「空欄補充」について
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私立 慶應義塾大学 2015年 第4問座標空間内の原点$\mathrm{O}$，$z$座標が正である点$\mathrm{P}_k (k=1,\ 2,\ \cdots,\ 7)$を頂点とする立方体$\mathrm{OP}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3-\mathrm{P_4}\mathrm{P_5}\mathrm{P_6}\mathrm{P_7}$を考える．点$\mathrm{P}_1$の座標は$(2,\ 5,\ 4)$であり，点$\mathrm{P}_3$は$zx$平面上にあるとする．このとき，点$\mathrm{P}_3$の座標は$[ソ]$，点$\mathrm{P}_4$の座標は$[タ]$，点$\mathrm{P}_6$の座標は$[チ]$である．点$\mathrm{P}_k (k=1,\ 2,\ \cdots,\ 7)$を$xy$平面に下ろした垂線を$\mathrm{P}_k \mathrm{Q}_k$とするとき，四角形$\mathrm{OQ}_1 \mathrm{Q}_2 \mathrm{Q}_3$の面積は$[ツ]$，六角形$\mathrm{Q}_1 \mathrm{Q}_2 \mathrm{Q}_3 \mathrm{Q}_7 \mathrm{Q}_4 \mathrm{Q}_5$の面積は$[テ]$である．また，立方体と$z$軸との交わりは線分となり，その線分の長さは$[ト]$となる．
（図は省略）
（図は省略）
私立 慶應義塾大学 2015年 第5問袋に赤玉が$2$個と白玉が$1$個入っている．袋から玉を$1$個取り出し玉の色を見て袋に戻す．このとき取り出した玉と同色の玉をもう$1$つ袋に加える．この操作を繰り返して行う．
(1)$n$回目の操作を終えたとき，それまでに赤玉を取り出した回数が$k$回（$0 \leqq k \leqq n$）であったとする．このとき，$n+1$回目の操作で赤玉を取り出す確率を$p_n(k)$とおくと，$p_n(k)=[ナ]$となる．
(2)$n$回目の操作を終えるまでに赤玉を取り出す回数が$k$回（$0 \leqq k \leqq n$）である確率を$q_n(k)$とおく．たとえば，$\displaystyle q_1(1)=\frac{2}{3}$，$q_4(2)=[ニ]$となる．$n$回の操作中$j$回目（$1 \leqq j \leqq n$）だけ赤玉を取り出し，その他の操作では白玉を取り出す確率は$[ヌ]$であり，$q_n(1)=n \times [ヌ]$となる．$q_n(k)$を$n$と$k$を用いて表すと，$q_n(k)=[ネ]$となる．
(3)$n$回目の操作を終えるまでに赤玉を取り出す回数が$k$回（$0 \leqq k \leqq n$）であり，$n+1$回目の操作で赤玉を取り出す確率は，$(1)$と$(2)$で定めた$p_n(k)$と$q_n(k)$を用いて$q_n(k)p_n(k)$となる．このことから，$n+1$回目に赤玉を取り出す確率を計算すると$[ノ]$となる．
(4)$f(x)=e^{-x^2}$とする．$S_n$を$(1)$と$(2)$で定めた$p_n(k)$と$q_n(k)$を用いて
\[ S_n=\sum_{k=0}^n f(p_n(k))q_n(k) \]
とおくと，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n=[ハ]$となる．
(1)$n$回目の操作を終えたとき，それまでに赤玉を取り出した回数が$k$回（$0 \leqq k \leqq n$）であったとする．このとき，$n+1$回目の操作で赤玉を取り出す確率を$p_n(k)$とおくと，$p_n(k)=[ナ]$となる．
(2)$n$回目の操作を終えるまでに赤玉を取り出す回数が$k$回（$0 \leqq k \leqq n$）である確率を$q_n(k)$とおく．たとえば，$\displaystyle q_1(1)=\frac{2}{3}$，$q_4(2)=[ニ]$となる．$n$回の操作中$j$回目（$1 \leqq j \leqq n$）だけ赤玉を取り出し，その他の操作では白玉を取り出す確率は$[ヌ]$であり，$q_n(1)=n \times [ヌ]$となる．$q_n(k)$を$n$と$k$を用いて表すと，$q_n(k)=[ネ]$となる．
(3)$n$回目の操作を終えるまでに赤玉を取り出す回数が$k$回（$0 \leqq k \leqq n$）であり，$n+1$回目の操作で赤玉を取り出す確率は，$(1)$と$(2)$で定めた$p_n(k)$と$q_n(k)$を用いて$q_n(k)p_n(k)$となる．このことから，$n+1$回目に赤玉を取り出す確率を計算すると$[ノ]$となる．
(4)$f(x)=e^{-x^2}$とする．$S_n$を$(1)$と$(2)$で定めた$p_n(k)$と$q_n(k)$を用いて
\[ S_n=\sum_{k=0}^n f(p_n(k))q_n(k) \]
とおくと，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n=[ハ]$となる．
私立 慶應義塾大学 2015年 第1問次の$[ ]$にあてはまる最も適当な数または式などを解答欄に記入しなさい．
(1)$2$次方程式$x^2+kx+k+8=0$が異なる$2$つの実数解$\alpha$，$\beta$をもつとする．このとき，定数$k$の値の範囲は$k<[ア]$または$k>[イ]$である．さらに，このとき$\alpha^2+\beta^2=19$となるような定数$k$の値は$k=[ウ]$である．
(2)$xyz$空間の$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(-1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ \sqrt{3},\ 0)$を$3$頂点とする三角形を底面にもち，$z \geqq 0$の部分にある正四面体$\mathrm{ABCD}$を考える．頂点$\mathrm{D}$の座標は$[エ]$である．また$4$頂点において正四面体$\mathrm{ABCD}$に外接する球の中心$\mathrm{E}$の座標は$[オ]$であり，$\overrightarrow{\mathrm{EA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{EB}}$のなす角を$\theta ({0}^\circ \leqq \theta \leqq {180}^\circ)$とすると$\cos \theta=[カ]$である．
(3)$n$を自然数とする．白玉$5$個と赤玉$n$個が入っている袋から同時に玉を$2$個取り出すとき，取り出した玉の色が異なる確率を$p_n$とする．このとき$p_n=[キ]$である．また$\displaystyle p_n \leqq \frac{1}{5}$となる最小の自然数$n$は$n=[ク]$である．
(1)$2$次方程式$x^2+kx+k+8=0$が異なる$2$つの実数解$\alpha$，$\beta$をもつとする．このとき，定数$k$の値の範囲は$k<[ア]$または$k>[イ]$である．さらに，このとき$\alpha^2+\beta^2=19$となるような定数$k$の値は$k=[ウ]$である．
(2)$xyz$空間の$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(-1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ \sqrt{3},\ 0)$を$3$頂点とする三角形を底面にもち，$z \geqq 0$の部分にある正四面体$\mathrm{ABCD}$を考える．頂点$\mathrm{D}$の座標は$[エ]$である．また$4$頂点において正四面体$\mathrm{ABCD}$に外接する球の中心$\mathrm{E}$の座標は$[オ]$であり，$\overrightarrow{\mathrm{EA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{EB}}$のなす角を$\theta ({0}^\circ \leqq \theta \leqq {180}^\circ)$とすると$\cos \theta=[カ]$である．
(3)$n$を自然数とする．白玉$5$個と赤玉$n$個が入っている袋から同時に玉を$2$個取り出すとき，取り出した玉の色が異なる確率を$p_n$とする．このとき$p_n=[キ]$である．また$\displaystyle p_n \leqq \frac{1}{5}$となる最小の自然数$n$は$n=[ク]$である．
私立 慶應義塾大学 2015年 第2問次の$[ ]$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．
(1)多項式$f(x)=5x^3-12x^2+8x+1$を$x-1$で割ったときの商$g(x)$は$g(x)=[ケ]$であり，余りは$[コ]$である．また，$g(x)$を$x-1$で割ったときの余りは$[サ]$である．
さらに，定数$[コ]$，$[サ]$，$[シ]$，$[ス]$を用いると，$x$についての恒等式
\[ \frac{f(x)}{(x-1)^4}=\frac{[コ]}{(x-1)^4}+\frac{[サ]}{(x-1)^3}+\frac{[シ]}{(x-1)^2}+\frac{[ス]}{x-1} \]
が成り立つ．
(2)点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円周上の$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が
\[ 5 \overrightarrow{\mathrm{OA}}+6 \overrightarrow{\mathrm{OB}}=-7 \overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
を満たすとする．このとき$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=[セ]$であり，$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=[ソ]$である．また$\angle \mathrm{ACB}$の大きさを$\theta ({0}^\circ \leqq \theta \leqq {180}^\circ)$とすると$\sin \theta=[タ]$である．
(1)多項式$f(x)=5x^3-12x^2+8x+1$を$x-1$で割ったときの商$g(x)$は$g(x)=[ケ]$であり，余りは$[コ]$である．また，$g(x)$を$x-1$で割ったときの余りは$[サ]$である．
さらに，定数$[コ]$，$[サ]$，$[シ]$，$[ス]$を用いると，$x$についての恒等式
\[ \frac{f(x)}{(x-1)^4}=\frac{[コ]}{(x-1)^4}+\frac{[サ]}{(x-1)^3}+\frac{[シ]}{(x-1)^2}+\frac{[ス]}{x-1} \]
が成り立つ．
(2)点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円周上の$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が
\[ 5 \overrightarrow{\mathrm{OA}}+6 \overrightarrow{\mathrm{OB}}=-7 \overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
を満たすとする．このとき$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=[セ]$であり，$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=[ソ]$である．また$\angle \mathrm{ACB}$の大きさを$\theta ({0}^\circ \leqq \theta \leqq {180}^\circ)$とすると$\sin \theta=[タ]$である．
私立 慶應義塾大学 2015年 第3問次の$[ ]$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．
$A$を与えられた自然数として，
\[ a_1=3A,\quad a_{n+1}=\left\{ \begin{array}{ll}
a_n-2 & (n \text{が奇数のとき}) \\
a_n-1 & (n \text{が偶数のとき})
\end{array} \right. \]
によって定まる数列$\{a_n\}$を考える．
(1)$a_5,\ a_6$を$A$を用いて表すと，$a_5=[チ]$，$a_6=[ツ]$である．また一般に，$a_n$を$n$と$A$を用いて表すと，
\[ a_n=\left\{ \begin{array}{ll}
[テ] & (n \text{が奇数のとき}) \\
[ト] & (n \text{が偶数のとき})
\end{array} \right. \]
となる．
(2)$a_n>0$となる最大の自然数$n$を$N$とする．$N$を$A$を用いて表すと$N=[ナ]$であり，また$\displaystyle \sum_{n=1}^N a_n=[ニ]$である．
$A$を与えられた自然数として，
\[ a_1=3A,\quad a_{n+1}=\left\{ \begin{array}{ll}
a_n-2 & (n \text{が奇数のとき}) \\
a_n-1 & (n \text{が偶数のとき})
\end{array} \right. \]
によって定まる数列$\{a_n\}$を考える．
(1)$a_5,\ a_6$を$A$を用いて表すと，$a_5=[チ]$，$a_6=[ツ]$である．また一般に，$a_n$を$n$と$A$を用いて表すと，
\[ a_n=\left\{ \begin{array}{ll}
[テ] & (n \text{が奇数のとき}) \\
[ト] & (n \text{が偶数のとき})
\end{array} \right. \]
となる．
(2)$a_n>0$となる最大の自然数$n$を$N$とする．$N$を$A$を用いて表すと$N=[ナ]$であり，また$\displaystyle \sum_{n=1}^N a_n=[ニ]$である．
私立 東北学院大学 2015年 第1問次の各問題の$[ ]$に適する答えを記入せよ．
(1)$\log_9 (x^2+1)-\log_3 x=1$のとき$x=[ア]$である．
(2)$\sqrt{3} \sin \theta-\cos \theta=2 \sin (\theta-\alpha)$のとき$\alpha=[イ]$である．ただし$0<\alpha<\pi$とする．
(3)$3$の倍数で$1000$以下の自然数すべての和は$[ウ]$である．
(1)$\log_9 (x^2+1)-\log_3 x=1$のとき$x=[ア]$である．
(2)$\sqrt{3} \sin \theta-\cos \theta=2 \sin (\theta-\alpha)$のとき$\alpha=[イ]$である．ただし$0<\alpha<\pi$とする．
(3)$3$の倍数で$1000$以下の自然数すべての和は$[ウ]$である．
私立 早稲田大学 2015年 第3問$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$の$5$人の紳士から，それぞれの帽子を$1$つずつ受けとり，それらを再び$1$人に$1$つずつ配る．帽子は必ずしも元の持ち主に戻されるわけではない．このとき，以下の問に答えよ．
(1)次の空欄にあてはまる数を解答欄に記入せよ．
帽子を配る方法は全部で$[ア]$通りある．そのうち，$\mathrm{A}$が自分の帽子を受けとるのは$[イ]$通り，$\mathrm{B}$が自分の帽子を受けとるのは同じく$[イ]$通り，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$がともに自分の帽子を受けとるのは$[ウ]$通りである．したがって，$\mathrm{A}$が自分の帽子を受けとらず，かつ$\mathrm{B}$も自分の帽子を受けとらない場合は$[エ]$通りである．
(2)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$人が誰も自分の帽子を受けとらない場合は何通りか．
(1)次の空欄にあてはまる数を解答欄に記入せよ．
帽子を配る方法は全部で$[ア]$通りある．そのうち，$\mathrm{A}$が自分の帽子を受けとるのは$[イ]$通り，$\mathrm{B}$が自分の帽子を受けとるのは同じく$[イ]$通り，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$がともに自分の帽子を受けとるのは$[ウ]$通りである．したがって，$\mathrm{A}$が自分の帽子を受けとらず，かつ$\mathrm{B}$も自分の帽子を受けとらない場合は$[エ]$通りである．
(2)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$人が誰も自分の帽子を受けとらない場合は何通りか．
私立 早稲田大学 2015年 第5問$k$を定数とする．$2$つの曲線$C_1$，$C_2$を，
\[ C_1:y=3x^2-6x+k,\quad C_2:y=x^2 \]
と定義する．曲線$C_1$，$C_2$はただひとつの共有点$\mathrm{A}$をもつ．
(1)$k$の値は$\displaystyle \frac{[チ]}{[ツ]}$である．
(2)点$\mathrm{A}$を通る直線$\ell$をひき，直線$\ell$と曲線$C_1$との交点を$\mathrm{B}$，直線$\ell$と曲線$C_2$との交点を$\mathrm{C}$とする．ただし，点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$はいずれも点$\mathrm{A}$とは異なる点である．点$\mathrm{B}$の$x$座標を$p$とすると，点$\mathrm{C}$の$x$座標は$[テ]p+[ト]$であり，直線$\ell$および曲線$C_1$，$C_2$で囲まれる部分の面積は
\[ [ナ] {|\frac{[ニ]|{[ヌ]}-p}}^3 \]
となる．
\[ C_1:y=3x^2-6x+k,\quad C_2:y=x^2 \]
と定義する．曲線$C_1$，$C_2$はただひとつの共有点$\mathrm{A}$をもつ．
(1)$k$の値は$\displaystyle \frac{[チ]}{[ツ]}$である．
(2)点$\mathrm{A}$を通る直線$\ell$をひき，直線$\ell$と曲線$C_1$との交点を$\mathrm{B}$，直線$\ell$と曲線$C_2$との交点を$\mathrm{C}$とする．ただし，点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$はいずれも点$\mathrm{A}$とは異なる点である．点$\mathrm{B}$の$x$座標を$p$とすると，点$\mathrm{C}$の$x$座標は$[テ]p+[ト]$であり，直線$\ell$および曲線$C_1$，$C_2$で囲まれる部分の面積は
\[ [ナ] {|\frac{[ニ]|{[ヌ]}-p}}^3 \]
となる．
私立 早稲田大学 2015年 第6問$2$つの箱$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$に，自然数が$1$つ記されたカードが何枚かずつ入っている．箱$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$からカードを$1$枚ずつ，合計$2$枚のカードを取り出す試行を行う．自然数$n$に対し，取り出された$2$枚のカードに記された自然数の和が$n$である確率を$P_n$とする．
(1)箱$\mathrm{A}$に数字$2,\ 3$が記されたカードがそれぞれ$1$枚ずつ，箱$\mathrm{B}$に数字$1,\ 2,\ 3$が記されたカードがそれぞれ$1$枚ずつ入っているとき，$\displaystyle P_4=\frac{[ネ]}{[ノ]}$である．また，取り出された$2$枚のカードに記された$2$つの自然数の和の期待値は$\displaystyle \frac{[ハ]}{[ヒ]}$である．
(2)箱$\mathrm{A}$にカードが$3$枚，箱$\mathrm{B}$にカードが$5$枚入っていて，
\[ P_2=\frac{1}{15},\quad P_3=\frac{1}{5},\quad P_4=\frac{1}{3},\quad P_5=\frac{2}{5} \]
が成立している．このとき，箱$\mathrm{B}$に入っているカードのうち，最も枚数が多いのは$[フ]$という数字が記されたカードであり，その枚数は$[ヘ]$枚である．
(1)箱$\mathrm{A}$に数字$2,\ 3$が記されたカードがそれぞれ$1$枚ずつ，箱$\mathrm{B}$に数字$1,\ 2,\ 3$が記されたカードがそれぞれ$1$枚ずつ入っているとき，$\displaystyle P_4=\frac{[ネ]}{[ノ]}$である．また，取り出された$2$枚のカードに記された$2$つの自然数の和の期待値は$\displaystyle \frac{[ハ]}{[ヒ]}$である．
(2)箱$\mathrm{A}$にカードが$3$枚，箱$\mathrm{B}$にカードが$5$枚入っていて，
\[ P_2=\frac{1}{15},\quad P_3=\frac{1}{5},\quad P_4=\frac{1}{3},\quad P_5=\frac{2}{5} \]
が成立している．このとき，箱$\mathrm{B}$に入っているカードのうち，最も枚数が多いのは$[フ]$という数字が記されたカードであり，その枚数は$[ヘ]$枚である．
私立 早稲田大学 2015年 第3問放物線$\displaystyle p:y=\frac{1}{4}x^2$がある．点$\mathrm{A}(1,\ 1)$から$y$軸に平行な直線を引き，放物線$p$との交点を点$\mathrm{B}$とする．点$\mathrm{B}$を通り，放物線$p$に接する直線を$\ell_1$とする．
(1)点$\mathrm{B}$を通り，直線$\ell_1$に垂直な直線を$\ell_2$とすると，直線$\ell_2$の方程式は
\[ y=[ク] \]
で表される．
(2)直線$\ell_2$に関して，点$\mathrm{A}$に対称な点$\mathrm{C}$の座標は，
\[ (x,\ y)=([ケ],\ [コ]) \]
である．
(3)点$\mathrm{B}$と点$\mathrm{C}$を通る直線を$\ell_3$とすると，直線$\ell_3$と$y$軸との交点の座標は
\[ (x,\ y)=(0,\ [サ]) \]
となる．
(4)点$\mathrm{B}$とは異なる直線$\ell_3$と放物線$p$との交点を点$\mathrm{D}$とする．点$\mathrm{B}$と点$\mathrm{D}$を通る直線と放物線$p$で囲まれた部分の面積は$[シ]$となる．
(5)点$\mathrm{D}$を通る放物線$p$の接線を$\ell_4$とする．点$\mathrm{D}$を通り，接線$\ell_4$に垂直な直線を$\ell_5$とする．直線$\ell_5$に関して，点$\mathrm{C}$に対称な点を点$\mathrm{E}$とする．点$\mathrm{D}$と点$\mathrm{E}$を通る直線の方程式は
\[ x=[ス] \]
で表される．
(1)点$\mathrm{B}$を通り，直線$\ell_1$に垂直な直線を$\ell_2$とすると，直線$\ell_2$の方程式は
\[ y=[ク] \]
で表される．
(2)直線$\ell_2$に関して，点$\mathrm{A}$に対称な点$\mathrm{C}$の座標は，
\[ (x,\ y)=([ケ],\ [コ]) \]
である．
(3)点$\mathrm{B}$と点$\mathrm{C}$を通る直線を$\ell_3$とすると，直線$\ell_3$と$y$軸との交点の座標は
\[ (x,\ y)=(0,\ [サ]) \]
となる．
(4)点$\mathrm{B}$とは異なる直線$\ell_3$と放物線$p$との交点を点$\mathrm{D}$とする．点$\mathrm{B}$と点$\mathrm{D}$を通る直線と放物線$p$で囲まれた部分の面積は$[シ]$となる．
(5)点$\mathrm{D}$を通る放物線$p$の接線を$\ell_4$とする．点$\mathrm{D}$を通り，接線$\ell_4$に垂直な直線を$\ell_5$とする．直線$\ell_5$に関して，点$\mathrm{C}$に対称な点を点$\mathrm{E}$とする．点$\mathrm{D}$と点$\mathrm{E}$を通る直線の方程式は
\[ x=[ス] \]
で表される．