2$個含まれる確率は$[　]$である．

$3$辺$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$，$\mathrm{OC}$が互いに直交する四面体$\mathrm{OABC}$において，$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$，辺$\mathrm{OB}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{M}$，辺$\mathrm{OC}$を$1:4$に内分する点を$\mathrm{N}$とする．また，$\triangle \mathrm{AMN}$と直線$\mathrm{OG}$との交点を$\mathrm{P}$とする．このとき，$\mathrm{OP}$と$\mathrm{OG}$の比を求めると，$\mathrm{OP}:\mathrm{OG}=[　]$である．さらに，$\mathrm{AP} \perp \mathrm{MN}$のとき$\mathrm{OB}:\mathrm{OC}=[　]$である．

以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．

数直線上の点の集合$S=\{-1,\ 0,\ 1\}$を考える．球が$2$個用意されており，$S$の各点上には，$2$個まで球を置くことができるとする．$S$内に置かれた球に対する次の操作$\mathrm{T}$を考える．
\begin{screen}
{\bf 操作$\mathrm{T}$}

\mon[$(\mathrm{T}1)$] $S$内に球が$1$個だけ置かれている場合は， その球に対して次の操作$\mathrm{A}$を行う．
\begin{screen}
{\bf 操作$\mathrm{A}$}

\mon[$(\mathrm{A}1)$] 球が点$0$上に置かれている場合はその球を確率$\displaystyle\frac{1}{3}$で$S$内から取り除き，確率$\displaystyle\frac{1}{3}$ずつで点$-1$または点$1$の上に移す．
\mon[$(\mathrm{A}2)$] 球が点$-1$または点$1$の上に置かれている場合はその球を必ず点$0$の上に移す．

\end{screen}
\mon[$(\mathrm{T}2)$] $S$内に球が$2$個置かれている場合は，どちらか$1$個の球を等しい確率で選び，その選ばれた球に対して操作$\mathrm{A}$を行う．

\end{screen}
いま，球が$2$個とも点$0$上に置かれている状態から始め，操作$\mathrm{T}$を繰り返し行う．ただし，$S$内に球がなくなった場合は操作を行うのをやめる．以下，$n,\ m$を自然数とする．

(1)操作$\mathrm{T}$を$n$回繰り返し終えたとき，球が$2$個とも点$0$上に置かれている確率を$p_n$とし，点$-1$と点$0$の上に$1$個ずつ置かれているかまたは点$0$と点$1$の上に$1$個ずつ置かれている確率を$q_n$とする．

\mon[$(1$-$1)$] $n \geqq 2$に対し，$p_n=[あ]q_{n-1}$である．
\mon[$(1$-$2)$] $q_1=[い]$である．一般に$q_{2m}=0$であり，$q_{2m-1}$を$m$の式で表すと$q_{2m-1}=[う]$である．

(2)操作$\mathrm{T}$を$n$回繰り返し終えたとき，$S$内に球が$1$個だけあり，かつそれが点$0$上に置かれている確率を$r_n$，点$-1$または点$1$の上に置かれている確率を$s_n$とする．

\mon[$(2$-$1)$] $n \geqq 2$に対し，
\[ \begin{array}{l}
r_n=[え]s_{n-1}+[お]p_{n-1} \\
s_n=[か]r_{n-1}+[き]q_{n-1}
\end{array} \]
である．
\mon[$(2$-$2)$] 一般に$r_{2m}=0$であり，$r_{2m-1}$を$m$の式で表すと$r_{2m-1}=[く]$である．